Diagrama de Venn

Els diagrames de Venn són esquemes usats en la teoria de conjunts, tema d'interés en matemàtiques, llògica de classes i raonament diagramático. Estos diagrames mostren coleccions (conjunts) de coses (elements) per mig de llínees tancades. La llínea tancada exterior comprén a tots els elements baix consideració, el conjunt universal O.

Els diagrames de Venn varen ser ideats cap a 1880 per John Venn.

Introducció

En els diagrames de Venn és possible representar les relacions d'intersecció, inclusió i disjunció sense canviar la posició relativa dels conjunts

Intersecció

Ya que els conjunts poden tindre elements comuns, les regions tancades per les seues llínees llímit se superponen, sent els elements del conjunt que pertanyen simultàneament a abdós conjunts coneguts com, l'intersecció del conjunt.^[1]

A = {1; 2; 3; 4; 6; 12} B = {1; 3; 5; 15} O = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 12; 15}
A = {x \| x és divisor natural de 12} B = {x \| x és divisor natural de 15} O = {x \| x és natural menor o igual que 15}

Intersecció = 1, 3

Inclusió

Si tots els elements d'un conjunt són part dels elements d'un atre, es diu que el primer és un subconjunt del segon o que està inclós en el segon. En els diagrames de Venn, totes les regions de superposició possibles deuen ser representades. I, quan hi ha regions que no contenen elements (regions buides), la situació s'indica anulant-les (en un color de fondo distint).^[2]

A = {1; 2; 3; 4; 6; 12} B = {1; 2; 3; 6} O = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}
A = {x \| x és divisor natural de 12} B = {x \| x és divisor natural de 6} O = {x \| x és natural menor o igual que 12}

Disjunció

Quan els conjunts no tenen elements comuns, la regió de superposició queda buida. I és tal

A = {2; 4; 6; 8} B = {1; 3; 5; 7; 9} O = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
A = {x \| x és parell i d'una sifra} B = {x \| x és impar i d'una sifra} O = {x \| x és natural menor que 10}

A l'esquerra dels diagrames, les definicions dels conjunts per enumeració i per comprensió.

Orígens i història

Vitral del menjador del Caius College (Cambridge) en homenage a John Venn i la seua creació

Els diagrames de Venn tenen el nom del seu creador, John Venn, matemàtic i filòsof britànic.^[3] Estudiant i més tarde professor del Caius College de l'Universitat de Cambridge, Venn va desenrollar tota la seua producció intelectual en eixe àmbit.^[4]

Els diagrames que hui coneixem varen ser presentats en juliol de 1880 en el treball titulat De la representació mecànica i diagramática de proposicions i raonaments,^[5] que va tindre gran repercussió en el món de la llògica formal. Els diagrames de Venn tenen varis antecedents. La primera representació gràfica de deduccions llògiques —i, en particular, de silogismes— s'atribuïx comunament a Gottfried Leibniz. Variants de la mateixa varen ser amprades després per George Boole i Augustus De Morgan, pero va anar el gran matemàtic suís Leonhard Euler qui primer va introduir una notació clara i senzilla.^[2] El següent diagrama mostra d'un atre modo la relació d'inclusió de l'eixemple donat en l'introducció.

diagrama de Euler

Els diagrames de Euler es distinguixen dels de Venn en dos aspectes:

en ells no apareixen les regions buides i
el conjunt universal no es representa.

Si ben va ser Venn qui va introduir l'expressió «univers del discurs», ell mai va representar a l'universal en els seus treballs.^[3] Per això l'idea de conjunt universal s'atribuïx habitualment a Charles Dodgson, més conegut com Lewis Carroll, el llògic i autor de contes per a chiquets que va popularisar el concepte de conjunt complementari. El conjunt universal va ser qüestionat per Bertrand Russell, qui va mostrar que en tal concepte la teoria de conjunts resultava inconsistente (vore paradoxa de Russell). No obstant, dita definició va ser rescatada i encara justificada en una recent extensió dels diagrames de Venn que distinguix a l'universal del Tot (univers del discurs).^[6] Per les dos raons recent mencionades, els diagrames de Venn varen aplegar a convertir-se en el nou estàndart per a la formalisació d'operacions llògiques i els sistemes de representació anteriors varen caure en desús.^[2]

Temps despuix de l'aparició del primer artícul, Venn va desenrollar el seu nou sistema en el llibre Llògica simbòlica, publicat en 1881 i el propòsit del qual era interpretar i revisar els treballs de Boole en el camp de la llògica formal. Este llibre va servir sobretot per a presentar eixemples de l'us dels diagrames.^[7] Un atre llibre de Venn que va ajudar a divulgar el nou sistema de representació va ser el titulat Els principis de la llògica empírica o inductiva, publicat en 1889.^[8]

La primera constància escrita de l'us de l'expressió «diagrama de Venn» és molt tardana (1918) i es troba en el llibre A Survey of Symbolic Logic de Clarence Irving Lewis.^[9]

Vore també

Referències

↑ Luetich, "Ser o ser no, eixe és el dilema", Actes – Suplement 1, 1 (1) 1, Rosario, Acadèmia Luventicus, 2001
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Edward N. Zalta – Uri Nodelman – Colin Allen (editors), artícul: "Diagrams", Stanford Encyclopedia of Philosophy, Stanford, Metaphysics Research Lab – Center for the Study of Language and Information – Stanford University, 2001–2013
↑ ^3,0 ^3,1 Margaret E. Baron, "A Note on the Historical Development of Logic Diagrams: Leibniz, Euler and Venn", The Mathematical Gazette, Vol. 53 No. 384, Leicester, The Mathematical Association, 1969
↑ Anònim, "Obituary Notices of Fellows Deceased: Rudolph Messel, Frederick Thomas Trouton, John Venn, John Young Buchanan, Oliver Heaviside, Andrew Gray", Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Vol. 110 No. 756, Londres, The Royal Society, 1926
↑ John Venn, "On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings", The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 10 (58) 1–18, Escòcia, Taylor & Francis, 1880
↑ "Camí del ser i diagrama total" [1] archivat en Wayback Machine., Actes – Editorials, Rosario, Acadèmia Luventicus, 2013
↑ John Venn, Symbolic Logic, Londres, Macmillan, 1881
↑ Clarence Irving Lewis, A survey of symbolic logic, Berkeley, University of Califòrnia Press, 1918
↑ John Venn, The Principles Of Empirical Or Inductive Logic, Londres, Macmillan, 1907

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Diagrama de Venn» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Luetich1-1] Luetich, "Ser o ser no, eixe és el dilema", Actes – Suplement 1, 1 (1) 1, Rosario, Acadèmia Luventicus, 2001

[ZNA-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Edward N. Zalta – Uri Nodelman – Colin Allen (editors), artícul: "Diagrams", Stanford Encyclopedia of Philosophy, Stanford, Metaphysics Research Lab – Center for the Study of Language and Information – Stanford University, 2001–2013

[MB-3] 3,0 ^3,1 Margaret E. Baron, "A Note on the Historical Development of Logic Diagrams: Leibniz, Euler and Venn", The Mathematical Gazette, Vol. 53 No. 384, Leicester, The Mathematical Association, 1969

[4] Anònim, "Obituary Notices of Fellows Deceased: Rudolph Messel, Frederick Thomas Trouton, John Venn, John Young Buchanan, Oliver Heaviside, Andrew Gray", Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Vol. 110 No. 756, Londres, The Royal Society, 1926

[5] John Venn, "On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings", The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 10 (58) 1–18, Escòcia, Taylor & Francis, 1880

[Luventicus1-6] "Camí del ser i diagrama total" [1] archivat en Wayback Machine., Actes – Editorials, Rosario, Acadèmia Luventicus, 2013

[7] John Venn, Symbolic Logic, Londres, Macmillan, 1881

[8] Clarence Irving Lewis, A survey of symbolic logic, Berkeley, University of Califòrnia Press, 1918

[9] John Venn, The Principles Of Empirical Or Inductive Logic, Londres, Macmillan, 1907

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]