Tautologia

En llògica proposicional, una tautologia és una fòrmula ben formada que resulta verdadera per a qualsevol interpretació; és dir, per a qualsevol assignació de valors de veres que es faça als seus fòrmules atòmiques. La construcció d'una taula de veres és un método efectiu per a determinar si una fòrmula qualsevol és una tautologia o no.

Taules de veres

Artícul principal → Taula de veres.

En un sistema de llògica proposicional, una interpretació és una assignació de valors de veres (verdader o fals) a cada una de les fòrmules atòmiques baixe consideració. Diferents interpretacions, per lo tant, diferixen solament en les assignació de valors de veres que fan. Una tautologia és una fòrmula ben formada que resulta verdadera baix totes les interpretacions possibles de les seues fòrmules atòmiques. Per lo tant, per a determinar si una fòrmula qualsevol és una tautologia, n'hi ha prou en considerar totes les possibles interpretacions de les fòrmules atòmiques, i calcular el valor de veres de la fòrmula completa. Açò es conseguix per mig d'una taula de veres. Per eixemple, considere's la fòrmula p ∧ q. Com a cada fòrmula atòmica se li pot assignar un de dos possibles valors de veres, llavors hi ha en total 2² = 4 possibles combinacions de valors de veres. És dir, quatre interpretacions possibles: o abdós són verdaderes; o p és verdadera i q falsa; o p és falsa i q verdadera; o abdós són falses. Açò es pot presentar per mig d'una simple taula:

$\begin{array}{cc}p& q\\ V& V\\ V& F\\ F& V\\ F& F\end{array}$

Per a cada una d'estes interpretacions, es pot calcular el valor de veres de la fòrmula p ∧ q. Els resultats es poden presentar novament per mig d'una taula:

$\begin{array}{ccc}p& q& p\wedge q\\ V& V& V\\ V& F& F\\ F& V& F\\ F& F& F\end{array}$

Esta és la taula de veres de la fòrmula p ∧ q. Com es veu, esta fòrmula solament és verdadera baixe una interpretació: aquella en la que abdós fòrmules atòmiques són verdaderes. Una tautologia és una fòrmula que és verdadera per a totes les interpretacions possibles de les fòrmules atòmiques. Per lo tant, p ∧ q no és una tautologia. En canvi, la següent taula de veres mostra una fòrmula que sí ho és:

$\begin{array}{cccc}p& q& p\wedge q& (p\wedge q)\to p\\ V& V& V& V\\ V& F& F& V\\ F& V& F& V\\ F& F& F& V\end{array}$

Si una fòrmula té n fòrmules atòmiques distintes, llavors té 2ⁿ interpretacions possibles. En molts casos, per lo tant, les taules de veres poden ser molt grans. Lo important, no obstant, és que ya que la llògica proposicional no admet fòrmules infinitament llargues, el número d'interpretacions possibles sempre serà finito, i per lo tant sempre serà possible decidir si una fòrmula qualsevol és una tautologia o no.

Operació nularia

Sent $𝒫$ el conjunt de proposicions, i $a,b,c,d,\dots$ proposicions de $𝒫$, es pot definir l'operació nularia: tautologia, per la que sense arguments o independentment dels arguments, a una variable $a$ de $𝒫$ se li assigna el valor verdader.

$\begin{array}{cccc}\mathrm{\top }:& \varnothing & ⟶& 𝒫\\ & ()& \mapsto & a=\mathrm{\top }()=V\end{array}$

Una tautologia és equivalent al valor verdader, independentment dels arguments de l'expressió o funció a la que es pot reduir, a la dreta es pot vore diagrames de Venn que representen el valor verdader para: cap, una o dos variables. Açò és una funció o relació de variables llògiques o booleanas és una tautologia si és equivalent al valor verdader per a tots els possibles valors de les seues variables.

Vore també

• Càlcul llògic
• Principi d'identitat
• Veritat llògica