Número

Número

Inclusió de conjunts entre els número natural (ℕ), els número entero (ℤ), els número racional (ℚ), els número real (ℝ) i els número complejo (ℂ).

Un número és un objecte matemàtic utilisat per a contar (cantitats), medir (magnituts) i etiquetar. Els números més senzills, que utilisem tots en la vida quotidiana, són els número natural: 1, 2, 3, etc. Es denoten per mig de $\mathbb{N}$ i servixen també com a ordinals, per a establir un orde (primer, segon,...). En ocasions usem el terme número per a parlar de lo que en realitat és un numeral o sifra (per eixemple, nostres números aràbics). Des d'un punt de vista totalment general un número és qualsevol element d'una estructura llògic-matemàtica coneguda com sistema numèric.

Els números eixerciten un paper essencial en les ciències empíriques, ya que permeten quantificar i descriure fenomens observables. No solament els número natural són utilisats, sino també diversos conjunts numèrics desenrollats a lo llarc de l'història de les matemàtiques.

El conjunt dels número entero (representat per $\mathbb{Z}$) amplia el dels naturals en incloure els números negatius, empleats, per eixemple, per a expressar deutes o temperatures baix zero. Si s'incorporen els número fraccionario, com $\frac{1}{3}$, 0,75 o −3,25, s'obté el conjunt dels número racional, simbolisat per $\mathbb{Q}$.

Des de l'antiguetat, es coneix l'existència de números que no poden expressar-se com a fraccions de sancers. Per eixemple, la llongitut de la diagonal d'un quadrat de costat unitat és $\sqrt{2}$, un número irracional. L'unió dels número racional i irracionals forma el conjunt dels número real, representat per $ℝ$.

En el temps, es varen introduir atres tipos de números per a ampliar l'alcanç de l'anàlisis matemàtic, com els imaginaris, complexos i trascendentes, que permeten descriure i resoldre fenomens de creixent complexitat en diverses branques de la ciència i l'ingenieria.

Note's que la teoria de números és una branca de les matemàtiques que s'ocupa dels sancers (no de números en general). L'orige dels números és que els primers números que l'home va inventar varen ser els número natural, els quals s'utilisaven i s'utilisen per a contar elements d'un conjunt finit, ya que es procedix a enumerar dits elements d'una manera ordenada seleccionant-los un darrere l'atre al mateix temps que se li atribuïx a cada u un número.

Tipos de números

Els números més coneguts són els número natural. Denotats per mig de $\mathbb{N}$, són conceptualment els més simples i els que s'usen per a contar unitats discretes. Estos, conjuntament en els números «negatius», conformen el conjunt dels sancers, denotats per mig de $\mathbb{Z}$ (de l'alemà Zahlen, ‘números’). Els número natural negatius permeten representar formalment deutes, i generalisar la resta de qualssevol dos número natural. És dir, ya tenim solució per a operacions com, per eixemple, 3-2 = 1.

Un atre tipo de números àmpliament usats són números fraccionarios, els quals representen tant cantitats inferiors a una unitat, com a número mixto (un conjunt d'unitats més una part inferior a l'unitat). Els número fraccionario poden ser expressats sempre com a cocients de sancers. El conjunt de tots els número fraccionario és el conjunt dels número racional (que usualment es definix per a que incloga tant als racionals positius, com als racionals negatius i el zero). Este conjunt de números es designa com $\mathbb{Q}$. De la mateixa manera que en els número entero es pot calcular el resultat de qualsevol resta, en els racionals és possible efectuar divisions que no tenen resultat sancer, com 15/2 = 7,5 o 7½.

Els número racional permeten resoldre gran cantitat de problemes pràctics, pero des dels antics grecs es coneix que certes relacions geomètriques (la diagonal d'un quadrat de costat unitat) són números no sancers que tampoc són racionals. Igualment, la solució numèrica d'una equació polinòmica els coeficients de la qual són número racional, usualment és un número no racional. Pot demostrar-se que qualsevol número irracional pot representar-se com una successió de Cauchy de número racional que s'aproximen a un llímit numèric. El conjunt de tots els número racional i els irracionals (obtinguts com a llímits de successions de Cauchy de número racional) és el conjunt dels número real $ℝ$. Durant un temps es va pensar que tota magnitut física existent podia ser expressada en térmens de número real exclusivament. Entre els reals, existixen números que no són soluciones d'una equació polinomial o algebraica, i estos reben el nom de transcendentales. Els més coneguts d'estos números són el número π (Pi) i el número i (este últim base dels logaritmos naturals), els quals estan relacionats entre sí per l'identitat de Euler.

Un dels problemes dels número real és que no formen un cos algebraicamente tancat, per lo que certs problemes no tenen solució plantejats en térmens de número real. Eixa és una de les raons per les quals es varen introduir els número complejo $ℂ$, que són el mínim cos algebraicamente tancat que conté als número real. Ademés, en algunes aplicacions pràctiques, aixina com en les #formulació estàndar de la mecànica quàntica es considera útil introduir els número complejo. Segons pareix, l'estructura matemàtica dels número complejo reflectix estructures existents en problemes físics, per lo que en física teòrica i en diverses aplicacions els número complejo s'usen en peu d'igualtat en els número real, a pesar de que inicialment varen ser considerats únicament com un artificio matemàtic sense relació en la realitat física. Tots els conjunts de números $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},ℝ,ℂ$ varen ser d'alguna manera «descoberts» o sugerits en conexió en problemes plantejats en problemes físics o en el sí de la matemàtica elemental i tots ells semblen tindre importants conexions en la realitat física.

Al marge dels número real i complexos, clarament conectats en problemes de les ciències naturals, existixen atres tipos de números que generalisen encara més i estenen el concepte de número d'una manera més abstracta i responen més a creacions delliberades de matemàtics. La majoria d'estes generalisacions del concepte de número s'usen solament en matemàtiques, encara que alguns d'ells han trobat aplicacions per a resoldre certs problemes físics. Entre ells estan els números hipercomplejos, que inclouen als cuaterniones, útils per a representar rotacions en un espai de tres dimensions, i generalisacions d'estos, com octoniones i els sedeniones.

A un nivell una miqueta més abstracte també s'han ideat conjunts de números capaços de tractar en cantitats infinitas i infinitesimals, com els hiperreales ${}^{*}ℝ$ i els transfinitos. I igualment els número racional poden estendre's d'atres maneres, com per ejempo per a formar els números p-ádicos, entre els quals es troben els sancers p-ádicos ${\mathbb{Z}}_p$, els racionals p-ádicos ${\mathbb{Q}}_p$ o els complexos p-ádicos $\Omega ={ℂ}_p$, que satisfan ${\mathbb{Z}}_p\subset {\mathbb{Q}}_p\subset {ℂ}_p$.

Llista dels tipos de números existents

La teoria dels números tracta bàsicament de les propietats dels número natural i els sancers, mentres que les operacions de l'àlgebra i el càlcul permeten definir la major part dels sistemes numèrics, entre els quals estan:

• Número natural
  • Número primo
  • Número compuesto
  • Número perfecte
• Número entero
  • Números negatius
  • Número par
  • Número impar
• Número racional
• Número real

• • Número irracional
  • Número algebraico
  • Número trascendente
• Extensions dels número real
  • Número complejo
  • Números hipercomplejos
    • Cuaterniones
    • Octoniones
  • Números hiperreales
  • Números superreales
  • Números surreales
• Números usats en teoria de conjunts
• Números ordinals
• Número cardinal
• Números transfinitos

Estructura dels sistemes numèrics

En àlgebra abstracta i anàlisis matemàtic un sistema numèric es caracterisa per una:

• Estructura algebraica, usualment un anell conmutativo o cos matemàtic (en el cas no conmutativo són un àlgebra sobre un cos i en el cas dels número natural solament un monoide conmutativo).
• Estructura d'orde, usualment un conjunt ordenat, en el cas dels número natural, sancers, racionals i reals es tracta de conjunts totalment ordenats, encara que els número complejo i hipercomplejos solament són conjunts parcialment ordenats. Els reals ademés són un conjunt ben ordenat i en un orde dens.
• Estructura topològica, els conjunts numèrics numerables usualment són conjunts disconexos, sobre els que es considera la topología discreta, mentres que sobre els conjunts no numerables es considera una topología que els fa adequats per al anàlisis matemàtic.

Una atra propietat interessant de molts conjunts numèrics és que són representables per mig de diagrames de Hasse, diagrames de Euler i diagrames de Venn, podent-se prendre una combinació d'abdós en un diagrama de Euler-Venn en la forma característica de quadrilàter i ademés podent-se representar internament un diagrama de Hasse (és una recta). Tant històricament com conceptualment, els diversos conjunts numèrics, des del més simple dels número natural, fins a extensions transcendentes dels número real i complexos, elaborades per mig de la teoria de models durant el XX, es construïxen des d'una estructura més simple fins a una atra més complexa.

Número natural especials

L'estudi de certes propietats que complixen els números ha produït una enorme cantitat de tipos de números, la majoria sense un interés matemàtic específic. Es poden enquadrar dins de la matemàtica recreativa. A continuació s'indiquen alguns:

• Perfecte: número igual a la suma de les seues divisores (incloent l'1). Eixemple: 6 = 1 + 2 + 3.
• Sheldon: el número 73, és el 21° número primo, que en multiplicar 7 × 3 = 21; I en donar el regrés als seus dígits dona 37 que és el 12° número primo.
• Narcissiste: número de n dígits que resulta ser igual a la suma de les potències d'orde n dels seus dígits. Eixemple: 153 = 1³ + 5³ + 3³.
• Omirp: número primo que en invertir els seus dígits dona un atre número primo. Eixemple: 1597 i 7951 són primers.
• Vampir: número que és el producte de dos números obtinguts a partir dels seus dígits. Eixemple: 2187 = 27 × 81.
• Hamsteriano: La seua estructura aritmètica N= (a×b)²-1, a on a i b són primers els dos, la suma de les seues divisores sobrepassa N, i la cantitat de les seues divisores és > a×b/2; va com a eixemple: 1224 = (5×7)²-1
• Pitagórico: una terna pitagórico són tres números que complixen les següents condicions: el quadrat d'un d'ells, més el quadrat d'un atre, és igual al quadrat del tercer, per eixemple: (3, 4, 5) ya que 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²

Una volta entés el problema de la naturalea i la classificació dels números, sorgix un atre, més pràctic, pero que condiciona tot lo que es va a fer en ells: la manera d'escriure'ls. El sistema que s'ha impost universalment és la numeració posicional, gràcies a l'invent del zero, en una base constant.

Més formalment, en Els fonaments de l'aritmètica, Gottlob Frege (1848-1925) realisa una definició de «número», la qual va ser presa com a referència per molts matemàtics (entre ells Bertrand Russell [1872-1870], cocreador de Principia mathematica):

«n» és un número, és llavors la definició de «que existix un concepte “F” per al qual “n” aplica», que a la seua volta es veu explicat com que «n» és l'extensió del concepte «equinumerable en» para «F», i dos conceptes són equinumerables si existix una relació «un a un» (vore que no s'utilisa el símbol «1» perque no està definit encara) entre els elements que ho componen (és dir, una biyección en atres térmens).

Vore també que Frege, tant com qualsevol atre matemàtic, es veu inhabilitat per a definir el número com l'expressió d'una cantitat, perque la simbologia matemàtica no fa referència necessària a la numerabilidad, i el fet de «cantitat» referiria a alguna cosa numerable, mentres que números s'adopten per a definir la cardinalidad de, per eixemple, els elements que es troben en l'interval obert (0, 1), que conté innumerables elements (el continu).

Peano, abans d'establir les seues cinc proposicions sobre els número natural, explícita que supon sabuda una definició (potser per la seua «obvietat») de les paraules o conceptes zero, successor i número. D'esta manera postula:

• 0 és un número natural
• el successor de tot número és un número
• dos números diferents no tenen el mateix successor
• 0 no és el successor de cap número
• i la propietat inductiva

No obstant, si un definix el concepte zero com el número 100, i el concepte número com els números majors a 100, llavors les cinc proposicions mencionades anteriorment apliquen, no a l'idea que Peano hauria volgut comunicar, sino a la seua formalisació.

La definició de número es troba per això no totalment formalisada, encara que es trobe un acort majoritari en adoptar la definició enunciada per Frege.

Història del concepte de número

Cognitivamente el concepte de número està associat a l'habilitat de contar i comparar quin de dos conjunts d'entitats similars té major cantitat d'elements. Les primeres societats humanes es varen trobar molt pronte en el problema de determinar quin de dos conjunts era «major» que un atre, o de conéixer en precisió quants elements formaven una colecció de coses. Eixos problemes podien ser resolts simplement contant. L'habilitat de contar del ser humà, no és un fenomen simple, encara que la majoria de cultures tenen sistemes de conte que apleguen com a mínim a centenars, alguns pobles en una cultura material simple, solament disponen de térmens per als números 1, 2 i 3 i usualment usen el terme «molts» per a cantitats majors, encara que quan és necessari usen recursivamente expressions traducibles com «3 més 3 i atres 3».

El conteo es va deure iniciar per mig de l'us d'objectes físics (tals com a montons de pedres) i de marques de conte, com les trobades en ossos tallats: el de Lebombo, en 29 muescas gravades en un os de babuino, té uns 37 000 anys d'antiguetat i un atre os de llop trobat en l'antiga Checoslovàquia, en 57 marques dispostes en cinc grups d'11 i dos soltes, s'ha estimat en uns 30 000 anys d'antiguetat. Abdós casos constituïxen una de les més antigues marques de conte conegudes havent-se sugerit que pogueren estar relacionades en registres de fases llunars. Sobre l'orige ordinal algunes teories ho situen en rituals religiosos. Els sistemes numerals de la majoria de famílies llingüístiques reflectixen que l'operació de contar va estar associat al conteo de dits (raó per la qual els sistemes de base decimal i vigesimal són els més abundants), encara que està testimoniat l'ocupació d'atres bases numèriques.

El pas cap als símbols numerals, de la mateixa manera que l'escritura, s'ha associat a l'aparició de societats complexes en institucions centralisades constituint artificios burocràtics de contabilitat en registres impositius i de propietats. El seu orige estaria en primitius símbols en diferents formes per al reconte de diferents tipos de bens com els que s'han trobat en Mesopotamia inscrits en tablillas d'argila que a la seua volta havien vingut a substituir progressivament el conteo de diferents bens per mig de fiches d'argila (constatades a lo manco des del 8000 a. C.) Els símbols numerals més antics trobats se situen en les civilisacions mesopotàmiques usant-se com a sistema de numeració ya no solament per a la contabilitat o el comerç sino també per a la agrimensura o l'astronomia com, per eixemple, registres de moviments planetaris.

En conjunt, des de fa 5000 anys la majoria de les civilisacions han contat com ho fem hui encara que la forma d'escriure els números (si ben tots representen en exactitut els naturals) ha segut molt diversa. Bàsicament la podem classificar en tres categories:

1. Sistemes de notació aditiva. Acumulen els símbols de totes les unitats, decenes, centenes, …, necessaris fins a completar el número. Encara que els símbols poden anar en qualsevol orde, varen adoptar sempre una determinada posició (de més a menys). D'este tipo són els sistemes de numeració: egipcíac, hitita, cretense, romà, grec, armeni i judeu.
2. Sistemes de notació híbrida. Combinen el principi aditiu en el multiplicativo. En els anteriors 500 es representa en 5 símbols de 100, en estos s'utilisa la combinació del 5 i el 100. L'orde de les sifres és ara fonamental (estem a un pas del sistema posicional). D'este tipo són els sistemes de numeració: chinenc clàssic, assiri, armeni, etíope i maya. Este últim utilisava símbols per a l'1, el 5 i el 0. Sent est el primer us documentat del zero tal com ho coneixem hui (any 36 a. C.) ya que el dels babilonios solament s'utilisava entre atres dígits.
3. Sistemes de notació posicional. La posició de les sifres nos indica si són unitats, decenes, centenes, …, o en general la potència de la base. Solament tres cultures ademés de la índia varen conseguir desenrollar un sistema d'este tipo: el sistema chinenc (300 a. C.) que no disponia de 0, el sistema babilònic (2000 a. C.) en dos símbols, de base 10 aditiu fins al 60 i posicional (de base 60) en avant, sense 0 fins a el 300 a. C.

Les fraccions unitàries egipcíaques (Papir de Ahmes/Rhind)

Artícul principal → Fracció egipcíaca.

En este papir adquirit per Alexander Henry Rhind (1833-1863) en 1858, el contingut del qual data del 2000 al 1800 a. C. ademés del sistema de numeració abans descrit nos trobem en el seu tractament de les fraccions. No consideren les fraccions en general, solament les fraccions unitàries (inverses dels naturals 1/20) que es representen en un signe oval damunt del número, la fracció 2/3 que es representa en un signe especial i en alguns casos fraccions del tipo $n/n+1$. Hi ha taules de descomposició de $2/n$ des de n=1 fins a n=101, com per eixemple $2/5=1/3+1/15$ o $2/7=1/4+1/28$, no sabem per qué no utilisaven $2/n=1/n+1/n$ pero sembla que tractaven d'utilisar fraccions unitàries menors que $1/n$.

En ser un sistema sumativo la notació és: 1+1/2+1/4. L'operació fonamental és la suma i les nostres multiplicacions i divisions es feyen per «#duplicació» i «#mediació», per eixemple 69×19=69×(16+2+1), a on 16 representa 4 #duplicació i 2 una duplicació.

Fraccions sexagesimals babilòniques (documents cuneïformes)

En les tablillas cuneïformes de la dinastia Hammurabi (1800-1600 a. C.) apareix el sistema posicional, abans referit, estés a les fraccions, pero XXX val per a $2\times 60+2$, $2+2\times 60-1$ o $2\times 60-1+2\times 60-2$ en una representació basada en l'interpretació del problema.

Per a calcular recorrien, com nosatres abans de dispondre de màquines, a les numeroses taules que disponien: De multiplicar, d'inversos, de quadrats i gavetes, de raïls quadrades i cúbiques, de potències successives d'un número donat no fix, etc. Per eixemple, per a calcular $a$, prenien la seua millor aproximació sancera $a_1$, i calculaven $b_1=a/a_1$ (una major i una atra menor) i llavors $a_2=(a_1+b_1)/2$ és millor aproximació, procedint igual obtenim $b_2=a/a_2$ i $a_3=(a_2+b_2)/2$ obtenint en la tablilla Yale-7289 2=1;24,51,10 (en base decimal 1,414222) com a valor de $a_3$ partint de $a_1=1;30$ (vore algoritme babilònic).

Realisaven les operacions de forma pareguda a hui, la divisió multiplicant per l'invers (per a lo que utilisen les seues taules d'inversos). En la taula d'inversos falten els de 7 i 11 que tenen una expressió sexagesimal infinitament llarga. Sí estan 1/59=;1,1,1 (el nostre 1/9=0,111…) i 1/61=;0,59,0,59 (el nostre 1/11=0,0909…), pero no es percataron del desenroll periòdic.

Descobriment dels incommensurables

Les circumstàncies i la data d'este descobriment són incertes, encara que s'atribuïx a l'escola pitagórico (s'utilisa el teorema de Pitágoras). Aristóteles (384-322 a. C.) menciona una demostració de la inconmensurabilidad de la diagonal d'un quadrat sobre el seu costat basada en la distinció entre lo parell i lo impar. La reconstrucció que realisa C. Boyer és:

Siguen d:diagonal, s:costat i d/s racional, que podrem escriure-ho com $p/q$, en p i q primers entre sí. Per la teorema de Pitágoras tenim que $d^2=s^2+s^2$, $(d/s{)}^2=p^2/q^2=2$, llavors $p^2=2q^2$ i per tant $p^2$ deu ser parell i també p, i per tant q impar. En ser p parell tenim $p=2r$, llavors $4r^2=2q^2$ i $2r^2=q^2$, llavors $q^2$ és parell i q també, llavors q és parell i impar en lo que tenim una contradicció.

La teoria pitagórico de tot és número va quedar sériament danyada.

El problema ho resoldria Eudoxo de Cnido (408-355 a. C.) tal com nos indica Euclides en el llibre V de Els elements. Per a això va establir l'axioma de Arquímedes: «Dos magnituts tenen una raó si es pot trobar un múltiple d'una d'elles que supere a l'atra» (exclou el 0). Despuix, en la definició 5, dona la famosa formulació de Eudoxo:

«Dos magnituts estan en la mateixa raó $a/b=c/d$ si donats dos número natural qualssevol m i n, si $ma=nb$ llavors $mc=nd$ (definició que intercanviant el 2.º i 3.º térmens equival al nostre procediment actual).

En el llibre Història de la matemàtica (1985), de J. P. Colette, es fa l'observació de que esta definició està molt pròxima a la de número real que donarà Dedekind (1831-1916), dividix les fraccions en les $m/n$ tals que $ma=nb$ i les que no.

Creació del zero

Artícul principal → Zero.

En qualsevol sistema de numeració posicional sorgix el problema de la falta d'unitats de determinat orde. Per eixemple, en el sistema babilònic el número $32$ escrit en base 60 pot ser $3\times 60+2$ o $3\times 60^2+0\times 60+2$. A voltes, s'utilisava la posició buida per a evitar este problema 3 _ 2; pero els escrigues devien tindre molt conte per a no equivocar-se.

Cap a el III a. C., en Grècia, es va començar a representar el no res per mig d'una "o" que significa oudos 'buit', i que no va donar orige al concepte de zero com existix hui en dia. L'idea del zero com a concepte matemàtic sembla haver sorgit en l'Índia abans que en cap atre lloc. L'única notació ordinal del Vell Món va ser la sumeri, a on el zero es representava per un buit.

En Amèrica, la primera expressió coneguda del sistema de numeració vigesimal prehispánico data de el III a. C. Es tracta d'una estela olmeca tardana, la qual ya contava tant en el concepte de "orde" com el de "zero". Els mayas varen inventar quatre signes per al zero; els principals eren: el brot d'un caragol per al zero matemàtic, i una flor per al zero calendárico (que implicava no l'absència de cantitat, sino el compliment d'un cicle).

Números negatius

Brahmagupta, en el 628 de nostra era, considera les dos raïls de les equacions quadràtiques, encara que una d'elles siga negativa o irracional. De fet en la seua obra és la primera volta que apareix sistematisada l'aritmètica (+, -, *, /, potències i raïls) dels números positius, negatius i el zero, que ell cridava els bens, els deutes i el no res. Aixina, per eixemple, per al cocient, establix:

Positiu dividit per positiu, o negatiu dividit per negatiu, és afirmatiu. Sifra dividit per sifra és res (0/0=0). Positiu dividit per negatiu és negatiu. Negatiu dividit per afirmatiu és negatiu. Positiu o negatiu dividit per sifra és una fracció que la té per denominador (a/0=¿?)

No solament va utilisar els negatius en els càlculs, sino que els va considerar com a entitats aïllades, sense fer referència a la geometria. Tot açò es va conseguir gràcies al seu meninfotisme pel rigor i la fundamentación llògica, i la seua mescla de lo pràctic en lo formal.

No obstant, el tractament que varen fer dels negatius va caure en el buit, i va ser necessari que transcorregueren varis sigles (fins al Renaixença) per a que fora recuperat.

Segons pareix, els chinencs també posseïen l'idea de número negatiu, i estaven acostumats a calcular en ells utilisant varetes negres per als negatius i roges per als positius.

Transmissió del sistema indo-aràbic a Occident

Varis autors de el XIII varen contribuir a esta difusió, destaquen Alexandre de Villedieu (1225), Sacrobosco (circa 1195, o 1200-1256) i sobretot Leonardo de Pisa (1180-1250). Este últim, conegut com Fibonacci, va viajar per Orient i va deprendre dels àraps el sistema posicional hindú. Va escriure un llibre, El Liber abaci, que tracta en el capítul I la numeració posicional, en els quatre següents les operacions elementals, en els capítuls VI i VII les fraccions: comuns, sexagesimals i unitàries (¡no usa els decimals, principal ventaja del sistema!), i en el capítul XIV els radicals quadrats i cúbics. També conté el problema dels conills que dona la série: $1,1,2,3,5,8,\mathrm{...},u_n$ en $u_n=u_{n-1}+u_{n-2}$.

No apareixen els números negatius, que tampoc varen considerar els àraps, per l'identificació de número en magnitut (¡obstàcul que duraria sigles!). A pesar de la ventaja dels seus algoritmes de càlcul, es desnugaria per diverses causes una lluita encarniçada entre abacistas i algoristas, fins al triumfo final d'estos últims.

Les fraccions contínues

Pietro Antonio Cataldi (1548-1626), encara que en eixemples numèrics, desenrolla una raïl quadrada en fraccions contínues com hui: Volem calcular $N$ i siga $a$ el major número que el seu quadrat és menor que $N$ i $b=N^2-a^2$, tenim: $N-a=(N^2-a^2)/(N+a)=b/(2a+N-a)=b/(2a+(b/2a+\mathrm{...}))$ que en la seua notació escrivia: n=a&b/2.a.&b/2.a… Aixina 18=4&2/8.&2/8, que dona les aproximacions 4+(1/4), 4+(8/33)…

Sent aixina els número irracional acceptats en tota normalitat, puix se'ls podia aproximar fàcilment per mig de número racional.

Primera formulació dels número complejo

Els número complejo eren en pocs casos acceptats com a raïls o solucions d'equacions (M. Stifel (1487-1567), S. Stevin (1548-1620)) i per casi cap com a coeficients). Estos números es varen cridar inicialment ficticii 'ficticis' (el terme "imaginari" usat actualment és reminiscente d'estes reticències a considerar-los números respectables). A pesar d'açò G. Cardano (1501-1576) coneix la regla dels signes i R. Bombelli (1526-1573) les regles aditivas a través de havers i dèbits, pero es consideren manipulacions formals per a resoldre equacions, sense entitat al no provindre de la mida o el conteo.

Cardano en la resolució del problema dividir 10 en dos parts tals que el seu producte valga 40 obté com a solucions $5+\sqrt{-15}$ (en la seua notació 5p:Rm:15) i $5-\sqrt{-15}$ (en la seua notació 5m:Rm:15), solucions que va considerar meres manipulacions «sotils, pero inútils».

En la resolució d'equacions cúbiques en la fòrmula de Cardano-Tartaglia, encara que les raïls siguen reals, apareixen en els passos intermijos raïls de números negatius. En esta situació Bombelli diu en la seua Àlgebra que va tindre lo que va cridar "una idea loca", esta era que els radicals podien tindre la mateixa relació que els radicandos i operar en ells, tractant d'eliminar-los despuix. En un text posterior en 20 anys utilisa p.d.m. $(+\mathrm{i})$ per a $+\sqrt{-1}$ i m.d.m. $(-\mathrm{i})$ per a $-\sqrt{-1}$ donant les regles per a operar en estos símbols afegint que sempre que apareix una d'estes expressions apareix també la seua conjugada, com en les equacions de 2.º grau que resol correctament. Dona un método per a calcular $a+b\mathrm{i}$.

Generalisació de les fraccions decimals

Encara que es troba un us més que casual de les fraccions decimals en l'Aràbia medieval i en l'Europa renaixentista, i ya en 1579 Vieta (1540-1603) proclamava el seu respal a estes front a les sexagesimals, i les acceptaven els matemàtics que es dedicaven a l'investigació, el seu us es va generalisar en l'obra que Simon Stevin va publicar en 1585 De Thiende (La Disme). En la seua definició primera diu que la Disme és una espècie d'aritmètica que permet efectuar tots els contes i mides utilisant únicament número natural. En les següents definix la nostra part sancera: qualsevol número que vaja el primer es diu començ i el seu signe és (0), (primera posició decimal 1/10). El següent es diu primera i el seu signe és (1) (segona posició decimal 1/100). El següent es diu segona (2). És dir, els número decimal que escriu: 0,375 com 3(1)7(2)5(3), o 372,43 com 372(0)4(1)3(2). Afig que no s'utilisa cap número trencat (fraccions), i el número dels signes, exceptuant el 0, no excedix mai a 9.

Esta notació la va simplificar Joost Bürgi (1552-1632) eliminant la menció a l'orde de les sifres i substituint-ho per un «.» en la part superior de les unitats 372·43, poc despuix Magini (1555-1617) va usar el «.» entre les unitats i les dècimes: 372.43, us que es generalisaria en aparéixer en la Constructio de Napier (1550-1617) de 1619. La «,» també va ser usada al començament de el XVII per l'holandés Willebrord Snellius: 372,43.

El principi d'inducció matemàtica

Artícul principal → Inducció matemàtica.

El seu antecedent és un método de demostració, cridat inducció completa, per aplicació reiterada d'un mateix silogisme que s'estén indefinidament i que va usar Maurolyco (1494-1575) per a demostrar que la suma dels primers $n$ número natural impars és el quadrat de el $n$-ésimo terme, és dir $1+3+5+7+\dots +(2n-1)=n^2$. Pascal (1623-1662) va usar el método d'inducció matemàtica, en la seua formulació abstracta, tal i com ho coneixem hui, per a provar propietats relatives al triàngul numèric que du el seu nom. La demostració per inducció consta sempre de dos parts: el pas base i el pas inductivo, els quals es descriuen a continuació en notació moderna:

Si $S$ és un subconjunt dels número natural (denotat per $\mathbb{N}$) a on cada element $n$ complix la propietat $P(n)$ i es té que:

1. $0$ pertany a $S$.
2. El fet de que $n$ siga un membre de $S$ implica que $n+1$ també ho és.

llavors $S=\mathbb{N}$, és dir que tots els número natural $n$ tenen la propietat $P(n)$.

De manera intuïtiva s'entén l'inducció com un efecte va dominar. Suponent que es té una fila infinita de fiches de va dominar, el pas base equival a tirar la primera ficha; per un atre costat, el pas inductivo equival a demostrar que si alguna ficha cau, llavors la ficha següent també caurà. La conclusió és que es poden tirar totes les fiches d'eixa fila.

L'interpretació geomètrica dels número complejo

Esta interpretació sol ser atribuïda a Gauss (1777-1855) que va fer la seua tesis doctoral sobre el teorema fonamental de l'àlgebra, enunciat per primera volta per Harriot i Girard en 1631, en intents de demostració realisats per D’Alembert, Euler i Lagrange, demostrant que les proves anteriors eren falses i donant una demostració correcta primer per al cas de coeficients, i despuix de complexos. També va treballar en els número entero complexos que adopten la forma $a+bi$, en $a$ i $b$ sancers. Este símbol $i$ per a $\sqrt{-1}$ va ser introduït per primera volta per Euler en 1777 i difòs per Gauss en la seua obra Disquisitiones arithmeticae de 1801.

La representació gràfica dels número complejo havia segut descoberta ya per Caspar Wessel (1745-1818) pero va passar desapercebuda, i aixina el pla dels número complejo es diu «pla de Gauss» a pesar de no publicar les seues idees fins a 30 anys despuix.

Des de l'época de Girard (mitat XVII) es coneixia que els número real es poden representar en correspondència en els punts d'una recta. En identificar ara els complexos en els punts del pla els matemàtics se sentiran cómodos en estos números, vore és creure.

Descobriment dels número trascendente

La distinció entre número irracional algebraics i trascendentes data de el XVIII, en l'época en que Euler va demostrar que $e$ i $e^2$ són irracionals i Lambert que ho és π. Els treballs de Legendre sobre l'hipòtesis de que π podia no ser raïl d'una equació algebraica en coeficients racionals, varen senyalar el camí per a distinguir distints tipos d'irracionals. Euler ya feya esta distinció en 1744 pero caldria esperar casi un sigle per a que s'establira clarament l'existència dels irracionals trascendentes en els treballs de Liouville, Hermite i Lindeman.

Liouville (1809-1882) va demostrar en 1844 que tots els números de la forma $a_1/10+a_2/10^{2!}+a_3/10^{3!}+\mathrm{...}$ (p. eix., 0,101001…) són trascendentes.

Hermite (1822-1901) en una memòria Sobre la funció exponencial de 1873 va demostrar la transcendència de $e$ provant d'una forma molt sofisticada que l'equació: $c_0+c_{1}e+\mathrm{...}+c_n{e}^n=0$ no pot existir.

Lindeman (1852-1939) en la memòria Sobre el número $e$ de 1882 prova que el número i no pot satisfer l'equació: $c_1{e}^x+c_2{e}^x+\mathrm{............}+c_n{e}^x=0$ en $x$ i $c_i$ algebraics, per tant l'equació $e^{ix}+1=0$ no té solució per a x algebraic, pero fent $x=\pi$ tenim $e^{\pi i}+1=0$, llavors $x=\pi i$ no pot ser algebraic i com a i ho és llavors π és transcendent.

El problema 7 de Hilbert (1862-1943) que planteja si $a^b$, en a algebraic distint de zero i d'un, i b irracional algebraic, és transcendent va ser resolt afirmativamente per Gelfond (1906-1968) en 1934. Pero no se sap si són trascendentes o no: $e^e$,$e^{e^e}$, $e^{e^{e^e}}$, … No obstant, i i 1/i sí que són trascendentes.

Teories dels irracionals

Fins a mediats de el XIX els matemàtics s'acontentaven en una comprensió intuïtiva dels números i les seues senzilles propietats no són establides llògicament fins a el XIX. L'introducció del rigor en l'anàlisis va posar de manifest la falta de claritat i l'imprecisió del sistema dels número real, i exigia la seua estructuració llògica sobre bases aritmètiques.

Bolzano havia fet un intent de construir els número real basant-se en successions de número racional, pero la seua teoria va passar desapercebuda i no es va publicar fins a 1962. Hamilton va fer un intent, fent referència a la magnitut temps, a partir de particions de número racional:

si $a=\frac{n_1}{m_1}$,

quan $b=\frac{n_1^2}{m_1^2}$

i si $a=\frac{n_2}{m_2}$

quan $b=\frac{n_2^2}{m_2^2}⟶a=\sqrt{b}$

pero no va desenrollar més la seua teoria.

Pero en el mateix any 1872 cinc matemàtics, un francés i quatre alemans, varen publicar els seus treballs sobre la aritmetisació dels número real:

• Charles Meray (1835-1911) en la seua obra Nouveau précis d’analyse infinitesimale definix el número irracional com un llímit de successions de número racional, sense tindre en conte que l'existència mateixa del llímit presupon una definició de el número real.

• Hermann Heine (1821-1881) va publicar, en el Journal de Crelle en 1872, el seu artícul «Els elements de la teoria de funcions», a on proponia idees similars a les de Cantor, teoria que en conjunt es diu actualment «teorema de Heine-Cantor».

• Richard Dedekind (1831-1916) publica el seu Stetigkeit und irrationale zahlen. La seua idea es basa en la continuïtat de la recta real i en els "forats" que hi ha si solament considerem els número racional. En la secció dedicada al «domini R» enuncia un axioma pel que s'establix la continuïtat de la recta: «cada punt de la recta dividix els punts d'esta en dos classes tals que cada punt de la primera es troba a l'esquerra de cada punt de la segona classe, llavors existix un únic punt que produïx esta divisió». Esta mateixa idea l'utilisa en la secció «creació dels número irracional» per a introduir el seu concepte de «cortadura». Bertrand Russell apuntaria despuix que és suficient en una classe, puix esta definix a l'atra.

• Georg Cantor (1845-1918). Definix els conceptes de: successió fonamental, successió elemental, i llímit d'una successió fonamental, i partint d'ells definix el número real.

• Karl Weierstrass (1815-1897). No va aplegar a publicar el seu treball, continuació dels de Bolzano, Abel i Cauchy, pero va ser conegut per les seues ensenyances en l'Universitat de Berlín. La seua caracterisació basada en els «intervals encaixats», que poden contraure's a un número racional pero no necessàriament ho fan, no és tan generalisable com les anteriors, pero proporciona fàcil accés a la representació decimal dels número real.

#Àlgebra hipercomplejas

La construcció d'obtenció dels número complejo a partir dels número real, i la seua conexió en el grup de transformacions afins en el pla va sugerir a alguns matemàtics atres generalisacions similars conegudes com números hipercomplejos. En totes estes generalisacions els número complejo són un subconjunt d'estos nous sistemes numèrics, encara que estes generalisacions tenen l'estructura matemàtica d'àlgebra sobre un cos, pero en ells l'operació de multiplicació no és conmutativa.

Teoria de conjunts

AP La teoria de conjunts va sugerir moltes i variades formes d'estendre els número natural i els número real de formes diferents a com els número complejo estenien al conjunt dels número real. L'intent de capturar l'idea de conjunt en un número no finit d'elements va dur a l'aritmètica de números transfinitos que generalisen als naturals, pero no als número entero. Els números transfinitos varen ser introduïts per Georg Cantor cap a 1873.

Els números hiperreales usats en l'anàlisis no estàndar generalisen als reals pero no als número complejo (encara que admeten una complejificació que generalisaria també als número complejo). Encara que sembla els números hiperreales no proporcionen resultats matemàtics interessants que vagen més allà dels obtenibles en l'anàlisis real, algunes demostracions i proves matemàtiques semblen més simples en el formalisme dels números hiperreales, per lo que no estan exents d'importància pràctica.

Socialment

• Els número natural per la necessitat de contar.
• Els número fraccionario per la necessitat de medir parts d'un tot, i compartir.

• Els sancers negatius per fenomens de doble sentit: esquerra-dreta, dalt-avall, pèrdua-guany.
• Els número real per la necessitat de medir segments.
• Els número complejo per exigències de resoldre equacions algebraiques, com el cas de la cúbiques o de x² + 1 = 0.

Sistemes de representació dels números

Sifra, dígit i numeral

Artícul principal → sifra (matemàtica).

Una de les formes més freqüents de representar números per escrit consistix en un «conjunt finit de símbols» o dígits que, adequadament combinats, permeten formar sifres que funcionen com a representacions de números (quan una seqüència específica de signes s'ampra per a representar un número li la crida numeral, encara que una sifra també pot representar simplement un còdic identificativo).

Base numèrica

Artícul principal → Base (aritmètica).

Tant les llengües naturals com la major part de sistemes de representació de números per mig de sifres, usen un inventari finit d'unitats per a expressar una cantitat molt major de números. Una manera important de conseguir això és l'us d'una base aritmètica en eixos sistemes un número s'expressa en general per mig de suma o multiplicació de números. Els sistemes purament aritmètics recorren a bases a on cada signe rep una interpretació diferent segons la seua posició. Aixina en el següent numeral aràbic (base 10):

El <8> per estar en última posició representa unitats, el <6> representa decenes, el <5> centenes, el <3> millers i el <1> decenes de millers. És dir, eixe numeral representara el número:

Moltes llengües del món usen una base decimal, igual que el sistema aràbic, encara que també és freqüent que les llengües usen sistemes vigesimales (base 20). De fet l'idea d'usar un número finit de dígits o signes per a representar números arbitrariamente grans funciona per a qualsevol base b, a on b és un número entero major o igual que 2. Els ordenadors freqüentment usen per a les seues operacions la base binaria (b = 2), i per a certs usos també s'ampra la base octal (b = 8 ) o hexadecimal (b = 16). La base coincidix en el número de signes primaris, si un sistema posicional té b símbols primaris que designarem per $\{0,1,2\dots ,b-1\}$, el numeral:

Designarà al número:

Números en les llengües naturals

Artícul principal → Numeral (llingüística).

Les llengües naturals usen noms o numerals per als números freqüentment basats en el contaje per mig de dits, raó per la qual la majoria de les llengües usen sistemes de numeració en base 10 (dits de les mans) o base 20 (dits de mans i peus), encara que també existixen alguns sistemes exòtics que ampren atres bases.

Vore també

• Sistema de numeració
• Sifra
• Anex:Números
• Anex:Noms dels números en espanyol

Enllaços externs

• Número en Viquidites.
• Commons
• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Número.