Logaritmo natural

Logaritmo natural

En matemàticas, es denomina Logaritmo Natural al logaritmo que la seua base és el número i, un número irracional el valor aproximat del qual és $2.718281828459$. El logaritmo natural sol denotar-se per $\ln (x)$ o com ${\log }_e(x)$, i en alguns casos, si la base $e$ està implícita, com $\log (x)$.

El logaritmo natural d'un número $x$ és la potència a la qual el número $e$ deu ser elevat per a ser igual a $x$. Per eixemple, $\ln (7.5)$ és $2.0149\dots$ puix $e^{2.0149\dots }=7.5$. El logaritmo natural de $e$ és $1$ puix $e^1=e$, mentres que el logaritmo natural de $1$ és $0$ puix $e^0=1$.

Des del punt de vista analític, el logaritmo natural pot definir-se per a qualsevol número real positiu $a>0$ com l'àrea baixe la curva $y=1/x$ entre les rectes $x=1$ i $x=a$. La senzillea d'esta definició és la que justifica la denominació de «natural» per al logaritmo en esta base concreta. Esta definició pot estendre's als número complejo.

El logaritmo natural és una funció real en domini de definició els número real positius:

$\text{ln}:{ℝ}^{+}\to ℝ$

i correspon a la funció inversa de la funció exponencial natural:

$e^{\text{ln}x}=x\text{, para todo }x>0$

$\text{ln}(e^x)=x$

La funció inversa del logaritmo natural és la funció exponencial.

Història

La primera menció del logaritmo natural va ser donada per Nikolaus Mercator en el seu treball Logarithmotechnia publicat en 1668, a pesar de que el professor de matemàtiques John Speidell que ya ho havia fet en 1619 recopilant una taula sobre valors del logaritmo natural. Va ser cridat formalment com logaritmo hiperbòlic, posat que els seus valors corresponien en els de l'àrea trobada baix la hipérbola. A voltes també es referix al logaritmo neperiano, a pesar de que el significat original d'este terme és llaugerament diferent.

Orige del terme logaritmo natural

Inicialment, i des de que el sistema decimal es va convertir en el sistema de numeració més comuna, podria semblar que la base 10 anara més «natural» que la base i. Pero matemàticament, el número 10 no és particularment significatiu. El seu us cultural —com a base numèrica per a moltes societats— provablement sorgix del típic número de dits humans. Atres cultures varen basar les seues sistemes de numeració elegint diverses bases com 5, 8, 12, 20, i 60.

log_i és el logaritmo «natural» perque automàticament sorgix, i apareix més comunament, en matemàtiques. Per eixemple, considerem el problema de derivar una funció logarítmica:

$\frac{d}{dx}{\log }_b(x)=\frac{d}{dx}(\frac{1}{\ln (b)}\ln x)=\frac{1}{\ln (b)}\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x\ln (b)}$

Si la base $b$ és igual a $e$, llavors la derivada és simplement $1/x$, i en $x=1$ esta derivada és igual a 1. Una atra raó per la qual el logaritmo de base -i- és el més natural és que pot ser definit molt fàcilment en térmens d'una integral o per séries de Taylor i açò no seria tan senzill si el logaritmo fòra d'una atra base.

Sentits adicionals d'esta naturalitat no fan us del càlcul. Com a eixemple, tenim un número de séries simples relacionades en el logaritmo natural. Ademés de que Pietro Mengoli i Nicholas Mercator ho varen cridar logarithmus naturalis unes décades ans que Newton i Leibniz desenrollaren el càlcul.

Vore també

• Logaritmo
• Logaritmo complex
• Funció exponencial

Bibliografia

• "Cálculus" (Volum I). Tom M. Apostol. Segona edició, 1991. Editorial Reverté, S.A. ISBN 84-291-5002-1