Fractal

Fractal

Un fractal és un objecte geomètric l'estructura bàsica del qual, fragmentada o aparentment irregular, es repetix a diferents escales (autosimilaridad). El terme va ser propost pel matemàtic Benoît Mandelbrot en 1975 i deriva del llatí fractus, que significa quebrado o fracturat. Moltes estructures naturals són de tipo fractal. La propietat matemàtica clau d'un objecte genuinamente fractal és que la seua dimensió mètrica fractal és un número no sancer major que la seua dimensió topològica (que sempre és un sancer).

Si ben el terme "fractal" és recent, els objectes hui denominats fractales eren ben coneguts en matemàtiques des de principis del XX. Les maneres més comunes de determinar lo que hui denominem dimensió fractal varen ser establides a principis del XX en l'àmbit de la teoria de la mida.

Introducció

La definició de fractal desenrollada en els anys 1970 va donar unitat a una série d'eixemples, alguns dels quals es remontaven a un sigle abans. A un objecte geomètric fractal se li atribuïxen les següents característiques:

• És massa irregular per a ser descrit en térmens geomètrics tradicionals.
• És autosimilar, la seua forma és feta de còpies més chicotetes de la mateixa figura.

Les còpies són similars al tot: mateixa forma pero diferent tamany. Eixemples de autosimilitud:

• Fractales naturals són objectes naturals que es poden representar en molt bona aproximació per mig de fractales matemàtics en autosimilitud estadística. Els fractales trobats en la naturalea es diferencien dels fractales matemàtics que els naturals són aproximats o estadístics i el seu autosimilitud s'estén solament a un ranc d'escales (per eixemple, a escala propenca a l'atòmica la seua estructura diferix de l'estructura macroscòpica).
• Conjunt de Mandelbrot és un fractal autosimilar, generat pel conjunt de punts estables d'òrbita acotada baix certa transformació iterativa no llineal.
• Paisages fractales, este tipo de fractales generats computacionalment poden produir paisages realistes convincents.
• Fractales de pintures, s'utilisen per a realisar el procés de decalcomanía.

• El seu dimensió de Hausdorff-Besicovitch és estrictament major que la seua dimensió topològica.
• Es definix per mig d'un simple algoritme recursivo.

No n'hi ha prou en una sola d'estes característiques per a definir un fractal. Per eixemple, la recta real no es considera un fractal, puix a pesar de ser un objecte autosimilar carix del restant de característiques exigides.

Un fractal natural és un element de la naturalea que pot ser descrit per mig de la geometria fractal. Els núvols, les montanyes, el sistema circulatori, les llínees costeres o els copos de neu són fractales naturals. Esta representació és aproximada, puix les propietats atribuïdes als objectes fractales ideals, com el detall infinit, tenen llímits en el món natural.

Els eixemples clàssics

Per a trobar els primers eixemples de fractales devem remontar-nos a finals del XIX: en 1872 va aparéixer la funció de Weierstrass, que el seu grafo hui en dia consideraríem fractal, com a eixemple de funció contínua pero no diferenciable en cap punt.

Posteriorment varen aparéixer eixemples en propietats similars pero una definició més geomètrica. Dits eixemples podien construir-se partint d'una figura inicial (llavor), a la que s'aplicaven una série de construccions geomètriques senzilles. La série de figures obtingudes s'aproximava a una figura llímit que corresponia a lo que hui cridem conjunt fractal. Aixina, en 1904, Helge von Koch va definir una curva en propietats similars a la de Weierstrass: el cope de neu de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinski va construir el seu triàngul i, un any despuix, el seu estora.

Construcció de l'estora de Sierpinski:
Pas 1 (llavor)	Pas 2	Pas 3	Pas 4	Pas 5

Estos conjunts mostraven les llimitacions de l'anàlisis clàssic, pero eren vists com a objectes artificials, una "galeria de mònstruos", com els va denominar Henri Poincaré. Pocs matemàtics varen vore la necessitat d'estudiar estos objectes en sí mateixos.

En 1919 sorgix una ferramenta bàsica en la descripció i mida d'estos conjunts: la dimensió de Hausdorff-Besicovitch.

Els conjunts de Julia

Estos conjunts, frut dels treballs de Pierre Fatou i Gaston Julia en els anys 1920, sorgixen com a resultat de l'aplicació reiterada de funcions holomorfas $z\mapsto f(z)\mapsto f(f(z))\mapsto \dots$.

Analisem el cas particular de funcions polinòmiques de grau major que un. En aplicar successives voltes una funció polinòmica és molt possible que el resultat tenda a $\mathrm{\infty }$. Al conjunt de valors de $z\in C$ que no escapen a l'infinit per mig d'esta operació se li denomina conjunt de Julia reblixc, i a la seua frontera, simplement conjunt de Julia.

Estos conjunts es representen per mig d'un algoritme de temps d'escape, en que cada pixel es colorea segons el número de iteraciones necessàries per a escapar. Sol usar-se un color especial, a sovint el negre, per a representar els punts que no han escapat despuix d'un número gran i prefixat de iteraciones.

Eixemples de conjunts de Julia per a $f_c(z)=z^2+c$

• 
  En blanc, conjunt de Julia reblixc associat a f_c, c=1-φ, a on φ és el número áureo
• Erro al crear miniatura:
  Conjunt de Julia reblixc associat a f_c, c=(φ−2)+(φ−1)i =-0.382+0.618i
• Erro al crear miniatura:
  Conjunt de Julia reblixc associat a f_c, c=-0.835-0.2321i

Famílies de fractales: el conjunt de Mandelbrot

La família de conjunts de Julia $\{f_c\}$, associades a la reiteració de funcions de la forma $f_c(z)=z^2+c$ presenta conjunts d'una varietat sorprenent.

Dita família tindrà especial rellevància en quedar parametrizada en un mapa de fractales, popularisat en els anys 1980, cridat conjunt de Mandelbrot. Este conjunt M representa un mapa en que cada pixel, corresponent a un valor del paràmetro $c\in ℂ$, es colorea de modo que reflectixca una propietat bàsica del conjunt de Julia associat a $f_c$. En concret, $c\in M$ si el conjunt de Julia associat a $f_c$ és conexo.

Iterando funcions de forma alternativa es generen els fractales oscilantes.

El método de Mandelbrot: diferents fractales iterando potències de Z

A continuació es mostra una série de fractales de les diferents potències de Z = Z^m + C , segons el método de Mandelbrot. Tots els punts del pla complex C=(Cx,iCy) són iterados per adició a la funció corresponent. Totes les iteraciones partixen dels punts x=0 iy=0. Quan la iteración convergix es colorea de groc pàlit. La divergència a infinit és coloreada per mig d'un patró cromàtic des del negre al blau. El fractal derivat de la funció Z = Z² + C es denomina conjunt de Mandelbrot.

Eixemples de fractales del tipo Mandelbrot Z = Z^m + C

• 
  Z = Z² + CConjunt de Mandelbrot
• 
  Z = Z³ + C
• 
  Z = Z⁴ + C
• 
  Z = Z⁵ + C
• 
  Z = Z⁶ + C
• 
  Z = Z⁷ + C
• 
  Z = Z⁸ + C
• 
  Z = Z⁹ + C
• 
  Z = Z¹⁰ + C
• 
  Z = Z¹¹ + C
• 
  Z = Z¹² + C
• 
  Z = Z²⁰ + C

Eixemples de fractales del tipo Mandelbrot Z = Z^m + 1/C

Ací quan la iteración convergix s'ha coloreat de negre.

• 
  Z=Z² + 1/C
• 
  Z=Z³ + 1/C
• 
  Z=Z⁴ + 1/C
• 
  Z=Z⁵ + 1/C
• 
  Z=Z⁶ + 1/C
• 
  Z=Z⁷ + 1/C

Més fractales segons el método de Mandelbrot.

• 
  Z = Z²+C⁶ - 1
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z)+ 1/C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp[(Z²+Z)/Sqr(C³)]
  Zo = (1,1i)
• Erro al crear miniatura:
  Z = Exp[(Z²-1.00001*Z)/Sqr(C³)]
  Zo = (0,0i)
• Erro al crear miniatura:
  Z = Exp[(Z²- 1.00001*Z)/C³]
  Zo = (0,0i)
• Erro al crear miniatura:
  Z = Sense(ZC²)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Cos(Z/C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(ZC^3)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z^3/C^3)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(C^3/Z^3)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z/C^4)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + C² / (Z²+C) + C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + C² / (C⁴ + 0.1)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² + C² / (C⁴ - 0.25)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = SinH(Z / C )
  Zo = (0,1i)
• 
  Z = SinH(Z) + 1/C
  Zo = (0.90, -0.05i)
• 
  Z = SinH(Z) + 1/C²
  Zo = (1, 0.1i)
• 
  Z = Exp[Z² / ( C⁵ + C )]
  Zo = (0,0i)

El método de Julia: diferents fractales iterando potències de Z

A continuació es mostra una série de fractales de les diferents potències de Z = Z^m + C, segons el método de Julia, pel matemàtic francés Gaston Julia.

Tots els punts del pla complex Z=(x,iy) són iterados en la funció corresponent. A totes les iteraciones se li afig una constant arbitrària (Cx,iCy) de tal modo que l'elecció de la constant "llavor" determina de forma unívoca la forma i el color del fractal, una volta ha segut definit el patró cromàtic. En els eixemples mostrats a continuació s'ha elegit una constant tal que solament produïx divergència, i s'ha coloreat en l'algoritme de la velocitat d'escape.

Eixemples de fractales del tipo Julia Z = Z^m + C

• 
  Z = Z² + C Cx=0.279 Cy=0.000
• 
  Z = Z³ + C Cx=0.400 Cy=0.000
• 
  Z = Z⁴ + C Cx=0.484 Cy=0.000
• 
  Z = Z⁵ + C Cx=0.544 Cy=0.000
• 
  Z = Z⁶ + C Cx=0.590 Cy=0.000
• 
  Z = Z⁷ + C Cx=0.626 Cy=0.000

Eixemples de fractales de tipo Julia, de la funció exponencial: Z = Z^m + C

• 
  Z = Exp(Z) + C
  Cx= -0.65 Cy=0.00
• 
  Z = Exp(Z³) + C
  Cx= -0.59 Cy=0.00
• 
  Z = Exp(Z³) + C
  Cx= -0.621 Cy=0.00
  Zoom x9
• 
  Z = Z * Exp(Z) + C
  Cx= 0.04 Cy=0.00
• 
  Z = Z² * Exp(Z) + C
  Cx= 0.21 Cy=0.00
• 
  Z = Z³ * Exp(Z) + C
  Cx= 0.33 Cy=0.00
• 
  Z = Z⁴ * Exp(Z) + C
  Cx= 0.41 Cy=0.00

Eixemples de fractales del tipo Julia de funcions complexes.

• 
  Z = Sqr[SinH(Z²)] + C
  Cx= 0.065 Cy=0.122
• 
  Z = [(Z²+Z) / LN(Z)] + C
  Cx= 0.268 Cy=0.060
• 
  f(z) = Cosh(Z) +(-0.45,0.00i)
• Erro al crear miniatura:
  f(z) = Sense(Z) +(4.0,0.88i)

El método de Newton

El método de Newton intenta trobar per iteración les raïls de la funció F(Z)-1 = 0.

Es itera la funció F(Z) en cada punt del pla complex (x + iy), sent Z = (x1 + iy1) fins a la convergència de x1 i i1, segons la següent fòrmula: Z_n+1 = Z_n - F(Z_n) / F’(Z_n), en a on F’(Z) és la derivada. S'ha coloreat en l'algoritme de la velocitat de convergència, conceptualment idèntic al de la velocitat d'escape, i presenta similituts en el método de Julia.

Eixemples de fractales de tipo Newton, d'algunes funcions de variable complexa:

• 
  Z⁴-1 = 0
  Z_n+1 = [(3 * Z_n⁴ + 1) / (4 * Z_n³)]
• 
  Z⁶ + Z³ - 1 = 0
• 
  SENSE(Z)- 1 = 0
• 
  COSH(Z)- 1 = 0

Característiques d'un fractal

Autosimilitud

Segons B. Mandelbrot, un objecte és autosimilar o autosemejante si les seues parts tenen la mateixa forma o estructura que el tot, encara que poden presentar-se a diferent escala i poden estar llaugerament deformades.

Els fractales poden presentar tres tipos d'autosimilitud:

Autosimilitud exacta

Est és el tipo més restrictiu de autosimilitud: exigix que el fractal semble idèntic a diferents escales. A sovint la trobem en fractales definits per sistemes de funcions iteradas (IFS).

Cuasiautosimilitud

Exigix que el fractal semble aproximadament idèntic a diferents escales. Els fractales d'este tipo contenen còpies menors i distorsionades de sí mateixos. Matemàticament D. Sullivan va definir el concepte de conjunt cuasiauto-similar a partir del concepte de cuasi-isometría. Els fractales definits per relacions de recurrencia són normalment d'este tipo.

Autosimilitud estadística

És el tipo més dèbil de autosimilitud: s'exigix que el fractal tinga mides numèriques o estadístiques que es preserven en el canvi d'escala. Els fractales aleatoris són eixemples de fractales d'este tipo.

Dimensió fractal i dimensió de Hausdorff-Besicovitch

Entre els fractales podem trobar eixemples com a curves que omplin tot el pla. En eixe cas, la dimensió topològica de la curva, que és un, no nos informa sobre la forma en que esta ocupa l'espai ambiente. De modo general, podríem preguntar-nos cóm densament un conjunt ocupa l'espai mètric que ho conté. Els números que nos informen objectivament d'este tipo de qüestions són:

La dimensió fractal

Les fòrmules que la definixen tenen que vore en el reconte de les boles necessàries per a recobrir el conjunt o en el de caixes d'una cuadrícula que contenen part del conjunt, quan les dimensions d'unes i unes atres tendixen a zero. Podem medir la dimensió fractal d'objectes reals: llínees de la costa (1.2), núvols, arbres, etc, En estes mides podem comparar objectes del món real en fractales generats per algoritmes matemàtics.

La dimensió de Hausdorff-Besicovitch

Té una definició més complexa que la de dimensió fractal. La seua definició no sol usar-se per a comparar conjunts del món real.

Definició per algoritmes recursivos

Podem destacar tres tècniques comunes per a generar fractales:

Sistemes de funcions iteradas (IFS)

Uns conjunts es reemplacen recursivamente per la seua image baix un sistema d'aplicacions: el conjunt de Cantor, l'estora de Sierpinski, el triàngul de Sierpinski, la curva de Peano, la curva del dragó, el cope de neu de Koch o l'Esponja de Menger, són alguns eixemples.

Fractales d'algoritmes d'Escape

Definits per una relació de recurrencia en cada punt de l'espai (per eixemple, el pla complex): el conjunt de Mandelbrot, conjunt de Julia, i el fractal de Lyapunov.

Fractales aleatoris

Generats per processos estocàstics, no determinista: el moviment browniano,el vol de Lévy, els paisages fractales o els arbres brownianos. Estos últims són produïts per processos d'agregació per difusió llimitada.

Aspectes matemàtics

Intents de definició rigorosa

El concepte de fractal no dispon en l'any 2008 d'una definició matemàtica precisa i d'acceptació general. Intents parcials de donar una definició varen ser realisats per:

• B. Mandelbrot, que en 1982 va definir fractal com un conjunt que la seua dimensió de Hausdorff-Besicovitch és estrictament major que la seua dimensió topològica. Ell mateixa va reconéixer que la seua definició no era lo suficientment general.
• D. Sullivan, que va definir matemàticament una de les categories de fractales en la seua definició de conjunt cuasiautosimilar que feya us del concepte de cuasi-isometría.

Dimensió fractal

Artícul principal → Dimensió fractal.

Pot definir-se en térmens del mínim número $N(ϵ)$ de boles de ràdio $ϵ$ necessàries per a recobrir el conjunt, com el llímit:

$D_F=\underset{ϵ\to 0}{\lim }\frac{\ln N(ϵ)}{\ln (1/ϵ)}$

O en funció del reconte del número de caixes $N_n$ d'una cuadrícula d'esgambi $1/2^n$ que intersecan al conjunt:

$D_F=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln N_n}{\ln (2^n)}$

Es demostra que abdós definicions són equivalents, i que són invariantes baix isometría.

Dimensió de Hausdorff-Besicovitch

D'una definició més complexa, la dimensió de Hausdorff-Besicovitch nos proporciona un número $D_H(A)$, també invariante baix isometría, la relació de les quals en la dimensió fractal $D_F(A)$ és la següent:

$0\le D_H(A)\le D_F(A)$

Açò permet distinguir en alguns casos entre conjunts en la mateixa dimensió fractal.

Dimensió de fractales produïts per un IFS

Un sistema iterativo de funcions (IFS) és un conjunt de funcions contractivas definides sobre un subconjunt de ${ℝ}^n$. Quan no hi ha solapamiento entre les imàgens de cada funció, es demostra que $D_F=D_H$ i que abdós poden calcular-se com a solució de l'equació:

a on c_i designa el factor de contracció de cada aplicació contractiva del IFS.

Aplicacions

S'han utilisat tècniques de fractales en la compressió de senyes i en diverses disciplines científiques.

Compressió d'imàgens

Comprimir l'image d'un objecte autosemejante com la falaguera de la figura no és difícil: fent us del teorema del collage, devem trobar un IFS, conjunt de transformacions que du la figura completa (en negre) en cada una de les seues parts autosemejantes (roig, blau celest i blau marí). L'informació sobre l'image quedarà codificada en el IFS, i l'aplicació reiterada de dites transformacions permet obtindre l'image processada en qüestió.

Pero l'enfocament anterior planteja problemes en moltes imàgens reals: no esperem, per eixemple, que l'image d'un gat present chicotets gatets distorsionats sobre sí mateixa. Per a solucionar-ho, en 1989 Arnaud Jacquin va crear l'esquema de sistemes de funcions iteradas particionadas: en ell es subdivide l'image per mig d'una partició i per a cada regió resultant es busca una atra regió similar a la primera baix les transformacions apropiades.

L'esquema resultant és un sistema de compressió en pèrdues, de temps asimètric. Llamentablement encara es tarda molt en trobar les transformacions que definixen l'image. No obstant, una volta trobades, la descodificación és molt ràpida. La compressió, encara que depenga de molts factors, sol ser equiparable a la compressió JPEG, en lo que el factor temps resulta determinant per a decantar-se per un o un atre sistema.

Modelació de formes naturals

Les formes fractales, les formes en la que les parts s'assemblen al tot, estan presents en la matèria biològica, junt en les #simetria (les formes bàsiques que solament necessiten la mitat d'informació genètica) i les espirals (les formes de creiximent i desenroll de la forma bàsica cap a l'ocupació d'un major espai), com les formes més sofisticades en el desenroll evolutiu de la matèria biològica en cuanto que es presenten en processos en els que es produïxen bots qualitatius en les formes biològiques, és dir possibiliten #catàstrofe (fets extraordinaris) que donen lloc a noves realitats més complexes, com els fulls que presenten una morfologia similar a la chicoteta branca de la que formen part que, a la seua volta, presenten una forma similar a la branca, que a la seua volta és similar a la forma de l'arbre, i no obstant cualitativamente no és lo mateix un full (forma biològica simple), que una branca o un arbre (forma biològica complexa).

Entre els fenomens naturals que presenten característiques de fractales espacials o temporals, s'inclouen:

Sistemes dinàmics

Pero ademés les formes fractales no solament es presenten en les formes espacials dels objectes sino que s'observen en la pròpia dinàmica evolutiva dels sistemes complexos (vore teoria del caos). Dinàmica que consta de cicles (en els que partint d'una realitat establida simple acaben en la creació d'una nova realitat més complexa) que a la seua volta formen part de cicles més complexos els quals formen part del desenroll de la dinàmica d'un atre gran cicle. Les evolucions dinàmiques de tots estos cicles presenten les similituts pròpies dels sistemes caòtics.

En manifestacions artístiques

La música pot contindre formes fractales. La música tradicionalment ha contat en especial facilitat a l'hora d'assimilar el seu llenguage en el de les matemàtiques. Els processos de disminució i aumentación són reflex de les qualitats d'autosemejanza i autorreferencia, podent continuar la seua llògica constructiva ad infinitum. Algunes obres clàssiques de Beethoven, Bach i Mozart són eixemples representatius segons va revelar un estudi.^{cita requerida} El método que varen seguir estos compositors, ya siga de manera intencionada o no, per a integrar fractales i matemàtiques era per mig d'una analogia entre una dimensió fractal i el número i la disposició de les diferents notes d'una obra o peça. ^{cita requerida}

S'usen tant en la composició harmònica i rítmica d'una melodia com en la #síntesis de sons. Açò es deu a l'us de lo que en composició es diuen "micromodos", o chicotets grups de tres notes, a partir dels quals un pot treballar-los de manera horisontal (melòdica), o vertical (harmònica). A la seua volta, el ritme pot ser treballat en successions temporals específiques, que són determinades per successions de fractales.

Per una atra part, les #litografia de l'artiste neerlandés Maurits Cornelis Escher (1898-1972) varen desenrollar en freqüència estructures matemàtiques complexes i alvançades.

En programes informàtics com Apophysis, Sterling o Ultra Fractal es poden generar imàgens en tècniques diverses; canviant paràmetros, geometria de triànguls o en transformacions aleatòries.

Vore també

• Anex:Fractales per dimensió de Hausdorff
• Desenroll de fractales per mig del método de Mandelbrot
• Caos i fractales
• ¿Quànt medix la costa de Gran Bretanya?
• Grafo simètric
• Dimensió
• Paisage fractal
• Recursividad
• Sistema de funcions iteradas
• Sistema-L
• Cosmologia fractal
• Relativitat d'escala
• Teoria del caos

Enllaços externs

• Fractovía Informació sobre fractales.

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre fractales.

Art fractal

• Galeries d'art fractal en el Open directory Project
• Música fractal en el Open Directory Project
• Coleccions d'Art Fractal
• FRACTALJMB BLOG molt interessant, on es mostren una gran varietat de fractales.

Tutoriales

• 3 Senzills métodos per a fer un fractal [1] archivat en Wayback Machine.

Llibres en llicència CC

• Música fractal: el sò del caos Introducció general sobre fractales i aplicació a la composició automàtica de música
• Codificació fractal d'imàgens Analisa l'aplicació de tècniques fractales a la compressió en pèrdues d'imàgens
• Rubiano, Gustavo. Iteración i fractales (en Mathematica)

Software

• FFExplorer Explorador interactiu de fractales freeware, per a Windows
• Borlandia Applets en java que generen Fractales interactius
• Apophysis [2] archivat en Wayback Machine. Programa de còdic obert per a la creació de fractales (anglés)
• IFS Illusions [3] archivat en Wayback Machine. generador IFS freeware, per a Windows
• FractInt generador fractal freeware, per a DOS, Windows i existix un porte a Linux disponible (anglés)
• XaoS zoomer interactiu de fractales per a linux.
• Incendia programa de disseny de fractales 3D donationware.
• WMANJUL v2 Fractal de Mandelbrot (anglés).
• FractNep [4] archivat en Wayback Machine. Explorador interactiu de fractales (Mandelbrot, Julia, Newton), freeware, per a Windows.

Vídeos

• Vídeos de fractales en Commons
• Video Mandelbox(Eixemple de 3D fractal)
• https://www.youtube.com/watch?v=Wea_1L-C9Xo&t=62s