David Hilbert

David Hilbert (Königsberg, Prusia Oriental; 23 de giner de 1862-Gotinga, Alemània; 14 de febrer de 1943) va ser un matemàtic alemà, reconegut com un dels més influents de el XIX i principis del XX. Va establir la seua reputació com a gran matemàtic i científic inventant i desenrollant un gran palmito d'idees, com la teoria de invariantes, l'axiomatización de la geometria i la noció d'espai de Hilbert, un dels fonaments del anàlisis funcional. Hilbert i els seus estudiants varen proporcionar parts significatives de l'infraestructura matemàtica necessària per a la mecànica quàntica i la relativitat general. Va ser un dels fundadors de la teoria de la demostració, la llògica matemàtica i la distinció entre matemàtica i metamatemática. Va adoptar i va defendre vivament la teoria de conjunts i els números transfinitos de Georg Cantor. Un eixemple famós del seu liderage mundial en la matemàtica és la seua presentació en 1900 d'un conjunt de problemes oberts que va incidir en el curs de gran part de l'investigació matemàtica de el XX.

Vida

Hilbert va nàixer en Königsberg, en Prusia Oriental (actual Kaliningrado, Rússia). Es va graduar en el liceu de la seua ciutat natal i es va matricular en l'Universitat de Königsberg (Albertina). En esta es va doctorar en 1885, en una dissertació, escrita baix la supervisió de Ferdinand von Lindemann, titulada Über invariante Eigenschaften specieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen (Sobre les propietats invariantes de formes binarias especials, en particular les funcions circulares). Hermann Minkowski va coincidir en Hilbert, en la mateixa universitat i moment, com a aspirant a doctor, i varen aplegar a ser amics íntims, eixercint un sobre l'atre una influència recíproca en vàries ocasions de les seues carreres científiques.

Hilbert va treballar com a professor en l'Universitat de Königsberg de 1886 a 1895, quan, com a resultat de l'intervenció en el seu nom de Felix Klein, va obtindre el lloc de Catedràtic de Matemàtica en l'Universitat de Göttingen, que en aquella data era el millor centre d'investigació matemàtica en el món; ací permaneixeria el restant de la seua vida.

La teorema de finitud

El primer treball de David Hilbert sobre funcions invariantes li va dur, en 1888, a la demostració de la seua famosa teorema de finitud. Vint anys abans, Paul Gordan havia demostrat el teorema de la finitud de generadors per a formes binarias, usant un complex enfocament computacional. Els intents de generalisar este método a funcions en més de dos variables varen fallar per l'enorme dificultat dels càlculs implicats. Hilbert es va donar conte de que era necessari seguir un camí completament diferent. Com a resultat, va demostrar el teorema fonamental de Hilbert: mostrar l'existència d'un conjunt finito de generadors, per a les invariantes quàntiques en qualsevol número de variables, pero de forma abstracta. Açò és, va demostrar l'existència de dit conjunt, pero no de forma algorítmica sino per mig d'un teorema d'existència.

Hilbert va enviar els seus resultats als Mathematische Annalen. Gordan, l'expert en teoria de invariantes dels Annalen, no va ser capaç d'apreciar la naturalea revolucionària de la teorema de Hilbert i va rebujar l'artícul, criticant l'exposició perque era insuficientment comprensiva. El seu comentari va ser: «Açò és teologia, ¡no matemàtica!»

Klein, per un atre costat, va reconéixer l'importància del treball i es va assegurar de que anara publicat sense alteracions. Animat per Klein i els comentaris de Gordan, Hilbert va estendre el seu método en un segon artícul, proporcionant estimacions sobre el grau màxim del conjunt mínim de generadors, i ho va enviar una volta més als Annalen. Despuix de llegir el manuscrit, Klein li va escriure, en estos térmens: «Sense dubte est és el treball més important en àlgebra general que els Annalen ha publicat mai». Més alvance, quan l'utilitat del método de Hilbert havia segut reconeguda universalment, el propi Gordan diria: «He d'admetre que inclús la teologia té els seus mèrits».

Axiomatización de la geometria

Artícul principal → #Axioma de Hilbert.

El text Grundlagen der Geometrie (Fonaments de la geometria), que Hilbert va publicar en 1899, substituïx els tradicionals #axioma de Euclides por sistema formal de 21 axiomas. Eviten les debilitats identificades en els d'Euclides, l'obra clàssica dels quals Elements seguia sent usada com a llibre de text en aquell moment.

L'enfocament de Hilbert va marcar el canvi al sistema axiomàtic modern. Els #axioma no es prenen com a veritats evidents. La geometria pot tractar de coses, sobre les que tenim intuïcions poderoses, pero no és necessari assignar un significat explícit als conceptes indefinits. Com diu Hilbert, els elements tals com el punt, la recta, el pla i uns atres, es poden substituir en taules, cadires, gerres de cervesa i atres objectes. Lo que es discutix i es desenrolla són les seues relacions definides.

Hilbert comença enumerant els conceptes sense definició: punt, recta, pla, incidència (una relació entre punts i plans), estar entre, congruència de parells de punts i congruència d'ànguls. Els #axioma unifiquen la geometria plana i la sòlida de Euclides en un únic sistema.

Els 23 problemes

Artícul principal → Problemes de Hilbert.

Hilbert va propondre una llista àmplia de 23 problemes no resolts en el Congrés Internacional de Matemàtics de París en 1900. Es reconeix de forma general que esta és la recopilació de problemes oberts més exitosa i de profunda consideració produïda mai per un únic matemàtic.

Despuix de reescriure els fonaments de la geometria clàssica, Hilbert podia haver-ho extrapolado al restant de les matemàtiques. Este enfocament diferix, no obstant, dels posteriors «logicistas» Russell-Whitehead o el «formalisme matemàtic» del seu contemporàneu Giuseppe Peano i més recentment del «conjunt de matemàtics» Nicolas Bourbaki . La comunitat matemàtica al complet podria embarcar-se en problemes que ell va identificar com a aspectes crucials en les àrees de la matemàtica que ell va considerar com a claus.

Va llançar el conjunt de problemes en la conferència "Els problemes de la matemàtica" presentada durant el curs del Segon Congrés Internacional de Matemàtics celebrat en París. Esta és l'introducció a la conferència de Hilbert:

«¿Quí entre nosatres no estaria content d'alçar el vel despuix del que s'amaga el futur; observar els desenrolls per vindre de la nostra ciència i els secrets del seu desenroll en els sigles que seguixquen? ¿Quin serà l'objectiu cap al que tendirà l'esperit de les generacions futures de matemàtics? ¿Quins métodos, quins nous fets revelarà el nou sigle en el vast i ric camp del pensament matemàtic?»

Va presentar menys de la mitat dels problemes en el Congrés, que varen ser publicats en les actes. Va estendre el panorama en una publicació posterior, en ella va aplegar la formulació canònica actual dels 23 Problemes de Hilbert. El text al complet és important, ya que la exégesis de les qüestions pot seguir sent matèria de debat inevitable, cada volta que es pregunten quàntes han segut resoltes:

1. Problema de Cantor sobre el cardinal del continu. ¿Quin és el cardinal del continu?

2. La compatibilitat dels #axioma de l'aritmètica. ¿Són compatibles els #axioma de l'aritmètica?

3. L'igualtat dels volums de dos tetraedres d'igual base i igual altura.

4. El problema de la distància més curta entre dos punts. ¿És la llínea recta la distància més curta entre dos punts, sobre qualsevol superfície, en qualsevol geometria?

5. Establir el concepte de grup de Lie, o grup continu de transformacions, sense assumir la diferenciabilidad de les funcions que definixen el grup.

6. Axiomatización de la física. ¿És possible crear un cos axiomàtic per a la física?

7. L'irracionalitat i transcendència de certs números, com $2^{sqrt2}$, etc.

8. El problema de la distribució dels número primo.

9. Demostració de la llei més general de reciprocitat en un cos de números qualssevol.

10. Establir métodos efectius de resolució d'equacions diofánticas.

11. Formes quadràtiques en coeficients algebraics qualssevol.

12. L'extensió de la teorema de Kronecker sobre cossos abelianos a qualsevol domini de racionalitat algebraica.

13. Impossibilitat de resoldre l'equació general de sèptim grau per mig de funcions de sol dos arguments.

14. Prova de la condició finita de certs sistemes complets de funcions.

15. Fundamentación rigorosa del càlcul enumerativo de Schubert o geometria algebraica.

16. Problema de la topología de curves algebraiques i de superfícies.

17. L'expressió de formes definides per sumes de quadrats.

18. Construcció de l'espai dels poliedres congruents.

19. Les solucions dels problemes regulars del càlcul de variacions, ¿són sempre analítiques?

20. El problema general de condicions de contorn de Dirichlet.

21. Demostració de l'existència d'equacions diferencials llineals de classe fuchsiana, coneguts els seus punts singulars i grup monodrómico.

22. Uniformitat de les relacions analítiques per mig de funcions automórficas: sempre és possible uniformizar qualsevol relació algebraica entre dos variables per mig de funcions automorfas d'una variable.

23. Extensió dels métodos del càlcul de variacions.

Alguns es varen resoldre en poc temps. Uns atres s'han discutit durant tot el XX, i actualment s'ha aplegat a la conclusió de que uns pocs són irrellevants o impossibles de tancar. Alguns continuen sent actualment un repte per als matemàtics.

Formalisme

Seguint la tendència que s'havia convertit en estàndart a mitat de sigle, el conjunt de problemes de Hilbert també constituïa una espècie de manifest, que va obrir la via per al desenroll de l'escola del Formalisme matemàtic, una de les tres escoles matemàtiques més importants de el XX. D'acort al formalisme, la matemàtica és un joc —carent de significat— en el que un ho practica en símbols carents de significat d'acort a unes regles formals establides de bestreta. Per tant és una activitat de pensament autònoma. No obstant, hi ha marge per al dubte en referència a si la pròpia visió de Hilbert era simplistamente formalista en este sentit.

El programa de Hilbert

Artícul principal → Programa de Hilbert.

En 1920 va propondre de forma explícita un proyecte d'investigació (en metamatemática, com es va cridar llavors) que va acabar sent conegut com programa de Hilbert. Volia que la matemàtica anara formulada sobre unes bases sòlides i completament llògiques. Creïa que, en principi, açò podia conseguir-se, mostrant que:

1. tota la matemàtica se seguix d'un sistema finito d'axiomas triats correctament; i
2. es pot provar que tal sistema axiomàtic és consistent.

Semblava tindre raons tècniques i filosòfiques per a formular esta proposta. Açò afirmava el seu disgust per lo que s'havia donat a conéixer com ignorabimus, que encara era un problema actiu en el seu temps dins del pensament alemà, i que podia rastrejar-se en eixa formulació fins a Emil du Bois-Reymond.

El programa seguix sent reconeixible en la filosofia de la matemàtica més popular, a on se li crida normalment formalisme. Per eixemple, el grup Bourbaki va adoptar una versió selectiva i diluïda com a adequada per als requisits dels seus proyectes bessons de (a) escriure treballs fonamentals enciclopèdics, i (b) donar soport al sistema axiomàtic com a ferramenta d'investigació. Este enfocament ha tingut èxit i influència en relació en el treball de Hilbert en l'àlgebra i l'anàlisis funcional, pero no ha conseguit quallar igual en els seus interessos en física i llògica.

El treball de Gödel

Hilbert i els matemàtics de talent que varen treballar en ell en esta empresa estaven dedicats al proyecte. El seu intent de donar soport a la matemàtica axiomatizada en principis definits, que eliminara les incertituts teòriques, va sucumbir en un fracàs inesperat.

Gödel va demostrar que no es podia demostrar la completitud de cap sistema formal no contradictori que fora suficientment ampli per a incloure a lo manco l'aritmètica, solament per mig dels seus propis #axioma. En 1931 el seu teorema de la incompletitud va mostrar que l'ambiciós pla de Hilbert era impossible tal com es plantejava. El segon requisit no podia combinar-se en el primer de forma raonable, mentres el sistema axiomàtic siga genuinamente finito.

No obstant, la teorema de completitud no diu res en referència a la demostració de la completitud de la matemàtica per mig d'un sistema formal diferent. Els guanys posteriors de la teoria de la demostració com a mínim varen clarificar la relació de la consistència en les teories d'interés principal per als matemàtics. El treball de Hilbert havia escomençat llògic en el seu camí a la clarificación; la necessitat d'entendre el treball de Gödel va dur llavors al desenroll de la teoria de la computabilidad i despuix de la llògica matemàtica com a disciplina autònoma en la década de 1930–1940. D'este 'debat' va nàixer directament la base per a l'informàtica teòrica d'Alonzo Church i Alan Turing.

L'escola de Gotinga

Entre els alumnes de Hilbert es troben Hermann Weyl, el campeó mundial d'escacs Emanuel Lasker, Ernst Zermelo i Carl Gustav Hempel. John von Neumann va ser assistent seu. En l'Universitat de Göttingen, Hilbert es va trobar rodejat per un círcul social constituït per alguns dels matemàtics més importants de el XX, com Emmy Noether i Alonzo Church.

Anàlisis funcional

Al voltant de 1909, Hilbert es va dedicar a l'estudi d'equacions diferencials i equacions integrals; el seu treball va tindre conseqüències directes en parts importants l'anàlisis funcional modern. Per a poder portar a terme estos estudis, Hilbert va introduir el concepte d'un espai euclídeo d'infinites dimensions, cridat més tarde espai de Hilbert. El seu treball en esta part de l'anàlisis va proporcionar la base d'importants contribucions a la física matemàtica en les dos décades següents, encara que en direccions que per llavors no es podien anticipar. Més vesprada, Stefan Banach va amplificar el concepte, definint els espais de Banach. L'espai de Hilbert és per sí mateixa l'idea més important del anàlisis funcional, que va créixer al seu entorn durant el XX.

Física

Fins a 1912, Hilbert va ser de forma casi exclusiva un matemàtic «pur». Quan planejava fer una visita a Bonn, a on estava immers en l'estudi de la física, el seu amic i colega matemàtic Hermann Minkowski feya succeïts dient que tenia que passar 10 dies en quarantena abans de poder visitar a Hilbert. En realitat, Minkowski sembla ser responsable de la majoria d'investigacions de Hilbert en física anteriors a 1912, inclós el seu seminari conjunt sobre el tema en 1905.

En 1912, tres anys despuix de la mort del seu amic, va canviar el seu objectiu cap a este tema de forma casi exclusiva. Va arreglar que se li assignara un «tutor en física». Va escomençar estudiant la teoria cinètica dels gasos i va passar després a la teoria elemental de radiació i a la teoria molecular de la matèria. Inclús despuix de l'esclat de la guerra en 1914, va continuar celebrant seminaris i classes a on se seguien de prop els treballs d'Einstein entre uns atres.

Hilbert va invitar a Einstein a Gotinga per a que impartira una semana de lliçons entre juny i juliol de 1915 sobre relativitat general i la seua teoria de la gravetat en desenroll (Sauer 1999, Folsing 1998). L'intercanvi d'idees va dur a la forma final de les equacions de camp de la Relativitat General, en concret les equacions de camp d'Einstein i l'acció d'Einstein-Hilbert. Encara que Einstein i Hilbert no varen aplegar mai a enredrar-se en una disputa pública sobre prioritat, hi ha hagut una miqueta de discussió sobre el descobriment de les equacions de camp, encara que les investigacions sobre documentació històrica, semblen confirmar que Einstein es va alvançar, ya que el treball de Hilbert estava incomplet. Hilbert en la versió impresa del seu artícul, va afegir una referència al paper concloent d'Einstein i una concessió de la prioritat d'est: "Les equacions diferencials de la gravitació que resulten estan, segons em sembla, d'acort en la magnífica teoria de la relativitat general establida per Einstein en els seus treballs posteriors "[(3), p. 404].

Ademés, el treball de Hilbert va anticipar i va assistir a varis alvanços en la formulació matemàtica de la mecànica quàntica. El seu treball va ser clau per al d'Hermann Weyl i John von Neumann sobre l'equivalència matemàtica de la mecànica de matrius de Werner Heisenberg i l'equació d'ona d'Erwin Schrödinger, i la seua espai de Hilbert juga un paper important en la teoria quàntica. En 1926, von Neumann va mostrar que si els estats atòmics s'entengueren com vectores en l'espai de Hilbert, llavors es correspondrien tant en la teoria de funció d'ona de Schrödinger com en les matrius de Heisenberg.

Per mig d'esta immersió en la física, va treballar en donar-li rigor a la matemàtica que la sosté. Encara que és molt depenent de la matemàtica alvançada, el físic tendix a ser «descuidat» en ella. Per a un matemàtic «pur» com Hilbert, açò era «lleig» i difícil d'entendre. En escomençar a comprendre la física i la manera en que els físics usaven la matemàtica, va desenrollar una teoria matemàticament coherent per a lo que va trobar, principalment en l'àrea de les equacions integrals. Quan el seu colega Richard Courant va escriure el clàssic Métodos de física matemàtica va incloure algunes idees de Hilbert, i va afegir el seu nom com coautor inclús encara que Hilbert no va aplegar a contribuir a l'escrit. Hilbert va dir que «la física és massa dura per als físics», implicant que la matemàtica necessària estava llunt del seu alcanç per lo general; el llibre de Courant-Hilbert els va facilitar les coses.

Teoria de números

Hilbert va unificar el camp de la teoria algebraica de números en el seu tractat de 1897 Zahlbericht (lliteralment 'informe sobre números'). Va abatre el problema de Waring en el sentit ampli. Des de llavors va tindre poc més que dir sobre el tema; pero l'emergència de les formes modular de Hilbert en la dissertació d'un estudiant implica que el seu nom està més unit a un àrea important.

Va propondre una série de #conjectura sobre la teoria de cossos de classes. Els conceptes varen ser molt influents, i la seua pròpia contribució queda palesa en els noms del cos de classe de Hilbert i el símbol de Hilbert de la teoria local de cossos de classes. Els resultats sobre estes #conjectura varen quedar provats en la seua majoria sobre 1930, despuix de l'important treball de Teiji Takagi que ho va establir com el primer matemàtic japonés de nivell internacional.

Hilbert no va treballar en les àrees principals de la teoria analítica de números, pero el seu nom va quedar unit a la conjectura de Hilbert-Pólya, per raons anecdòtiques.

Charrades, ensajos i contribucions miscelànees

El seu paradoxa del Grand Hotel, una meditació sobre les estranyes propietats de l'infinit, s'usa a sovint en texts populars sobre número cardinal infinits.

Últims anys

Hilbert va viure per a vore als nazis porgar la majoria de membres facultatius sobreixents de l'Universitat de Göttingen, en 1933. Entre aquells forçats a marchar-se varen estar Hermann Weyl, que havia ocupat la càtedra de Hilbert en retirar-se en 1930, Emmy Noether i Edmund Landau. Un dels que va haver de deixar Alemània va ser Paul Bernays, colaborador de Hilbert en llògica matemàtica i coautor en ell de l'important llibre Grundlagen der Mathematik (que va acabar presentant-se en dos volums, en 1934 i 1939). Esta va ser una seqüela del llibre de Hilbert-Ackermann Fonaments de llògica teòrica de 1928.

Un any despuix, va assistir a un convit i ho varen assentar al costat del nou Ministre d'Educació, Bernhard Rust. Rust li va preguntar: «¿Cóm va la matemàtica en Göttingen ara que ha segut lliberada de l'influència judeua?» A lo que Hilbert va contestar, «¿La matemàtica en Göttingen? Ya no queda res d'això».

Para quan Hilbert va morir en 1943, els nazis havien reestructurat casi per complet l'universitat, ya que molt del personal facultatiu anterior era judeu o estava casat en judeus. Al funeral de Hilbert va assistir menys d'una dotzena de persones, i solament dos d'elles eren colegues acadèmics.

En la seua tomba, en Göttingen, es pot llegir el seu epitafi:

Devem saber, sabrem (en alemán: Wir müssen wissen, wir werden wissen)

Irònicament, el dia ans que Hilbert pronunciara esta frase, Kurt Gödel presentava la seua tesis, que contenia el famós teorema de incompletitud: hi ha coses que sabem que són certes, pero que no podem provar.

Eponimia

Ademés de numeroses entitats i teoremes matemàtiques que porten el seu llinage, la designació de dos elements astronòmics li rendix homenage:

• El cràter llunar Hilbert
• l'asteroide (12022) Hilbert

Vore també

• Teoremes de incompletitud de Gödel
• Curva de Hilbert
• Matriu de Hilbert
• Espai de Hilbert
• Transformada de Hilbert
• Hilbert Nullstellensatz
• #Axioma de Hilbert
• Teorema de la Base de Hilbert
• Teorema 90 de Hilbert
• Paradoxa de Hilbert de l'hotel infinit
• Entscheidungsproblem

Bibliografia

Bibliografia primària per a la traducció a l'anglés:

• • 1918. "Axiomatic thought," 1115-14.
  • 1922. "The new grounding of mathematics: First report," 1115-33.
  • 1923. "The logical foundations of mathematics," 1134-47.
  • 1930. "Logic and the knowledge of nature," 1157-65.
  • 1931. "The grounding of elementary number theory," 1148-56.
  • 1904. "On the foundations of logic and arithmetic," 129-38.
  • 1925. "On the infinite," 367-92.
  • 1927. "The foundations of mathematics," en comentaris de Weyl i un apèndix de Bernays, 464-89.
• (un grup de lliçons accessibles al públic, impartides originalment a ciutadans de Göttingen)

Secundària:

• . Una exposició clara dels "errors" de Euclides i de les solucions presentades en el Grundlagen der Geometrie, en referència a la geometria no euclídea.
• . La biografia en anglés.
• . (Disponible de la Cornell University Library com PDF descargable [2])

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre David Hilbert.

Archiu:Wikiquote-logo.svg David Hilbert en Viquidites.

• discurs donat en tv DAVID HILBERT https://www.youtube.com/watch?v=1JLS98vvwqc
• Plantilla:Obra citada/núcleo.
• David Hilbert en el Mathematics Genealogy Project (en anglés)
• Els 23 problemes de Hilbert (en anglés)

• El programa de Hilbert (en anglés)
• Charrada de Hilbert en la ràdio gravada en Königsberg en 1930 (en alemà) [3] archivat en Wayback Machine., en traducció [4] archivat en Wayback Machine. a l'anglés.

• ESPAI DE HILBERT OBSERVABLE EN MECANICA CUANTICA https://www.youtube.com/watch?v=3r06XLVEFcE