Conjunt de Cantor

El conjunt de Cantor, cridat aixina per ser aporte de Georg Cantor en 1883, és un destacat subconjunt fractal de l'interval real [0, 1], que admet dos definicions equivalents:

• la definició numèrica: és el conjunt de tots els punts de l'interval real [0,1] que admeten una expressió en base 3 que no utilise el dígit 1.
• la definició geomètrica, de caràcter recursivo, que elimina en cada pas el segment obert corresponent al terç central de cada interval.

Conjunt de Cantor

D'esquerra a dreta, successius passos de la construcció geomètrica del conjunt de Cantor. Per a ilustrar la definició numèrica es destaquen quatre punts del conjunt (0, 2/3, 1 i 1/4) i la seua expressió en base 3.

Ademés d'una curiositat matemàtica, contradiu una intuïció relativa al tamany d'objectes geomètrics: és un conjunt de mida nula, pero no és buit ni numerable.

Lo que Cantor no sabia era que este conjunt ya havia segut estudiat en 1875 per un matemàtic dublinés, Henry John Stephen Smith (1826-1883). Pero com Smith va fallir i el seu descobriment era pràcticament desconegut, va ser Cantor el que va quedar associat a este conjunt.

Construcció geomètrica

Es construïx de modo recursivo donant els següents passos:

• El primer pas és prendre l'interval [0, 1].
• El segon pas és llevar-li el seu terç interior, és dir l'interval obert (1/3; 2/3).
• El tercer és llevar als dos segments restants els seus respectius terços interiors, és dir els intervals oberts (1/9; 2/9) i (7/9; 8/9).
• Els passos següents són idèntics: llevar el terç de tots els intervals que queden. El procés no té fi.

La figura mostra les sèt primeres etapes:

El conjunt de Cantor és el conjunt dels punts restants: entre ells, és clar que els extrems de cada subintervalo pertanyen 0 i 1, 1/3 i 2/3, 1/9, 2/9, 7/9 i 8/9, 1/27..., hi ha una infinitat de punts: els 1/3ⁿ estan tots inclosos, en n descrivint els naturals. Pero hi ha molt més, per eixemple 1/4 és un element del conjunt de Cantor.

Construcció numèrica

Lema

Siga $\{K_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A}$ una família no buida de subconjunts compactes d'un espai mètric $X$. Si l'intersecció de tota subcolección finita de $\{K_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A}$ és no buida, $\bigcap _{\alpha \in A}{K}_{\alpha }$ també és no buida.

Demostració

Supongam, per contradicció, que $\bigcap _{\alpha \in A}{K}_{\alpha }=\varphi$, a on $\varphi$ denota el conjunt buit. Per a cada $\alpha \in A$, definim$G_{\alpha }=X\setminus K_{\alpha }$ obert de $X$.

Prengam algun ${\alpha }_0\in A$ fix. Llavors no existix cap punt $p\in K_{{\alpha }_0}$ tal que $p\in K_{\alpha }$ per a tota $\alpha \in A$. Aixina $\{G_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A}$ és una coberta oberta de $K_{{\alpha }_0}$compacte. Per això existixen ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\mathrm{...},{\alpha }_n\in A$ tals que

$K_{{\alpha }_0}\subset \bigcup _{i=1}^n{G}_{{\alpha }_i}$.

Pero llavors

$\bigcap _{i=0}^n{K}_{{\alpha }_i}$	$=K_{{\alpha }_0}\bigcap (X\setminus \bigcup _{i=1}^{n}X\setminus K_{{\alpha }_i})$
	$=K_{{\alpha }_0}\bigcap (X\setminus \bigcup _{i=1}^n{G}_{{\alpha }_i})$
	$\subset \left(\bigcup _{i=1}^n{G}_{{\alpha }_i}\right)\bigcap (X\setminus \bigcup _{i=1}^n{G}_{{\alpha }_i})=\varphi$.

És dir $\bigcap _{i=0}^n{K}_{{\alpha }_i}=\varphi$, lo que contradiu l'hipòtesis del lema.

Construcció numèrica del conjunt de Cantor

Siga $E_0$ l'interval $[0,1]$. Dividim este interval per tres i separem el segment $(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$.

Siga $E_1=[0,\frac{1}{3}]\cup [\frac{2}{3},1]$ . Dividim abdós intervals, cada u en tres parts i separem els terços centrals.

Siga $E_2=[0,\frac{1}{9}]\cup [\frac{2}{9},\frac{3}{9}]\cup [\frac{6}{9},\frac{7}{9}]\cup [\frac{8}{9},1]$.

$\bullet$

$\bullet$

$\bullet$

Continuant d'esta manera; Obtenim una successió de conjunts compactes $E_n$, tals que:

1. $E_1\supset E_2\supset E_3\supset \mathrm{...}$
2. $E_n$ és l'unió de $2^n$ intervals, cada u de llongitut $3^{-n}$

El conjunt

$\complement =\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n$

Es diu conjunt de Cantor.

És interessant destacar que $\complement$ és clarament compacte per ser tancat i subconjunt d'un conjunt compacte. Ademés, pel lema anterior, $\complement$ no és buit. Aixina, cap segment de la forma

$(\frac{3k+1}{3^m},\frac{3k+2}{3^m})$ a on $k$ i $m$ són sancers positius

té punts en comú en $\complement$ , ya que són el tipo de segments que llevem en la construcció d'este conjunt.

Com tot segment $(\alpha ,\beta )$ conté a un segment en la forma anterior, si es complix que

$3^{-m}<\frac{\beta -\alpha }{6}$

$\Rightarrow \complement$ no conté a cap segment.