Axioma de Hilbert

Els axioma de Hilbert són un conjunt de 20 (originalment 21) hipòtesis propostes per David Hilbert en 1899 com el fonament per a un tractament modern de la geometria euclídea. Atres axiomatizaciones modernes ben conegudes de la geometria euclídea són les degudes a Alfred Tarski i a George Birkhoff.

Els axioma

El sistema axiomàtic de Hilbert es compon de sis nocions primitives: Tres térmens primitius:

• punt;
• llínea recta;
• pla;

i tres relacions primitives:

• Orde, una relació ternaria entre punts;
• Pertinença, tres relacions binarias, una d'elles entre punts i rectes, una atra entre punts i plans, i una atra entre rectes i plans;
• Congruència, dos relacions binarias, una entre segments i una atra entre ànguls, denotades per $\cong$.

Note's que els segments i els ànguls (aixina com també els triànguls) no són nocions primitives, sino que es definixen en térmens de punts i rectes utilisant les relacions d'orde i pertinença. Tots els punts, rectes i plans en els subsecuentes axioma són distints llevat que s'indique lo contrari.

I. Incidència

1. Dos punts distints $A$ i $B$ determinen una única recta $a$. Denotem $AB=a$ o $BA=a$. En lloc de "determinen", pot dir-se: "$A$ està en $a$", "$A$ és un punt de $a$", "$a$ pansa per $A$ i $B$", "$a$ unix $A$ en $B$", etc. Si $A$ està en $a$ i al mateix temps en una atra recta $b$, es diu també "les rectes $a$ i $b$ tenen el punt $A$ en comú".
2. Dos punts qualsevol d'una recta la determinen per complet; és dir, si $AB=a$ i $AC=a$, a on en general $B\ne C$, llavors $BC=a$ a la seua volta.
3. Tres punts $A$, $B$ i $C$ no situats en una mateixa recta determinen un pla $\alpha$. Es denota $ABC=\alpha$, i es diu "$A$, $B$ i $C$ yacer en $\alpha$", etc.
4. Tres punts qualssevol $A$, $B$ i $C$ del pla $\alpha$ no situats en una mateixa recta determinen per complet a $\alpha$.
5. Si dos punts $A$, $B$ de la recta $a$ yacer en el pla $\alpha$, llavors tot punt de $a$ yacer en $\alpha$. En tal cas es diu "la recta $a$ yacer en el pla $\alpha$", etc.
6. Si dos plans $\alpha$, $\beta$ tenen un punt $A$ en comú, llavors tenen a lo manco un atre punt $B$ en comú.
7. En cada recta hi ha a lo manco dos punts; en cada pla hi ha a lo manco tres punts no situats en la mateixa recta; i existixen a lo manco quatre punts no situats en un mateix pla.

II. Orde

1. Si un punt $B$ està entre els punts $A$ i $C$, també està llavors entre $C$ i $A$, i existix una recta que conté als tres.
2. Si $A$ i $C$ són dos punts d'una recta, existix a lo manco un atre punt $B$ entre $A$ i $C$, i a lo manco un punt $D$ de tal manera que $C$ està entre $A$ i $D$.
3. Donats tres punts en una recta, solament un d'ells està entre els atres dos.

Donada una parella de punts $A$ i $B$, pot parlar-se llavors del segment $AB$. Els punts del segment $AB$ són tots aquells que estan entre $A$ i $B$. Estos dos són els extrems del segment.

4. Axioma de Pasch: Sean $A$, $B$ i $C$ tres punts no situats en la mateixa recta i siga $a$ una recta continguda en el pla $ABC$, que no passa per cap dels tres punts mencionats. Llavors, si $a$ pansa per algun punt del segment $AB$, llavors passa també per algun punt o be del segment $BC$ o be del segment $AC$.

Pot provar-se llavors que donades una recta $a$ i un punt $A$ en ella, pot dividir-se la recta en dos $semirayos$, disjuntos entre sí, que emanen de $A$, tals que la seua unió constituïx tota la recta a excepció de $A$. D'igual modo, donats un pla $\alpha$ i una recta $a$ en el, poden distinguir-se en ell dos parts disjuntas, els costats de $\alpha$ respecte a $a$, a on de nou la seua unió constituïx tot el pla a excepció de $a$.

III. Paraleles

1. En un pla $\alpha$ pot trobar-se una única recta $b$ que passe per un punt donat $A$, el qual no pertany a una recta donada $a$, de manera que $a$ i $b$ no tinguen cap punt en comú. Està recta es diu la paralela a $a$ que passa per $A$.

IV. Congruència

Es definix un àngul com una parella de semirrecta $\mathrm{\angle }(h,k)$ yacer en un pla $\alpha$ que emanen del mateix punt $O$. Es demostra que pot dividir-se llavors el pla en dos regions: el interior i el exterior de $\mathrm{\angle }(h,k)$, a on $h$ i $k$ són els costats de l'àngul i $O$ el seu vèrtiç. El segment entre dos punts qualssevol de l'interior està contingut per complet en dita regió. Açò no es complix per a una parella de punts qualssevol en l'exterior.

Un triàngul queda definit per tres segments de la forma $AB$, $BC$ i $CA$. Dits segments són els costats del triàngul, i els tres punts $A$, $B$ i $C$ són el seu vèrtiços. El triàngul dividix el pla definit pels seus tres vèrtiços en interior i exterior, en les mateixes propietats que en cas dels ànguls. A l'àngul definit per les dos semirrecta que ixen de $A$ i que passen per $B$ i $C$ respectivament se li denota per $\mathrm{\angle }BAC$, i el seu interior conté tots els punts de l'interior del triàngul $ABC$.

1. Si $A$, $B$ són dos punts de la recta $a$, i $A^{\prime }$ és un punt sobre la recta $a^{\prime }$ (siga esta igual a $a$ o no), es té que, d'un costat qualsevol de $A^{\prime }$ en la recta $a^{\prime }$, existix un únic $B^{\prime }$ tal que el segment $AB$ és congruent en el segment $A^{\prime }{B}^{\prime }$, i ho denotem per $AB\cong A^{\prime }{B}^{\prime }$. Tot segment és congruent conseguixc mateix.
2. Si un segment $AB$ és congruent en el segment $A^{\prime }{B}^{\prime }$ i també en el segment $A^{″}{B}^{″}$, llavors estos dos últims són congruents entre sí (la congruència entre segments és transitiva).
3. Sean $AB$ i $BC$ dos segments de la mateixa recta sense punts en comú a excepció de $B$, i siguen ademés $A^{\prime }{B}^{\prime }$ i $B^{\prime }{C}^{\prime }$ dos segments de la recta $a^{\prime }$ (siga esta igual o no a $a$) sense més punts en comú que $B^{\prime }$. Llavors, si $AB\cong A^{\prime }{B}^{\prime }$ i $BC\cong B^{\prime }{C}^{\prime }$, es té que $AC\cong A^{\prime }{C}^{\prime }$.

1. Siga un àngul $\mathrm{\angle }(h,k)$ en el pla $\alpha$ i siga una recta $a^{\prime }$ en el pla ${\alpha }^{\prime }$. Suponga's que en el pla ${\alpha }^{\prime }$, es tria un dels costats respecte a $a^{\prime }$. Siga una semirrecta $h^{\prime }$ de $a^{\prime }$ que emana d'un punt $O^{\prime }$ de dita recta. Llavors, en el pla ${\alpha }^{\prime }$ existix una única semirrecta $k^{\prime }$ que ix de $O^{\prime }$ de manera que $\mathrm{\angle }(h,k)$ és congruent en $\mathrm{\angle }(h^{\prime },k^{\prime })$, i de manera que tots els punts de l'interior de $\mathrm{\angle }(h^{\prime },k^{\prime })$ estan en el costat triat de ${\alpha }^{\prime }$. Es denota per $\mathrm{\angle }(h,k)\cong \mathrm{\angle }(h^{\prime },k^{\prime })$. Tot àngul és congruent conseguixc mateix.
2. Si l'àngul $\mathrm{\angle }(h,k)$ és congruent en l'àngul $\mathrm{\angle }(h^{\prime },k^{\prime })$ i en l'àngul $\mathrm{\angle }(h^{″},k^{″})$, llavors estos dos són congruents entre sí.
3. Si donats dos triànguls $ABC$ i $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ es té $AB\cong A^{\prime }{B}^{\prime }$, $AC\cong A^{\prime }{C}^{\prime }$, $\mathrm{\angle }BAC\cong \mathrm{\angle }{B}^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }$, llavors es té a la seua volta $\mathrm{\angle }ABC\cong \mathrm{\angle }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ i $\mathrm{\angle }ACB\cong \mathrm{\angle }{A}^{\prime }{C}^{\prime }{B}^{\prime }$.

V. Continuïtat

1. Axioma de Arquímedes. Siga $A_1$ un punt qualsevol d'una recta, situat entre els punts arbitraris $A$ i $B$ de la mateixa. Prenguen-se els punts $A_2$, $A_3$,... de tal manera que $A_1$ estiga entre $A$ i $A_2$, $A_2$ estiga entre $A_1$ i $A_3$,etc. Suponga's ademés que els segments $A{A}_1$, $A_1{A}_2$, $A_2{A}_3$,... són tots congruents entre sí. Llavors, en esta série existix sempre un cert $A_n$ tal que $B$ està entre $A$ i $A_n$.

Axioma de completitud

Al sistema de punts, rectes i plans, no poden afegir-se atres elements de manera que el sistema resultant forme una geometria nova, obedint tots els axioma dels cinc grups. En atres paraules, els elements de la geometria formen un sistema que no és susceptible d'extensió, prenent els cinc grups de axioma com a vàlits.

Axioma 21

Hilbert va introduir un axioma més que resa:

II.4. Teorema de Pasch. Poden triar-se quatre punts qualssevol $A$, $B$, $C$ i $D$ d'una recta de manera que $B$ estiga entre $A$ i $C$ i entre $A$ i $D$, i que $C$ estiga entre $A$ i $D$ i entre $B$ i $D$.

Esta proposició calificada com a teorema va ser considerada com a axioma en la primera edició, pero E.H Moore en Transactions of the American Mathematical Society (1902) la va deduir com a conseqüència dels axioma de combinació i orde establits, demostrant la seua redundància.

Referències

• .
• .