Teoria de la percolación

En física estadística i matemàtiques, la teoria de la percolación descriu el comportament d'una ret quan s'agreguen nodos o enllaços. Est és un tipo geomètric de transició de fase, ya que en una fracció crítica de l'adició, la ret de grups chicotets desconectats es fusiona formant una estructura conectada significativament més gran, el cridat grup d'expansió. Les aplicacions de la teoria de la percolación a la ciència de materials i en moltes atres disciplines es discutixen ací i en els artículs dedicats al anàlisis de rets i a la percolación.

Erro al crear miniatura:

Gràfic tridimensional d'un model de percolación

Introducció

Erro al crear miniatura:

Percolación d'enllaços en una retícula quadrada de p=0.3 a p=0.52

La teoria de Flory-Stockmayer va ser el primer desenroll científic que va investigar els processos de percolación.^[1]

Una pregunta representativa (i l'orige de l'etimologia del nom) és la següent. Suponga's que s'aboca una miqueta de líquit sobre algun material poroso. ¿Podrà el líquit passar d'un forat a un atre i aplegar al fondo? Esta pregunta física és modelada matemàticament com una ret tridimensional de $n \times n \times n$ vèrtiços, generalment cridats "llocs", en els que els costats o "enllaços" entre cada dos elements veïns poden estar oberts (permetent el pas del líquit) en provabilitat $p$ , o tancats en provabilitat $1 - p$ , i se supon que són independents. Per lo tant, per a un $p$ donat, ¿quin és la provabilitat de que existixca una ruta oberta (és dir, un camí, cada u dels enllaços del qual és un enllaç "obert") de dalt avall? El comportament en valors de $n$ grans és d'interés principal. Este problema, cridat ara percolación d'enllaços, va ser introduït en la lliteratura matemàtica per Broadbent y Hammersley (1957),^[2] i ha segut estudiat intensament per matemàtics i físics des de llavors.

En un model matemàtic llaugerament diferent per a obtindre un gràfic aleatori, un lloc està "ocupat" en provabilitat $p$ o "buit" (en el cas del qual s'eliminen les seues vores) en provabilitat $1 - p$ ; el problema corresponent es diu filtració del lloc. La pregunta és la mateixa: per a una p donada, ¿quin és la provabilitat de que existixca un camí entre la part superior i l'inferior? De manera similar, es pot preguntar, donat un gràfic conectat, en quina fracció $1 - p$ d'interrupcions es desconectarà el gràfic (sense component gran).

Erro al crear miniatura:

Determinació de la percolación d'una ret de tubos 3D

Es poden fer les mateixes preguntes per a qualsevol dimensió de celosía. Com és prou típic, en realitat és més fàcil examinar rets infinites que solament les grans. En este cas, la pregunta corresponent és: ¿existix un cúmul obert infinit? És dir, ¿existix un camí de punts conectats de llongitut infinita "a través" de la ret? Per la llei zero-u de Kolmogórov, per a qualsevol $p$ donat, la provabilitat de que existixca un grup infinit és zero o un. Ya que esta provabilitat és una funció creixent de $p$ (prova a través de l'argument d'acoplament), deu haver un $p$ crític (denotat per $p c$ ) per baix del com la provabilitat és sempre 0 i per damunt del com la provabilitat és sempre és 1. En la pràctica, esta criticidad és molt fàcil d'observar. Inclús per a $n$ tan chicotet com 100, la provabilitat d'una ruta oberta de dalt avall aumenta dràsticament de molt prop de zero a molt prop d'un en un interval curt de valors de $p$ .

Detall d'una percolación d'enllaç en la retícula quadrada en dos dimensions en provabilitat de percolación

p = 0.51

Per a la majoria dels gràfics de celosía infinita, $p c$ no es pot calcular exactament, encara que en alguns casos de $p c$ existix un valor exacte. Per eixemple:

Per a una retícula quadrada $ℤ 2$ en dos dimensions, $p c = 1 ⁄ 2$ per a percolación d'enllaços, un fet que va ser una qüestió oberta durant més de 20 anys i finalment va ser resolt per Harry Kesten a principis de la década de 1980,^[3] (vore Kesten (1982)). Per a la percolación del lloc, el valor de $p c$ no es coneix a partir de la derivació analítica, sino solament a través de simulacions de reixetes grans.^[4]
Un cas llímit per a retículas de grans dimensions ho dona la retícula de Bethe, el llindar de la qual està en $p c = 1 ⁄ z - 1$ per a un número $z$ . En atres paraules: per al arbre regular de grau $z$ , $p_{c}$ és igual a $1 / (z - 1)$ .

Erro al crear miniatura:

Front de percolación

Para rets de Erdős-Rényi aleatòries de grau mig $⟨ k ⟩$ , $p c = 1 ⁄ ⟨k⟩$ .^[5]^[6]^[7]

Universalitat

El principi d'universalitat establix que el valor numèric de $p c$ està determinat per l'estructura local del gràfic, mentres que el comportament prop del llindar crític, $p c$ , es caracterisa per un exponent crític universal. Per eixemple, la distribució del tamany dels conglomerats en la criticidad decau com una llei de potència en el mateix exponent per a tots els retículs 2d. Esta universalitat significa que per a una dimensió donada, els diversos exponents crítics, la dimensió fractal dels grups en $p c$ és independent del tipo de retícula i del tipo de percolación (per eixemple, enllaç o lloc). No obstant, recentment s'ha realisat la percolación en un retícul estocàstic pla ponderat i es va trobar que encara que la seua dimensió coincidix en la dimensió de l'espai a on està incrustat, la seua classe d'universalitat és diferent a la de tots els retículs plans coneguts.^[8]^[9]

Vore també

Referències

↑ Applications Of Percolation Theory (en en), CRC Press. ISBN 978-0-203-22153-2.
↑ “Percolation processes I. Crystals and mazes” (1957). Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 53 (3): 629–641. doi:10.1017/S0305004100032680. ISSN 0305-0041. Bibcode: 1957PCPS...53..629B.
↑ “Sharp thresholds and percolation in the plane” (2006). Random Structures and Algorithms 29 (4): 524–548. doi:10.1002/rsa.20134. ISSN 1042-9832.
↑ MEJ Newman (2000). “Efficient Mont Carlo algorithm and high-precision results for percolation”. Physical Review Letters 85 (19): 4104–4107. doi:10.1103/physrevlett.85.4104. PMID 11056635. Bibcode: 2000PhRvL..85.4104N.
↑ Erdős, P. (1959). “On random graphs I.”. Publ. Math. (6): 290–297.
↑ Erdős, P. (1960). “The evolution of random graphs”. Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci. (5): 17–61.
↑ Bolloba's, B. (1985). “Random Graphs”. Academic.
↑ “Percolation on a multifractal scale-free planar stochastic lattice and its universality class” (2015). Phys. Rev. I 92 (4). doi:10.1103/PhysRevE.92.040101. PMID 26565145. Bibcode: 2015PhRvE..92d0101H.
↑ “Universality class of site and bond percolation on multi-multifractal scale-free planar stochastic lattice” (2016). Phys. Rev. I 94 (4). doi:10.1103/PhysRevE.94.042109. PMID 27841467. Bibcode: 2016PhRvE..94d2109H.

Bibliografia

(1987).«Sharpness of the phase transition in percolation models».Communications in Mathematical Physics.108(3)

489–526.doi:10.1007/BF01212322.

(1986).«Coincidence of critical points in percolation problems».Soviet Mathematics - Doklady.33

856–859.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Teoría de la percolación» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Applications Of Percolation Theory (en en), CRC Press. ISBN 978-0-203-22153-2.

[BroadbentHammersley1957-2] “Percolation processes I. Crystals and mazes” (1957). Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 53 (3): 629–641. doi:10.1017/S0305004100032680. ISSN 0305-0041. Bibcode: 1957PCPS...53..629B.

[BollobásRiordan2006-3] “Sharp thresholds and percolation in the plane” (2006). Random Structures and Algorithms 29 (4): 524–548. doi:10.1002/rsa.20134. ISSN 1042-9832.

[4] MEJ Newman (2000). “Efficient Mont Carlo algorithm and high-precision results for percolation”. Physical Review Letters 85 (19): 4104–4107. doi:10.1103/physrevlett.85.4104. PMID 11056635. Bibcode: 2000PhRvL..85.4104N.

[5] Erdős, P. (1959). “On random graphs I.”. Publ. Math. (6): 290–297.

[6] Erdős, P. (1960). “The evolution of random graphs”. Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci. (5): 17–61.

[7] Bolloba's, B. (1985). “Random Graphs”. Academic.

[8] “Percolation on a multifractal scale-free planar stochastic lattice and its universality class” (2015). Phys. Rev. I 92 (4). doi:10.1103/PhysRevE.92.040101. PMID 26565145. Bibcode: 2015PhRvE..92d0101H.

[9] “Universality class of site and bond percolation on multi-multifractal scale-free planar stochastic lattice” (2016). Phys. Rev. I 94 (4). doi:10.1103/PhysRevE.94.042109. PMID 27841467. Bibcode: 2016PhRvE..94d2109H.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]