Condicional material

Plantilla:Conectivas llògiques El condicional material, conegut com a condicional, condicional funcional de veres, o imprecisamente confòs en la implicació material, és un conectiva llògica que conecta dos proposicions, representat usualment com $A\to B$. En llògica proposicional, el condicional material és una funció de veres binaria, que es torna fals quan B és falsa sent A verdadera, i es torna verdader en qualsevol atre cas. En llògica de predicats, pot ser vist com una relació de subconjunts entre l'extensió de predicats (possiblement complexos).

A diferència del Espanyol coloquial a on expressions "si...., llavors..." impliquen causa i efecte, el condicional material $A\to B$ no establix convencionalment una relació de causalitat entre les seues proposicions. És simplement una expressió que assumix un valor-veritat fals quan, simultàneament, $A$ és verdader i $B$ és fals.

El condicional material es pot denotar de vàries maneres,

$A\to B$

$A\supset B$ (encara que este símbol pot ser usat com el símbol d'un subconjunt en teoria de conjunts)

$A\Rightarrow B$ (encara que no és recomanat, ya que és usat para implicació llògica)

$CAB$ (en notació polaca)

Sobre les variables A i B,

$A$ és el antecedent del condicional

$B$ el conseqüent del condicional

És important no confondre el concepte de condicional material en el de implicació llògica. La confusió és exacerbada perque els símbols $A\to B$ i $A\Rightarrow B$ són imprecisamente usats com a expressions equivalents per molts, quan realment no ho són. Encara que en conversacions del dia a dia la diferència no té major impacte, la diferència sotil entre abdós conceptes és significativa en l'enteniment correcte de la llògica proposicional.

Definició

El condicional material és una funció de veres que pot prendre dos valors de veres (per lo general els valors de proposicions):

• torna fals quan el primer valor és verdader i el segon fals,
• i torna verdader en qualsevol atre cas.

En atres paraules, la taula de veres del condicional material és la següent:

$\begin{array}{ccc}A& B& A\to B\\ v& v& v\\ v& f& f\\ f& v& v\\ f& f& v\end{array}$

Com es veu, el condicional material torna 0 (fals) solament quan l'antecedent és verdader i el conseqüent fals. En tots els demés casos, torna 1 (verdader).

Propietats formals

Algunes de les propietats formals del condicional material són:

• Distributividad: $(A\to (B\to C))⟺((A\to B)\to (A\to C))$

• Transitividad: $(A\to B)\to ((B\to C)\Rightarrow (A\to C))$

• Conmutatividad d'antecedents: $A\to (B\to C))⟺(B\to (A\to C))$

• Idempotencia: $A\to A$ és sempre verdader.

Preservació de la veritat: L'interpretació en virtut del com totes les variables se'ls assigna un valor de veres de «verdader» produïx un valor de veres de «verdader» com a resultat del condicional material.

• Asociatividad de dreta a esquerra: $A\to B\to C⟺A\to (B\to C)$

En llògica clàssica $p\to q$ és equivalent a $\mathrm{\neg }(p\wedge \mathrm{\neg }q)$, i per les lleis de De Morgan equivalent a $\mathrm{\neg }p\vee q$. No obstant, en llògica minimal (i per tant també en llògica intuicionista) $p\to q$ sol implica $\mathrm{\neg }(p\wedge \mathrm{\neg }q)$; i en llògica intuicionista (pero no en llògica minimal) $\mathrm{\neg }p\vee q$ implica $p\to q$.

Correlació en la teoria de conjunts

Diagrama de Venn del condicional material.

En teoria de conjunts, la noció equivalent del condicional material $A\to B$ és:

$A\to B⟺A^C\cup B=(A\setminus B{)}^C$

és dir, és l'unió del complementari d'i del conjunt B, o equivalentemente, el complementari de menys B.

Diferència entre condicional material i implicació llògica

Vore també: Implicació

El condicional material no deu confondre's en la relació d'implicació llògica. La diferència és sotil pero molt important en la llògica proposicional.

• El condicional material és una afirmació hipotètica que no parla de la realitat ; és dir, no és possible saber el valor de veres d'o B simplement en observar l'expressió «Si A, llavors B», sense cap informació adicional. El condicional establix una relació entre A i B, pero no aclarix el seu valor de veres.

• Per una atra part, la implicació llògica «A, per lo tant B» és una afirmació no hipotètica sino en contingut de veres, que expressa una miqueta de la realitat ; és dir, establix clarament que A és verdader, i que per la tant B és verdader. És possible establir el valor de A, i de B, sense cap entrada adicional.

La diferència entre abdós depén també del camp en el que estiga treballant. En llògica matemàtica, la diferència fonamental entre abdós és que el condicional material és una funció de veres que pot ser tant verdadera com a falsa, mentres que la implicació és sempre verdadera —és per tant una tautologia—, és dir, existix una impossibilitat llògica de que l'afirmació «Si A, llavors B» siga falsa. Per esta raó, la forma precisa d'expressar l'implicació és «A implica B» o «A és condició suficient de B». Açò és anàlec a l'afirmació «B és condició necessària de A».

Propietats comunes

Existix, no obstant, una estreta relació entre abdós en la majoria dels sistemes llògics, incloent la llògica clàssica. Per eixemple, els següents principis se sostenen:

• Si $\Gamma ⊢A$, llavors $(⊢\Gamma )\to A$, a on A és una fòrmula qualsevol i $\Gamma$ és un conjunt de fòrmules qualsevol. Est és un cas particular del teorema de la deducció.

• Si $(⊢\Gamma )\to A$, llavors $\Gamma ⊢A$. Açò és un cas particular de l'invers de la teorema de la deducció.

• Tant el condicional material com la conseqüència llògica són monòtones. És dir, si $\Gamma ⊢A$, llavors $\Delta \cup \Gamma ⊢A$ i si $A\to B$, llavors $(A\wedge C)\to B$.

En estos eixemples s'ha utilisat el símbol trinquet (⊢) com a substitut de $\to$ o $\Rightarrow$. Estos principis, no obstant, no valen en tots els sistemes llògics. Per eixemple, no se sostenen en les llògiques no monotónicas.

Vore també

• Paradoxes de l'implicació material.
• Bicondicional.
• Funció de veres.
• Taula de veres.
• Conseqüència llògica.
• Àlgebra de Boole

Condicionals

• Contrafactual
• Condicional estricte

Bibliografia

• (2003) Raonament booleanos: La llògica de les equacions booleanas, 2ª edició, Nova York: Dover Publications.
• (1998) Matemàtiques discreta i combinatoria: introducció i aplicacions, Pearson Educació. ISBN 9789684443242.
• Quine, Willard van Orman (1982). Métodos de la llògica, 4ª edició, Cambridge: Harvard University Press.
• (1975).Philosophia.5

269-286.