Begriffsschrift

Begriffsschrift

Begriffsschrift —de l'alemà, aproximadament "escritura de conceptes", "notació de conceptes"— és un llibre sobre llògica escrit per Gottlob Frege i publicat en 1879, i el sistema de llògica propost en eixe llibre.

Begriffsschrift sol traduir-se a l'espanyol com Conceptografía; el títul complet del llibre ho identifica com «un llenguage formal, modelat segons el de l'aritmètica, per al pensament pur». La motivació de Frege per a desenrollar el seu enfocament formal de la llògica s'assemblava a la motivació de Leibniz per a la seua calculus ratiocinator —a pesar de que, en el pròlec, Frege nega explícitament haver alcançat este objectiu, i també nega que el seu propi objectiu en esta obra fora el de construir un "llenguage ideal universal", com era l'objectiu inicial de Leibniz, tasca que Frege afirma ser —en un principi— prou difícil i idealiste, encara que no impossible—. Frege poc despuix ampraria el càlcul llògic expost en este llibre en les seues investigacions sobre els fonaments de les matemàtiques en el seu llibre Els fonaments de l'aritmètica (només sobre l'aritmètica, puix en eixe atre llibre Frege li donaria obertament la raó a Kant sobre la fundamentación de la geometria).

Esta és considerada la primera obra en la filosofia analítica contemporànea, un àrea que posteriors filòsofs, com Bertrand Russell i Ludwig Wittgenstein, desenrollarien més durant els sigles XIX i XX.

La notació i el sistema

El càlcul conté la primera aparició de variables proposicionals quantificades i és essencialment una llògica clàssica bivalente de segon orde en identitat. Que siga bivalente significa ací que les proposicions o fòrmules poden adoptar un dels valors binarios verdader o fals; de segon orde perque inclou variables de relació ademés de variables d'objecte i permet la quantificació sobre abdós. El modificador "en identitat" especifica que el llenguage inclou la relació d'identitat, =. Frege va explicar que el contingut del llibre era la seua pròpia versió apuntant en la llínea de l'ideal d'una characteristica universalis, un concepte originalment leibniziano que s'aplicaria en matemàtiques.

Frege presenta el seu càlcul utilisant una notació idiosincrásica bidimensional: els conectivos llògics i quantificadors s'escriuen usant llínees que conecten fòrmules, en lloc dels símbols ¬, ∧ i ∀ que s'usen hui en dia. Per eixemple, que el juí B implica materialmente al juí A, és dir, $B\to A$, s'escriu com .

En el primer capítul, Frege definix idees i notacions bàsiques, com a proposició ("juí"), el quantificador universal ("la generalitat"), el condicional, la negació i el "signe per a identitat de contingut" $\equiv$ (que va utilisar per a indicar tant l'equivalència material com l'identitat pròpiament dita); en el segon capítul declara nou proposicions formalisades com a axioma.

Concepte bàsic	Notació de Frege	Notacions modernes
Juí	$⊢A,⊩A$	$p(A)=1,$ $p(A)=i$ $⊢A,⊩A$
Negació		$\mathrm{\neg }A$ $\sim A$
Condicional (implicació)		$B\to A$ $B\supset A$
Quantificació universal		$\mathrm{\forall }xF(x)$
Quantificació existencial		$\mathrm{\exists }xF(x)$
Identitat de contingut (equivalència/identitat)	$A\equiv B$	$A\leftrightarrow B$ $A\equiv B$ $A=B$

En el capítul 1, §5, Frege definix el condicional de la següent manera:

"Sean A i B continguts juzgables, llavors les quatre possibilitats són:

1. A és afirmat, B és afirmat;
2. A és afirmat, B és negat;
3. A és negat, B és afirmat;
4. A és negat, B és negat.

Siga

que significa que la tercera d'eixes possibilitats no s'obté, pero una de les atres tres sí. Per lo tant, si neguem , això significa que la tercera possibilitat és vàlida, és dir, neguem A i afirmem B."

El càlcul en l'obra de Frege

Frege va declarar nou de les seues proposicions com axioma, i les va justificar argumentant informalmente que, pels seus significats intensionales, expressen veritats evidents per sí mateixes. Reexpresados en notació contemporànea, estos axioma són:

1. $⊢A\to (B\to A)$
2. $⊢[A\to (B\to C)]\to [(A\to B)\to (A\to C)]$
3. $⊢[D\to (B\to A)]\to [B\to (D\to A)]$
4. $⊢(B\to A)\to (\mathrm{\neg }A\to \mathrm{\neg }B)$
5. $⊢\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }A\to A$
6. $⊢A\to \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }A$
7. $⊢(c=d)\to (f\left(c\right)=f\left(d\right))$
8. $⊢c=c$
9. $⊢\mathrm{\forall }af(a)\to f(c)$

Estes són les proposicions 1, 2, 8, 28, 31, 41, 52, 54 i 58 en la Begriffsschrift. (1)–(3) governen l'implicació material, (4)–(6) la negació, (7) i (8) l'identitat, i (9) la quantificació universal. (7) expressa el principi d'identitat dels indiscernibles de Leibniz, i (8) afirma que l'identitat és una relació reflexiva.

Totes les demés proposicions es deduïxen de (1)–(9) invocant qualsevol de les següents regles d'inferència:

• Modus ponens nos permet inferir $⊢B$ de $⊢A\to B$ i $⊢A$;

La regla de generalisació permet inferir $⊢P\to \mathrm{\forall }xA(x)$ de $⊢P\to A(x)$ si x no apareix en P; La regla de substitució, que Frege no enuncia explícitament. Esta regla és molt més difícil d'articular en precisió que les dos regles anteriors, i Frege l'invoca de maneres que no sempre són llegítimes.

Els principals resultats del tercer capítul, titulat "Parts d'una teoria general de séries", concernixen a lo que ara es diu la relació ancestral d'una relació R. "a és un R-antecessor de b" s'escriu "aR*b".

Frege va aplicar els resultats de la Begriffsschrift, inclosos els de la relació ancestral, en la seua posterior obra Els fonaments de l'aritmètica. Aixina, si prenem xRy com la relació i = x + 1, llavors 0R*i és el predicat "i és un número natural". (133) diu que si x, i i z són número natural, llavors deu complir-se una de les següents: x < i, x = i, o i < x. Esta és la cridada "llei de la tricotomia".

Vore també

• Dissertació sobre l'art combinatori
• Filosofia analítica

Bibliografia

• George Boolos, 1985. "Reading the Begriffsschrift", Mind 94: 331–344.
• Ivor Grattan-Guinness, 2000. In Search of Mathematical Roots. Princeton University Press.
• Risto Vilkko, 1998, "The reception of Frege's Begriffsschrift," Història Mathematica 25(4): 412–422.