Paradoxa de Russell

Archiu:Russell's paradox.svg

Paradoxa de Russell

Archiu:Bertrand Russell transparent bg.png

Bertrand Russell, matemàtic britànic que va enunciar la paradoxa que du el seu nom

Archiu:Enrique Simonet - El barbero del zoco - 1897.jpg

El barber del soc d'Enrique Simonet (1897).

La paradoxa de Russell o paradoxa del barber, acreditada a Bertrand Russell, demostra que la teoria de conjunts originalment formulada per Georg Cantor i Gottlob Frege és contradictòria.

La paradoxa en térmens de conjunts

Supongam els casos de conjunts que són membres de sí mateixos. Un eixemple descrit és el que supon un conjunt que consta de «idees abstractes». Dit conjunt és membre de sí mateixa perque el propi conjunt és una idea abstracta. Un atre eixemple seria una bossa en bosses dins. Per un atre costat un conjunt que consta de «llibres» no és membre de sí mateixa perque el conjunt en sí no és un llibre. Russell preguntava (en carta escrita a Frege en 1902), si el conjunt dels conjunts que no formen part de sí mateixos (és dir, aquell conjunt que engloba a tots aquells conjunts que no estan inclosos en sí mateixos, com el de «llibres» en l'eixemple anterior) forma part de sí mateixa. La paradoxa consistix que si no forma part de sí mateixa, pertany al tipo de conjunts que no formen part de sí mateixos i per lo tant forma part de sí mateixa. És dir, formarà part de sí mateixa només si no forma part de sí mateixa.

Enunciat formal de la paradoxa

Cridem $M_{}^{}$ al «conjunt de tots els conjunts que no es contenen a sí mateixos com a membres». És dir:

(1) $M=\{x:x\notin x\}$

Segons la teoria de conjunts de Cantor, l'equació (1) es pot representar per

(2) $\mathrm{\forall }xx\in M⟺x\notin x$

és dir «cada conjunt és element de $M$ si i solament si no és element de sí mateixa».

Ara, en vista de que $M$ és un conjunt, es pot substituir $x$ per $M$ en l'equació (2), d'a on s'obté

(3) $M\in M⟺M\notin M$

És dir que $M$ és un element de $M$ si i solament si $M$ no és un element de $M$, la qual cosa és absurt.

La paradoxa en térmens del barber

La paradoxa de Russell ha segut expressada en varis térmens més quotidians, el més conegut és la paradoxa del barber que es pot enunciar de la següent manera:

En un lluntà poblat d'un antic emirat hi havia un barber cridat As-Samet destre en afaitar caps i barbes, mestre en escamondar peus i en posar sanguisoles. Un dia l'emir es va donar conte de la falta de barbers en l'emirat, i va ordenar que els barbers solament afaitaren a aquelles persones que no pogueren afaitar-se a sí mateixos. ¡Ah! i va impondre la norma de que tot lo món estiguera afaitat, (no se sap si per higiene, per estètica, o per demostrar que podia impondre la seua santa voluntat i mostrar aixina la seua poder). Cert dia l'emir va cridar a As-Samet per a que ho afaitara i ell li va contar els seus oixos: —En el meu poble soc l'únic barber. No puc afaitar al barber del meu poble, ¡que soc yo!, ya que si ho faig, llavors puc afaitar-me per mi mateixa, per lo tant ¡no deuria afaitar-me! puix desobediria la vostra orde. Pero, si pel contrari no m'afaite, llavors algun barber deuria afaitar-me, ¡pero com yo soc l'únic barber d'allí!, no puc fer-ho i també aixina desobediria a vós el meu senyor, oh emir dels creents, ¡que Allah vos tinga en la seua glòria! L'emir va pensar que els seus pensaments eren tan profunts, que ho va premiar en la mà de la més bella de les seues concubinas. Aixina, el barber As-Samet va viure per a sempre feliç i barbón.

En llògica de primer orde, la paradoxa del barber es pot expressar com:

(4) $\mathrm{\forall }x\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{a}(x,barbero)⟺\mathrm{\neg }\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{a}(x,x)$

A on $\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{a}(x,y)$ significa «$x$ és afaitat per $y$». Lo anterior es llegiria com «cada persona és afaitada pel barber si i solament si no s'afaita a sí mateixa». És important notar la semblança entre les equacions (2) i (4). Al substituir $x$ per $barbero$ s'obté

(5) $\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{a}(barbero,barbero)⟺\mathrm{\neg }\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{a}(barbero,barbero)$

És dir que el barber s'afaita a sí mateixa si i solament si no s'afaita a sí mateixa, la qual cosa és una contradicció.

Pero Russell dubta sobre esta formulació, ell mateixa comenta: «en una ocasió em va ser sugerida una formulació que no era vàlida; a saber, la qüestió de si el barber s'afaita o no a sí mateixa. Vostés poden definir al barber com "algú que afaita a tots aquells, i només aquells, que no s'afaiten a sí mateixos". La pregunta ara és: ¿s'afaita el barber a sí mateixa? Aixina formulada, la contradicció no és molt difícil de resoldre».

Explicació de la paradoxa

Els conjunts són reunions de coses, per eixemple de coches, llibres, persones, etc. i en este sentit els cridarem conjunts normals.

La característica principal d'un conjunt normal és que no es conté a sí mateixa. Pero també existixen conjunts de conjunts, com $2^M$, que és el conjunt de subconjunts de M.

Un conjunt de conjunts és normal llevat si podem fer que es continga a sí mateixa. Açò últim no és difícil si tenim el conjunt de totes les coses que NO són llibres i com un conjunt no és un llibre, el conjunt de totes les coses que NO són llibres formarà part del conjunt de totes les coses que NO són llibres. Estos conjunts que es contenen a sí mateixos es diuen conjunts singulars.

Està clar que un conjunt dau o be és normal o be és singular, no hi ha terme mig, o es conté a sí mateix o no es conté. Ara prengam el conjunt $C$ com el conjunt de tots els conjunts normals. ¿Quina classe de conjunt és $C$? ¿Normal o Singular?

Si és normal, estarà dins del conjunt de conjunts normals, que és $C$, després ya no pot ser normal, ya que es conté a sí mateixa. Si és singular, no pot estar dins del conjunt de conjunts normals, després no pot estar en $C$, pero si no pot estar en $C$ llavors no és singular, ya que no es conté a sí mateixa.

Història

Russell va descobrir la paradoxa en maig o juny de 1901. Segons el seu propi relat en el seu Introduction to Mathematical Philosophy, de 1919, «vaig intentar descobrir alguna falla en la prova de Cantor de que no existix un (número) cardinal major que tots els demés». En una carta de 1902, va anunciar el descobriment a Gottlob Frege de la paradoxa en el Begriffsschrift de Frege de 1879 i va emmarcar el problema en térmens tant de llògica com de teoria de conjunts, i en particular en térmens de la definició de Frege de funció:

Solament hi ha un punt en el que m'he trobat en una dificultat. Vosté afirma (pág. 17 [pág. 23 dalt]) que una funció també pot actuar com l'element indeterminat. Açò ho creïa anteriorment, pero ara este punt de vista em sembla dubtós per la següent contradicció. Deixar w ser el predicat: ser un predicat que no pot ser predicat de sí mateixa. Poder w ser predicat de sí mateixa? De cada resposta se seguix el seu opost. Per lo tant devem concloure que w no és un predicat. Aixina mateix, no hi ha classe (com a totalitat) d'aquelles classes que, preses cada una com una totalitat, no es pertanyen a sí mateixes. D'açò concloc que baixe certes circumstàncies una colecció definible [Menge] no forma una totalitat.

Russell passaria a cobrir-ho extensament en el seu 1903 The Principles of Mathematics, a on va repetir la seua primera trobada en la paradoxa:

Abans de despedir-nos de qüestions fonamentals, és necessari examinar més en detalle la singular contradicció, ya mencionada, respecte dels predicats no predicables per sí mateixos. ... Puc mencionar que vaig ser conduït a ell en l'esforç per reconciliar la prova de Cantor....

Russell li va escriure a Frege sobre la paradoxa just quan Frege estava preparant el segon volum del seu Grundgesetze der Arithmetik. Frege va respondre a Russell molt ràpidament; va aparéixer la seua carta del 22 de juny de 1902, en el comentari de van Heijenoort en Heijenoort 1967:126–127. Frege després va escriure un apèndix admetent la paradoxa, i va propondre una solució que Russell recolzaria en la seua Principles of Mathematics, pero més tarde alguns ho varen considerar insatisfactori. Per la seua banda, Russell tenia la seua obra en l'imprenta i va afegir un apèndix sobre la doctrina de tipos.

Ernst Zermelo en el seu (1908) Una nova prova de la possibilitat d'un bon ordenament (publicat al mateix temps que va publicar «la primera teoria axiomàtica de conjunts») va reclamar el descobriment previ de l'antinomia en l'ingènua teoria de conjunts de Cantor. Afirma: «I, no obstant, inclús la forma elemental que Russell⁹ va donar a la teoria de conjunts antinomias podria haver-los persuadit [J. König, Jourdain, F. Bernstein] que la solució d'estes dificultats no deu buscar-se en la renúncia al bon orde sino solament en una restricció adequada de la noció de conjunt». La nota al peu 9 és a on fa la seua afirmació:

⁹1903, pp. 366–368. No obstant, yo mateixa havia descobert esta antinomia, independentment de Russell, i l'havia comunicat abans de 1903 al professor Hilbert, entre uns atres.

Frege va enviar una còpia de la seua Grundgesetze der Arithmetik a Hilbert; com es va senyalar anteriorment, l'últim volum de Frege menciona la paradoxa que Russell li havia comunicat a Frege. Despuix de rebre l'últim volum de Frege, el 7 de novembre de 1903, Hilbert li va escriure una carta a Frege en la que dia, referint-se a la paradoxa de Russell: «Crec que el Dr. Zermelo la va descobrir fa tres o quatre anys». Un relat escrit de l'argument real de Zermelo va ser descobert en el Nachlass d'Edmund Husserl.

En 1923, Ludwig Wittgenstein va propondre «desfer-se» de la paradoxa de Russell de la següent manera:

La raó per la que una funció no pot ser el seu propi argument és que el signe d'una funció ya conté el prototip del seu argument, i no pot contindre's a sí mateixa. Puix supongam que la funció F(fx) poguera ser el seu propi argument: en eixe cas hi hauria una proposició F(F(fx)), en el que la funció exterior F i la funció interna F deu tindre diferents significats, ya que l'interior té la forma O(fx) i l'exterior té la forma I(O(fx)). Només la lletra 'F' és comuna a les dos funcions, pero la lletra per sí sola no significa res. Açò queda immediatament clar si en lloc de F(Fu) nosatres escrivim (do) : F(Ou) . Ou = Fu. Això elimina la paradoxa de Russell. (Tractatus Logico-Philosophicus, 3.333)

Russell i Alfred North Whitehead varen escriure els seus «Principia Mathematica» en tres volums en l'esperança de conseguir lo que Frege no havia pogut fer. Varen intentar desterrar les paradoxes de la teoria de conjunts ingènua amprant una teoria de tipos que varen idear per a este propòsit. Si be varen conseguir fonamentar l'aritmètica d'alguna manera, no és del tot evident que ho feren per mijos purament llògics. Si ben «Principia Mathematica» va evitar les paradoxes conegudes i va permetre la derivació d'una gran cantitat de matemàtiques, el seu sistema va donar lloc a nous problemes.

En qualsevol cas, Kurt Gödel en 1930–31 va demostrar que mentres que la llògica de gran part de «Principia Mathematica», ara coneguda com llògica de primer orde, és completa, l'aritmètica de Peano és necessàriament incompleta si és consistent. Açò es considera molt àmpliament, encara que no universalment, com que ha demostrat que el programa logicista de Frege és impossible de completar.

En 2001, es va celebrar en Munich una Conferència Internacional del Centenari que celebrava els primers cent anys de la paradoxa de Russell i es varen publicar les seues actes.

Fonts

• «Set Theory and its Philosophy».Clarendon Press (Oxford University Press).
• «From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, (third printing 1976)».Harvard University Press.

Vore també

• Teoria de conjunts
• Classe
• Principia Mathematica

Enllaços externs

• Epsilones - Frege i la paradoxa de Russell
• López Mateos, Manuel. Els conjunts. En Acadèmia.edu.