Georg Cantor

Archiu:Georg Cantor2.jpg

Georg Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Petersburgo, 3 de març de 1845 - Trobe, 6 de giner de 1918), conegut com Georg Cantor, fon un matemàtic naixcut en Rússia, nacionalisat alemà, d'ascendència austríaca i judeua. Va ser inventor en Dedekind de la teoria de conjunts, que és la base de les matemàtiques modernes. Gràcies a les seues atrevides investigacions sobre els conjunts infinits va ser el primer capaç de formalisar la noció d'infinit baixe la forma dels números transfinitos (cardinals i ordinals).

Va viure afligit per episodis de depressió, atribuïts originalment a les crítiques rebudes i els seus fallancs intents de demostració de la hipòtesis del continu, encara que actualment es creu que sofria algun tipo de "malaltia maníaco-depressiva". Va morir d'un atac cardíac en la clínica psiquiàtrica de Trobe.

Biografia

Era fill del comerciant Georg Waldemar Cantor i de Marie Böhm. El seu pare havia naixcut en Copenhague (Dinamarca), en el sí d'una família judeua, pero va emigrar a Sant Petersburgo i va ser batejat com luterano. Allí va nàixer el seu fill i varen viure fins que en 1856 una malaltia pulmonar va impulsar al pare a traslladar a la seua família a Fráncfort del Meno (Alemània). Tots estos events varen provocar que distintes nacions reclamaren com a propi a Georg Cantor, despuix del seu decés.

L'educació primària de Georg Cantor va ser inicialment confiada a un professor particular, passant després a l'escola elemental de Sant Petersburgo. Quan la família es va mudar a Alemània, Cantor va assistir a escoles privades de Fráncfort i Darmstadt fins que als quinze anys d'edat va ingressar al Institut de Wiesbaden. Es va graduar en 1860 en un extraordinari informe en que es feya especial menció al seu gran talent en matemàtica, en particular, en trigonometria. Durant la seua infància va fer estudis de música i va ser reconegut com a violinista prodigi, pero finalment va deixar la música per a estudiar matemàtiques.

Els estudis universitaris de Georg Cantor es varen iniciar en 1862 en Zuric, pero al següent any, despuix de la mort del seu pare, va passar a la Universitat de Berlín a on es va especialisar en matemàtiques, filosofia i física, encara que l'interés del jove es va centrar en les dos primeres. Allí es va fer amic d'Hermann Schwarz, que va anar el seu companyer. Va tindre com a professors en el camp de les matemàtiques a Ernst Kummer, Karl Weierstrass i Leopold Kronecker.

Durant la seua estància en Berlín, Cantor va formar part d'un menut grup de jóvens matemàtics que es reunien semanalment en una vinatería. Despuix d'obtindre el seu doctorat en 1867, Cantor va ser mestre en una escola de chiquetes en Berlín. Despuix, en 1868, es va unir al Seminari Schellbach per a mestres de matemàtiques. Durant esta etapa, va treballar en la seua habilitació i immediatament en acabant de que va obtindre una plaça en la Universitat de Trobe en 1869, va presentar el seu treball, de nou sobre teoria de números, i va rebre la seua habilitació.

En Trobe va canviar la direcció de l'investigació de Cantor de la teoria de números al anàlisis matemàtic. Açò es va deure a Eduard Heine, un dels seus colegues majors en Trobe, qui va desafiar a Cantor a que provara el problema obert sobre l'unicitat de la representació d'una funció com una série trigonométrica. Est era un problema difícil que havia segut atacat per molts matemàtics, inclós el propi Heine aixina com Dirichlet, Lipschitz i Riemann. Cantor va resoldre el problema provant l'unicitat de la representació en abril de 1870. Entre 1870 i 1872 va publicar varis artículs que varen tractar les séries trigonométricas, els que varen mostrar les ensenyances de Weierstrass.

En 1872, quan contava en vintisset anys d'edat, es va convertir en professor extraordinari en la Universitat de Trobe, donant inici llavors a les seues principals investigacions.

Els seus primers treballs en les séries de Joseph Fourier li varen dur al desenroll d'una teoria dels número irracional i en 1874 va aparéixer el seu primer treball sobre la teoria de conjunts. En esta época va mantindre una correspondència sumament interessant en Dedekind, en la que anaven discutint les noves idees i demostracions de Cantor. No obstant, les relacions entre Dedekind i Cantor varen trobar problemes i varen tindre grans altibaixos.

En 1873 Cantor va provar que els número racional són numerables, és dir, es poden posar en correspondència biunívoca en els número natural. També va provar que els número algebraico, són numerables. No obstant, els seus intents per decidir si els número real són numerables varen resultar més difícils. En decembre de 1873 va conseguir provar que el conjunt dels número real no era numerable i en 1874 ho va publicar en un artícul. És en este artícul que apareix per primera volta l'idea d'una correspondència biunívoca, encara que només queda implícita en el treball.

En el seu treball de 1874, Cantor va provar que en cert sentit 'casi tots' els números són trascendentes, en provar que els número real no són numerables, mentres que els número algebraico sí ho són.

L'any 1874 va ser important en la vida personal de Cantor. Es va comprometre en Vally Guttmann, una amiga de la seua germana, en la primavera d'eixe any. Es varen casar el 9 d'agost de 1874 i varen passar la seua lluna de mel en Interlaken, Suïssa, a on Cantor va passar molt temps en discussions matemàtiques en Dedekind.

Un important artícul que Cantor va enviar al Journal de Crelle en 1877 va ser tractat en suspicàcia per Kronecker, i només va ser publicat en acabant de que Dedekind intervinguera a favor de Cantor. Cantor va quedar profundament resentit per l'oposició de Kronecker al seu treball i mai va tornar a enviar un artícul més al Journal de Crelle.

Sobre l'estudi dels conjunts infinits, que va ser considerat pel seu mestre Kronecker com una locada matemàtica, Cantor va descobrir que aquells no tenen sempre el mateix tamany, o siga el mateix cardinal: per eixemple, el conjunt dels racionals és numerable, és dir, del mateix tamany que el conjunt dels naturals, mentres que el dels reals no ho és: existixen, per lo tant, varis infinits, més grans els uns que els atres.

Este fet va supondre un desafiu per a un esperit tan religiós com el de Georg Cantor. I les acusacions de blasfèmia per part de certs colegues envidiosos o que no entenien els seus descobriments no li varen ajudar. A finals de maig de 1884 Cantor va tindre el seu primer atac de depressió registrat. Es va recuperar despuix d'unes quantes semanes pero se sentia més insegur. Va sofrir de depressió, i va ser internat repetides voltes en hospitals psiquiàtrics.

En algun moment es va pensar que la seua depressió era causada per preocupacions matemàtiques com vàries paradoxes de la teoria dels conjunts, que semblaven invalidar tota la seua teoria (tornar-la inconsistente o contradictòria en el sentit de que una certa propietat podria ser al mateix temps certa i falsa) i com a resultat de la seua relació en Kronecker, en particular. Recentment, no obstant, una millor comprensió de les malalties mentals ha dut a assegurar que les preocupacions matemàtiques de Cantor i les seues relacions difícils resultaven molt exagerades per la seua depressió, pero no eren la causa principal.

Ademés, va tractar durant molts anys de provar la hipòtesis del continu, #lo que se sap hui que és impossible, i que té que ser acceptada (o refusada) com a axioma adicional de la teoria. El constructivisme negarà este axioma, entre atres coses, desenrollant tota una teoria matemàtica alternativa a la matemàtica moderna.

Aproximadament en 1888 va adoptar l'idea de fundar la Deutsche Mathematiker-Vereinigung (Associació Alemana de Matemàtics) lo que va conseguir en 1890. Cantor va presidir la primera reunió de l'Associació en Trobe en setembre de 1891 i, a pesar del seu amarc antagonismo en Kronecker, Cantor ho va invitar a dictar una conferència en la primera reunió. No obstant, Kronecker mai va parlar en la reunió, puix la seua esposa va tindre un accident i va morir poc despuix. Cantor va resultar elegit president de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung en la primera reunió, ya que va mantindre fins a 1893.

Va escomençar a equiparar el concepte d'infinit absolut (que no és concebible per la ment humana) en Deu, i va escriure artículs religiosos sobre el tema.

Va sistematisar el conjunt ℝ dels número real i va usar el concepte de conjunt obert. Impulsor de l'investigació en Rússia, en la llínea d'Euler, és l'autor de el "Principi dels intervals encaixats", creador de certs conjunts en topología i en teoria de la mida.

Els seus últims artículs importants sobre la teoria de conjunts varen aparéixer en 1895 i 1897, de nou en els Mathematische Annalen editats ara per Klein, i són bells recontes d'aritmètica transfinita.

Cada volta que Cantor sofria de periodos de depressió, tendia a alluntar-se de les matemàtiques i a voltear cap a la filosofia i al seu gran interés lliterari, puix creïa que havia segut Francis Bacon qui va escriure les obres de Shakespeare (vejau Autoria de les obres de Shakespeare). Va escomençar a publicar panflets sobre les qüestions lliteràries en 1896 i 1897. La mort de la seua mare en octubre de 1896 i la del seu germà menor en 1899 varen impondre més pressió sobre la salut de Cantor.

En octubre de 1899, Cantor va solicitar i va obtindre un permís per a absentar-se de la docència durant el semestre d'hivern de 1899-1900. Despuix, el 16 de decembre de 1899, va morir el menor dels seus fills. Des d'este moment i fins al final dels seus dies va lluitar contra la seua malaltia mental de depressió. Va continuar ensenyant, pero va tindre que absentar-se de la docència varis semestres d'hivern. Cantor va passar algunes temporades en sanatoris, quan va sofrir els pijors atacs de la seua malaltia, de 1899 en avant. Va continuar treballant i publicant sobre la seua teoria de Bacon-Shakespeare i certament no va abandonar les matemàtiques completament. Va donar conferències sobre les paradoxes de la teoria dels conjunts en una reunió de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung en setembre de 1903 i va assistir al Congrés Internacional de Matemàtics en Heidelberg, en agost de 1904.

Cantor es va retirar en 1913 i va passar els seus últims anys malalt i en poc aliment per causa de la Guerra en Alemània. Una important trobada planejada en Trobe per a celebrar els setanta anys de Cantor en 1915 va tindre que cancelar-se per causa de la guerra, pero una celebració més menuda es va portar a terme en la seua casa. En juny de 1917, va entrar a un sanatori per última volta, i contínuament li escrivia a la seua esposa, demanant-li que se li permetera retornar a casa.

Georg Cantor va fallir en Trobe, Alemània, el 6 de giner de 1918 als setenta y dos anys d'edat d'un atac cardíac. Actualment, la seua obra és àmpliament reconeguda i ha segut acreedora de varis honors.

Reconeiximents

• El cràter llunar Cantor du este nom en la seua memòria, honor compartit en l'historiador de les matemàtiques Stiven Cantor (1829–1920).
• El asteroide (16246) Cantor també commemora el seu nom.

Importància de Cantor

• Números infinits
• Conjunt de Cantor
• Argument de la diagonal de Cantor
• Hotel Infinit
• Constructivisme
• Un pensament de Cantor: "Yo veig açò, pero no ho cree" en descobrir que un segment i un quadrat tenen igual cantitat de punts.

Obres de Cantor

En anglés

• Cantor, Georg (1955). Philip Jourdain (ed.). Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers, Dover. ISBN 978-0-486-60045-1..

En alemà

• Cantor, Georg (1874). “Ueber eine Eigenschaft dones Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen”. Journal für die Regne und Angewandte Mathematik 1874 (77): 258–262. doi:10.1515/crll.1874.77.258.
• .
• Georg Cantor (1879). “Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (1)”. Mathematische Annalen 15 (1): 1–7. doi:10.1007/bf01444101.
• Georg Cantor (1880). “Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (2)”. Mathematische Annalen 17 (3): 355–358. doi:10.1007/bf01446232.
• Georg Cantor (1882). “Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (3)”. Mathematische Annalen 20 (1): 113–121. doi:10.1007/bf01443330.
• Georg Cantor (1883). “Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (4)”. Mathematische Annalen 21 (1): 51–58. doi:10.1007/bf01442612.
• Georg Cantor (1883). “Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (5)”. Mathematische Annalen 21 (4): 545–591. doi:10.1007/bf01446819. Published separately as: Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre.
• Georg Cantor (1891). “Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre”. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1: 75–78.
• Cantor, Georg (1895). “Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1)”. Mathematische Annalen 46 (4): 481–512. doi:10.1007/bf02124929.

• Cantor, Georg (1897). “Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (2)”. Mathematische Annalen 49 (2): 207–246. doi:10.1007/bf01444205.
• Cantor, Georg (1932). Ernst Zermelo (ed.): «Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen inhalts». Berlin: Springer.. Almost everything that Cantor wrote. Includes excerpts of his correspondence with Dedekind (p. 443–451) and Fraenkel's Cantor biography (p. 452–483) in the appendix.

Vore també

• Funció de Cantor
• Teorema de Heine-Cantor
• Funció biyectiva

Bibliografia

• Ayala Gómez, Rafael; Domínguez Murillo, {{{nom2}}}; Quintero Toscano, {{{nom3}}} (1997). Elements de la topología general, Addison-Wesley Iberoamericana. ISBN 0201653044.
• Dauben, Joseph W. (1979). Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite, Boston: Harvard University Press. ISBN 978-0-691-02447-9.
• (1988, 2005).Mathematics and the Historian’s Craft.

221-241.doi:10.1007/0-387-28272-6_10.

• Rei Pastor; Babini, {{{nom2}}} (2000). Història de la matemàtica: De la Renaixença a l'actualitat, Gedisa Editorial. ISBN 847432808X.

Enllaços externs

Commons

• Archiu:Commons-logo.svg Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Georg Cantor.

Archiu:Wikiquote-logo.svg Georg Cantor en Viquidites.

• Plantilla:Obra citada/núcleo.

• El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0.