Sistema axiomàtic

En llògica i matemàtiques, un sistema axiomàtic consistix en un conjunt d'axiomas que s'utilisen, per mig de deduccions, per a demostrar teoremas. En atres paraules, l'idea d'un sistema axiomàtic consistix en donar al principi els axiomas, és dir, les afirmacions que s'accepten com a verdaderes, i despuix derivar, per mig de deducció, totes les afirmacions. Es deu evitar que els axiomas es puguen deduir a partir dels atres i, ademés, els axioma deuen ser consistents. Eixemples de sistemes axiomàtics deductivos són la geometria euclidiana compilada per Euclides en els Elements i el sistema axiomàtic de la llògica proposicional.

Història

El primer treball, en la història de la matemàtica, de axiomatisació es va desplegar en els Elements de Euclides (IV-III a. C.), vinculat a la geometria plana i alguns aspectes de l'aritmètica. Euclides enuncia cinc postulats i cinc nocions comunes (axioma), dels que deduïx les seues teoremes de la geometria. Al mateix temps, Aristóteles aporta el primer enfocament de la llògica formal en el Órganon, arreplegant diversos axioma de Platón i atres filòsofs.

En matemàtiques, no obstant, el primer intent de axiomatisació va aplegar en 1888, quan Richard Dedekind va propondre un conjunt de axioma sobre els números. A l'any següent, Giuseppe Peano repren/reprén els treballs de Dedekind i expon els seus axioma aritmètics.

Gottlob Frege, en 1884, en la seua obra Die Grundlagen der Arithmetik i la posterior Grundgesetze der Arithmetik, tracta de reduir l'aritmètica a la llògica. Bertrand Russell en el seu intent de 1901 va descobrir la paradoxa del mateix nom: «paradoxa de Russell», i per a resoldre-la va treballar en Alfred North Whitehead, en Principia Mathematica. En 1899, David Hilbert reformula els axioma de la geometria, i també explica els conceptes que Euclides va deixar implícits, per eixemple, Euclides no diu que hi ha a lo manco tres punts en el pla, o que hi ha a lo manco un punt en el pla que no pertany a la llínea, etc.

En el Congrés celebrat en 1900, David Hilbert va plantejar varis problemes, entre els que incloïa la demostració de la consistència dels axioma de les matemàtiques i la axiomatisació de la física. En 1931, Kurt Gödel va demostrar que qualsevol sistema axiomàtic equivalent als axioma de Peano és incomplet i que si este sistema és consistent, no es pot utilisar per a provar la seua consistència (teorema de incompletitud de Gödel).

Sistemes axiomàtics formals i informals

Un sistema axiomàtic pot tindre expressats els seus axioma de manera formal o de manera informal:

• Una axiomatisació formal usa un llenguage formal i en ell cada axioma és una cadena finita de signes en l'alfabet del llenguage formal, seguint regles combinatòries que fan de la seqüència una fòrmula ben formada.
• Una axiomatisació informal usa una llengua natural formalisada i definicions no ambigües, els llibres de matemàtica i atres disciplines formals normalment redacten els axioma d'esta manera.

Els sistemes de axioma formals són més senzills d'estudiar i són preferibles per a caracterisar les propietats dels sistemes matemàtics. En particular admeten una caracterisació semàntica molt clara en la teoria de models i les seues propietats deductivas poden ser tractades en la teoria de la demostració. Pel contrari, les axiomatizaciones informals només són útils quan es té un model concret en ment i es pretenen buscar propietats que es complixen en el model.

Components d'un sistema axiomàtic formal

Archiu:Deduction architecture.png

Un sistema axiomàtic formal consta dels següents elements:

• Un alfabet S per a construir expressions formals que inclou:

• • Un conjunt de símbols per a conectivas llògiques, quantificadorés
  • Un conjunt de símbols per a designar variables
  • Un conjunt de símbols per a constants (que tindran en un model una interpretació fixa).
  • Un conjunt de símbols que seran interpretats com funcions.
  • Un conjunt de símbols que seran interpretats com relacions.
• Una gramàtica formal que inclourà:
  • Regles de bona formació, que reproduïxen la "morfologia" del llenguage formal.
  • Regles d'inferència que permetran deduir unes proposicions d'unes atres, estes regles reproduïxen la "sintaxis" del llengua formal.
• Un conjunt de axioma inicial, o expressions ben formades són el punt de partida de qualsevol deducció.

Per al conjunt d'expressions ben formades expressades en el llenguage formal anterior pot definir-se una S-estructura en la que a cada variable constant o cada ocurrència lliure d'una variable reba un valor dins del model (és dir, les constants i variables lliures seran conjunts preasignados de la S-estructura). Les funcions i relacions seran definides com a funcions i relacions matemàtiques dins de la S-estructura. Una volta definides les constants, variables lliures, funcions i relacions resulta trivial atribuir un significat concret a les expressions del llenguage formal en la S-estructura.

Models per a un sistema axiomàtic formal

Si un conjunt de proposicions (fòrmules ben formades) d'un sistema axiomàtic formal admeten una S-estructura a on se satisfan, llavors es diu que dita estructura és un model per al conjunt de proposicions. Un sistema de axioma que admet un model és un sistema de axioma consistent. Un sistema formal ben construït satisfà el "teorema de validea", que ve a afirmar que qualsevol proposició deduible dels axioma, o teorema del sistema axiomàtic, se satisfà també, en tots els models que siguen un model en el que se satisfan els axioma. La propietat recíproca no sempre es complix, una proposició que se satisfà en tots els models d'una teoria no té perqué ser deduible del sistema de axioma. Este últim punt és ilustrat pels teoremes de incompletitud de Gödel, que afirmen que un sistema formal de certs sistemes matemàtics en un conjunt de axioma que satisfà determinada propietat formal (ser un recursivamente enumerables) admetrà un model en el que algunes proposicions seran certes pero no seran deduibles. És dir, la teoria associada al sistema axiomàtic formal serà essencialment incompleta.

Eixemples

La teoria de grups és un sistema axiomàtic es pot basar en el següent conjunt de tres axioma G1, G2 i G3:

(G1) para tot x, i i z: $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$

(G2) para tot x: $x\circ e=x$

(G3) para tot x, existix un i tal que $x\circ y=e$

Este conjunt de axioma no és únic, ya que poden ser substituidos per atres equivalents. En teoria de grups l'assunt important és que el conjunt de teoremes siguen els mateixos en dos axiomatizaciones diferents. Això implica que les dos classes de models que satisfan els dos sistemes de axioma coindiden. Els tres axioma anteriors poden escriure's sense usar cap llengua natural usant només símbols d'un llenguage de primer orde com:

(G1) $\mathrm{\forall }{x}_1\mathrm{\forall }{x}_2\mathrm{\forall }{x}_{3}f(f(x_1,x_2),x_3)\equiv f(x_1,f(x_2,x_3))$

(G2) $\mathrm{\forall }{x}_{1}f(x_1,c_1)\equiv x_1$

(G3) $\mathrm{\forall }{x}_1\mathrm{\exists }{x}_{2}f(x_1,x_2)\equiv c_1$

A on f deu interpretar-se com la funció definida sobre GxG que dona un element de G donant operació de grup, x_i són signes de variables (pot definir-se una colecció infinita numerable de les mateixes) i c₁ és una constant que requerix la teoria que s'interpretarà com l'element neutre (és dir, els axioma postulen que dit element existix).

Característiques

• Consistència
• Independència
• Completitud

Vore també

• Proposició
• Axioma
• Postulat
• Definició
• Teorema
• Corolari (matemàtica)
• Lema ( matemàtiques)
• Escolio
• Conceptes primitius
• Sistema formal
• Axioma de Hilbert