Axioma de Peano

Giuseppe Peano.

Els axioma de Peano o postulats de Peano són un sistema de axioma de segon orde per a l'aritmètica ideats pel matemàtic Giuseppe Peano en el XIX, para definir els número natural. Estos axioma s'han utilisat pràcticament sense canvis en diverses investigacions matemàtiques, incloent qüestions sobre la consistència i completitud de l'aritmètica i la teoria de números.

Els va publicar en 1889, en un fullet d'unes trenta pàgines, intitulado Aritmetices principia, nova methodo exposita, que es traduïx per Nou método d'exposició dels principis de l'aritmètica. Dona una llista de nou axioma, dels quals quatre versen sobre l'us del signe " $=$ ". Els demés es coneixen com "Axioma de Peano". Els matemàtics els consideren com la plataforma preliminar per a forjar els següents conjunts usuals de números. L'idea pivotal de Peano va ser la de "successor".^[1]

Els axioma

Els axioma de Peano descriuen les propietats aritmètiques dels número natural, normalment representats com un conjunt N El primer axioma indica:

El $0$ és un número natural.

La formulació original de Peano usava a l'1 com el primer número natural, en lloc del 0, que s'incloïa en els axioma de Formulari Matemàtic. Generalment es decidix en cada cas si s'inclou o no al 0 com a primer número natural, depenent de si es necessita o no.

Els següents quatre axioma són:

Tot número natural $n$ té un successor $n^{*}$ . (Este axioma és usat per a definir posteriorment la suma).
El $0$ no és el successor de cap número natural.
Si hi ha dos número natural n i m en el mateix successor, llavors $n$ i $m$ són el mateix número natural.
Si el $0$ pertany a un conjunt qualsevol, i donat un número natural qualsevol en dit conjunt, el successor també pertany al conjunt, llavors tots els número natural pertanyen a eixe conjunt.

Este últim axioma és el principi d'inducció matemàtica.

Presentació formal

Com es va dir abans existix un debat sobre si incloure a el $0$ entre els número natural o no. A continuació es presenten els axioma de Peano de manera formal, contemplant abdós possibilitats:

Quan no intervé el zero

Els símbols que designen els conceptes primitius són $N, 1, x^{'}$ .

El símbol N designa un predicat monádico que es llig «ser un número natural». El símbol 1, per la seua banda, designa una constant que pretén representar al número u. I el símbol x', finalment, designa una funció sobre x que torna al successor de x. A esta funció moltes voltes li l'escriu S(x). Finalment, la metavariable $ϕ$ representa una fòrmula qualsevol de l'aritmètica, i $ϕ (x)$ representa una fòrmula qualsevol que tinga a x com a variable lliure.

Els cinc axioma de Peano són:

$A_{1} : N (1)$

$A_{2} : \forall x (N (x) \to N (x^{'}))$

$A_{3} : \neg \exists x (N (x) \land (1 = x^{'}))$

$A_{4} : \forall x \forall y ((N (x) \land N (y) \land (x^{'} = y^{'})) \to x = y)$

Del quint axioma existixen dos variants. El primer està formulat en llògica de primer orde, i és en realitat un esquema d'axioma. El segon sí és un axioma, pero està formulat en llògica de segon orde.

$A_{5} : (ϕ (1) \land \forall x (ϕ (x) \to ϕ (x^{'}))) \to \forall x ϕ (x)$

{A_{5}}^{'} : \forall ϕ ((ϕ (1) \land \forall x (ϕ (x) \to ϕ (x^{'}))) \to \forall x ϕ (x))

Ademés dels cinc axioma, l'aritmètica de Peano recorre a dos definicions (de la suma i de la multiplicació), que a voltes es presenten com a axioma. A continuació s'inclouen totes les variants:

Definicions de suma i multiplicació:

$D_{1} :$	$n + 1 = n^{'}$
	$n + m^{'} = (n + m)^{'}$

$D_{2} :$	$n \times 1 = n$
	$n \times m^{'} = (n \times m) + n$

Axioma de la suma i de la multiplicació:

$A_{6} :$	$\forall n (n + 1 = n^{'})$
	$\forall n \forall m (n + m^{'} = (n + m)^{'})$

$A_{7} :$	$\forall n (n \times 1 = n)$
	$\forall n \forall m (n \times m^{'} = (n \times m) + n)$

Quan intervé el zero

Els símbols que designen els conceptes primitius són $N, 0, x^{'}$ .

Axioma:

$A_{1} : N (0)$

$A_{2} : \forall x (N (x) \to N (x^{'}))$

$A_{3} : \neg \exists x (N (x) \land 0 = x^{'})$

$A_{4} : \forall x \forall y ((N (x) \land N (y) \land x^{'} = y^{'}) \to x = y)$

$A_{5} : (ϕ (0) \land \forall x (ϕ (x) \to ϕ (x^{'}))) \to \forall x ϕ (x)$

${A_{5}}^{'} : \forall ϕ (ϕ (0) \land \forall x ((ϕ (x) \to ϕ (x^{'})) \to \forall x ϕ (x)))$

Canviar els axioma per a que incloguen al 0 és solament una qüestió de canviar tota aparició de l'1 pel 0. No obstant, en les definicions (o els axioma) de suma i de multiplicació cal fer alguns lleus ajusts més:

Definicions de suma i multiplicació:

$D_{1} :$	$n + 0 = n$
	$n + m^{'} = (n + m)^{'}$

$D_{2} :$	$n \times 0 = 0$
	$n \times m^{'} = (n \times m) + n$

Axioma de la suma i de la multiplicació:

$A_{6} :$	$\forall n (n + 0 = n)$
	$\forall n \forall m (n + m^{'} = (n + m)^{'})$

$A_{7} :$	$\forall n (n \times 0 = 0)$
	$\forall n \forall m (n \times m^{'} = (n \times m) + n)$

Models inintencionales

Un modele és una interpretació dels símbols primitius que fa verdaders a tots els axioma. Per eixemple, interpretant al símbol 0 com el número zero, i al predicat $𝒩$ com els número natural, el primer axioma resulta verdader, perque és veritat que «el zero és un número natural». Lo mateixa ocorre en tots els atres axioma: baixe les interpretacions naturals de $0$ , $𝒩$ i $x^{'}$ , cada u dels axioma resulta verdader. Després, les interpretacions naturals dels símbols primitius són un model de l'aritmètica de Peano.

Originalment, Peano va propondre els axioma per a caracterisar als número natural, i els símbols primitius es devien interpretar d'esta manera natural. No obstant, els símbols que designen als conceptes primitius admeten atres interpretacions, algunes de les quals seran ademés models. Per eixemple, es podria interpretar al símbol $0$ com el número dos (per a simplificar l'explicació no entenem el zero com a parell), a $𝒩$ com el predicat «ser un número par», i a $x^{'}$ com el successor del successor, en lloc del successor immediat. En tal cas, els axioma es tindrien que entendre aixina:

El dos és un número par.
Si $n$ és un número par, llavors el successor del successor de $n$ també és un número par.
El dos no és el successor del successor de cap número par.
Si hi ha dos número par $n$ i $m$ en el mateix successor de successor, llavors $n$ i $m$ són el mateix número par.
Si el dos pertany a un conjunt, i donat un número par qualsevol, el successor del successor d'eixe número també pertany a eixe conjunt, llavors tots els número par pertanyen a eixe conjunt.

Baixe esta interpretació, tots els axioma resulten verdaders, i els axioma ya no definixen als número natural, sino als número par. També és possible trobar models (és dir, interpretacions que facen verdaders a tots els axioma) per fòra de la matemàtica. Per eixemple, es podria interpretar a 0 com el primer segon després del Big Bang, a $𝒩$ com el predicat «ser un segon», i a $x^{'}$ com el segon despuix de $x$ . Baixe esta interpretació (i assumint que el temps és infinit) els axioma també resulten verdaders.

A aquells models que no varen anar originalment planejats li'ls crida models inintencionales (senar-intended models), i existixen infinits models inintencionales de l'aritmètica de Peano. Estrictament parlant, l'aritmètica de Peano no definix el conjunt dels número natural, sino a la noció més àmplia de successió matemàtica o progressió aritmètica dels naturals.

Vore també

Referències

↑ F. Gareth Ashurst. fundadors de les matemàtiques modernes. Aliança editorial, Madrit.ISBN 84-206-0130-1

Bibliografia

Peano, Giuseppe (març de 1979). Julián Velarde Lombraña (ed.). Els principis de l'aritmètica: exposts segons un nou método, 1ª edició, Pentalfa Edicions. ISBN 978-84-85422-02-9.
Agüero Macken (2004). Giuseppe Peano i l'utopia del llenguage, 1ª edició, UNED EDICIONES. ISBN 84-362-4941-0.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Axiomas de Peano» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] F. Gareth Ashurst. fundadors de les matemàtiques modernes. Aliança editorial, Madrit.ISBN 84-206-0130-1

[1]