Quantificador

En llògica formal, un quantificador és una expressió que indica la cantitat de voltes que un predicat o propietat P se satisfà dins d'una determinada classe (per eixemple, pertinença, equivalència o orde). Existixen molts tipos de quantificadors, entre els més utilisats estan:

• Quantificador universal

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �orall , x, i ldots }

Per a tot x, i...

• Quantificador existencial

$exists,x,ildots$

Existix a lo manco un x, i...

• Quantificador existencial únic

$exists!,x,ildots$

Existix exactament un x, i...

Negació del quantificador existencial

$exists,x,ildots$

No existix cap x, i...

Història

El matemàtic llògic i filòsof alemà Frege va publicar en l'any 1879 el seu llibre Begriffsschrift, en el qual va colocar les bases de la llògica matemàtica moderna, desenrollant la primera teoria coherent sobre la quantificació i va presentar una nova sintaxis cridada quantificadors (Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �orall} i $exist$) que permet quantificar nous arguments. L'obra es troba dividida en varis capítuls: Primer capítul: està format per les idees bàsiques i notacions, a on apareixen els quantificadors universals, la negació i la condicional. Segon capítul: declaració de #axioma.

Declaracions quantificades

Les declaracions quantificades s'escriuen en la forma:

• Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �orall , x in mathbb{R} ; , quad 2x in mathbb{R} }

Per a tot x que pertany a R, es complix que 2x pertany a R.

• Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �orall , a in mathbb{R} , quad exists , x in mathbb{R} ; : quad a < x < (a + 1) }

Per a tot a que pertany a R, existix x que pertany a R, que està comprés entre a i a+1.

• Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �orall , a in mathbb{R}-left{{0} ight} , quad exists ! , x in mathbb{R} ; : quad a :: Existix a lo manco un '''x''' en '''A''' que complix '''P(x)''' [[bicondicional|si i només si]] '''no''' és cert que para tot '''x''' de '''A''', '''no''' es complixca '''P(x)'''. El quantificador existencial únic pot definir-se com a extensió en un [[llenguage formal]] de la següent manera: : <math> exists ! x in A P(x) equiv exists xin A P(x)land�orall i,zin A (P(i)land P(z) ightarrow i = z) }

Afirmar que existix un únic x en A que satisfà P(x) és l'equivalent a afirmar l'existència d'algun x en A que satisfà P(x), i ademés, per a cada i i z en A, si se satisfan P(i) i P(z) llavors i i z deuen ser iguals.

Lleis de De Morgan

Les lleis de De Morgan per a quantificadors són les següents:

• Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle eg �orall x P(x)equiv exists x eg P(x)}

La negació és falsa si para tot $x$ el predicat és verdader. Pel contrari, és verdadera si existix un $x$ per al que $P(x)$ és falsa.

• Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle eg exists x P(x)equiv �orall x eg P(x)}

La negació és verdadera si para tot $x$ la funció proposicional $P$ de $x$ és falsa i és falsa si existix un $x$ per al que $P(x)$ és verdadera.

Prelació dels quantificadors

L'orde de prioritat (prelació) dels quantificadors Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �orall} i $exist$ tenen un major grau de preferència que els demés operadors llògics.

Eixemples:

Quan posem Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �orall x P(x) land M(x)} l'orde de prioritat nos obliga a realisar primer el quantificador Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle (�orall x P(x)) land M(x)} . Este eixemple es pot vore per als distints quantificadors.

En cas que es vullga priorisar l'operador llògic ($land$) es tindrà que posar paréntesis per a forçar la prioritat a eixa operació Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �orall x (P(x) land M(x)).}

Un error molt comú és considerar que Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �orall x P(x) land M(x)} és lo mateix que Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �orall x (P(x) land M(x))} cosa que no és aixina, ya que no es respecta l'orde de prioritat, per lo que lo correcte seria Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle (�orall x P(x)) land M(x)} .

Regles d'intercanvi

• Primera regla:

Un quantificador universal (Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �orall} ) afirmatiu s'assembla a la negació d'un quantificador existencial ( $egexist$) i del predicat.

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle (�orall xP(x))leftrightarrow ( eg exists x eg P(x)) }

Per a tots els $x$, $P$ és certa, açò equival a que és fals que alguna $x$ no siga $P$.

• Segona regla:

Un quantificador existencial ( $exist$) afirmatiu s'assembla a la negació quantificador universal (Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle eg�orall} ) i del predicat.

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle ( exists x P(x))leftrightarrow ( eg �orall x eg P(x)) }

Existix alguna $x$ en la que $P$ és certa, açò és equivalent a dir que cap $x$ no és $P$.

• Tercera regla:

La negació d'un quantificador universal (Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle eg�orall} ) s'assembla a un quantificador existencial ( $exist$) en el predicat negat.

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle ( eg�orall x P(x))leftrightarrow (exist x eg P(x))}

És fals que totes les $x$ són $P$, açò equivalent a que algunes $x$ no són $P$.

• Quarta regla:

La negació d'un quantificador existencial ($egexist$) s'assembla a un quantificador universal ( Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �orall} ) en el predicat negat.

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle ( eg exist x P(x)) leftrightarrow (�orall x eg P(x))}

És fals que algunes $x$ siguen $P$, equival a totes les $x$ no són $P$.

Vore també

• Llògica formal
• Llògica de primer orde
• Llògica matemàtica
• Teoria de conjunts

Enllaços externs

Llògica de quantificadors

Begriffsschrift