Sistema de numeració decimal

Per a atres usos d'este terme vore Sistema decimal (desambiguación).

El sistema de numeració decimal és un sistema de numeració posicional en el que les cantitats es representen utilisant com base aritmètica el número dèu. El conjunt de símbols utilisat (sistema de numeració aràbiga) es compon de dèu sifres: zero (0), u (1), dos (2), tres (3), quatre (4), cinc (5), sis (6), sèt (7), huit (8) i nou (9).

Llevat en certes cultures, és el sistema usat habitualment en tot lo món i en totes les àrees que requerixen d'un sistema de numeració.

Un número decimal (també a sovint simplement decimal o, menys correctament, número decimal), es referix generalment a la notació d'un número en el sistema numèric decimal. Els decimals poden identificar-se a voltes en un separador decimal (normalment "." o "," com en $25.9703$ o $3,1415$ ).^[1] Decimal també pot referir-se específicament als dígits despuix del separador decimal, com en " $3.14$ és l'aproximació de π a dos decimals". Els dígits zero despuix del separador decimal servixen per a indicar la precisió d'un valor.

Els números que poden representar-se en el sistema decimal són les fraccions decimals. És dir, fracciones de la forma $a /10 n$ , a on $a$ és un número entero, i $n$ és un número entero no negatiu.

El sistema decimal s'ha estés a decimals infinits per a representar qualsevol número real, per mig de l'us d'una seqüència infinita de dígits despuix del separador decimal (vejau representació decimal). En este context, els número decimal en un número finito de dígits distints de zero despuix del separador decimal es denominen a voltes decimals terminals. Un decimal repetitiu és un decimal infinit que, despuix d'algun lloc, repetix indefinidament la mateixa seqüència de dígits (per eixemple, $5.123144144144144... = 5.123 Plantilla:Overline$ ).()

Un decimal infinit representa un número racional, el cocient de dos sancers, si i només si és un decimal que es repetix o té un número finito de dígits distints de zero.

Orige

Molts sistemes numèrics de civilisacions antigues utilisen el dèu i les seues potències per a representar números, possiblement perque hi ha dèu dits en les dos mans i les persones varen escomençar a contar utilisant els dits. Alguns eixemples són, en primer lloc, els numerals egipcíacs, després els numerals brahmi, els numerals grecs, els numerals hebreus, els numerals romans i els numerals chinencs. Els números molt grans eren difícils de representar en estos antics sistemes numèrics, i només els millors matemàtics eren capaços de multiplicar o dividir números grans. Estes dificultats es varen resoldre completament en l'introducció del sistema numèric hindú-àrap per a representar número entero. Este sistema s'ha estés per a representar alguns números no sancers, cridats fraccions decimals o número decimal, per a formar el sistema numèric decimal.

Notació decimal

Per a número entero

En ser posicional, el sistema decimal és un sistema de numeració en el qual el valor de cada dígit depén de la seua posició dins del número. Per a número entero, començant de dreta a esquerra, el primer dígit li correspon el lloc de les unitats, de manera que el dígit es multiplica per 10⁰ (és dir 1) ; el següent dígit correspon a les decenas (es multiplica per 10¹=10); el següent a les centenas (es multiplica per 10²=100); el següent a les unitats de miller (es multiplica per 10³=1000) i aixina successivament, nomenant-se est segons la seua posició seguint l'escala numèrica corresponent (llarga o curta). El valor del número entero és la suma dels dígits multiplicats per les corresponents potències de dèu segons la seua posició.

Com a eixemple, el número 17350:

\begin{matrix} 17 350 & = & 1 \cdot 10 000 & + & 7 \cdot 1 000 & + & 3 \cdot 100 & + & 5 \cdot 10 & + & 0 \cdot 1 \\ = & 1 \cdot 1 0^{4} & + & 7 \cdot 1 0^{3} & + & 3 \cdot 1 0^{2} & + & 5 \cdot 1 0^{1} & + & 0 \cdot 1 0^{0} \end{matrix}

Per a representar un número no negatiu, un número decimal consistix en o be una seqüència (finita) de dígits (com "2017"), a on la seqüència completa representa un número entero:

$a_{m} a_{m - 1} \dots a_{0}$

o una marca decimal que separa dos seqüències de dígits (com "20,70828")

a_{m} a_{m - 1} \dots a_{0} . b_{1} b_{2} \dots b_{n}

.

Si $m > 0$ , és dir, si la primera seqüència conté a lo manco dos dígits, se sol supondre que el primer dígit $a m$ no és zero. En algunes circumstàncies pot ser útil tindre un o més 0 a l'esquerra; açò no canvia el valor representat pel decimal: per eixemple, $3,14 = 03,14 = 003,14$ . De la mateixa manera, si l'últim dígit a la dreta de la marca decimal és zero, és dir, si $b n = 0$ , pot eliminar-se; a l'inversa, poden afegir-se zeros despuix de la marca decimal sense canviar el número representat; A voltes, els zeros adicionals s'utilisen per a indicar l'exactitut d'una mida. Per eixemple, "15,00 m" pot indicar que l'error de medició és inferior a un centímetro (0,01 m), mentres que "15 m" pot significar que la llongitut és d'aproximadament quinze metros i que l'error pot superar els 10 centímetros. Per eixemple, $15 = 15,0 = 15,00$ i $5,2 = 5,20 = 5,200$ .

Per a representar un número negatiu, s'antepon un signe menys a $a m$ .

El numeral $a_{m} a_{m - 1} \dots a_{0} . b_{1} b_{2} \dots b_{n}$ representa el número

a_{m} 1 0^{m} + a_{m - 1} 1 0^{m - 1} + \dots + a_{0} 1 0^{0} + \frac{b_{1}}{1 0^{1}} + \frac{b_{2}}{1 0^{2}} + \dots + \frac{b_{n}}{1 0^{n}}

.

La part sancera o part integral d'un número decimal és l'número entero escrit a l'esquerra del separador decimal (vejau també truncació). Per a un número decimal no negatiu, és el major sancer que no és major que el decimal. La part des del separador decimal cap a la dreta és la part fraccionaria, que és igual a la diferència entre el numeral i la seua part sancera.

Quan la part integral d'un numeral és zero, pot ocórrer, típicament en informàtica, que no s'escriga la part sancera (per eixemple, $.1234$ , en lloc de $0.1234$ ). En l'escritura normal, açò sol evitar-se, pel risc de confusió entre el signe decimal i atres signes de puntuació.

En resum, la contribució de cada dígit al valor d'un número depén de la seua posició en el numeral. És dir, el sistema decimal és un sistema numèric posicional.

Per a números no sancers

Es pot estendre este método per als decimals, utilisant les potències negatives de dèu, i un separador decimal entre la part sancera i la part fraccionaria, que queda a la dreta. En este cas, el primer dígit a la dreta del separador decimal correspon a les dècimes (es multiplica per 10^-1=0,1); el següent a les centèsimes (es multiplica per 10^-2=0,01); el següent a les milèsimes (es multiplica per 10^-3=0,001) i aixina successivament, nomenant-se estos segons la seua posició, utilisant el partitivo decimal corresponents.

Com a eixemple, prenga's el número 1,0243:

\begin{matrix} 1, 0243 & = & 1 \cdot 1 & + & 0 \cdot 0, 1 & + & 2 \cdot 0, 01 & + & 4 \cdot 0, 001 & + & 3 \cdot 0, 0001 \\ = & 1 \cdot 1 0^{0} & + & 0 \cdot 1 0^{- 1} & + & 2 \cdot 1 0^{- 2} & + & 4 \cdot 1 0^{- 3} & + & 3 \cdot 1 0^{- 4} \end{matrix}

Per a número real

Qualsevol número real té una representació decimal (possiblement infinita) combinant les dos representacions anteriors de potències positives i negatives de 10, de manera que pot ser escrit com

x = s i g n \sum_{i \in ℤ} a_{i} 1 0^{i}

a on

sign ∈ {+,−}, que està relacionat en la funció signe,
ℤ és el conjunt de tots els sancers (positius, negatius i zero), i

a_i ∈ { 0,1,...,9 } per a tot i ∈ ℤ són els seus dígits decimals, iguals a zero per a tot i major que algun número (aquell número que és el logaritmo decimal de |x|).

Tal sumixca convergix a l'número real quant més i més valors de i negatius siguen inclosos, inclús si hi ha infinits térmens a_i distints de zero.

Normativa d'escritura en l'idioma espanyol

Per al separador decimal, la Real Acadèmia Espanyola (RAER) aconsella:

Per a separar la part sancera de la decimal deu usar-se la menge, segons establix la normativa internacional: El valor de π és 3,1416. No obstant, també s'admet l'us anglosaxó del punt, estés en alguns països americans: El valor de π és 3.1416.

Diccionari Panhispánico de Dubtes - Primera edició (octubre de 2005)

En Espanya la menge alta ( ' ) com separador està erradicada, i és considerada una falta d'ortografia.

Com separador de millers, antigament s'utilisava un punt, un subíndex 1 com separador de millons, un subíndex 2 com separador de billons, 3 de trillons, etc. Actualment esta escritura està erradicada. Deu escriure's agrupant-los cada tres dígits (exceptuant números de 4 sifres):

En escriure números de més de quatre sifres, s'agruparan estes de tres en tres, escomençant per la dreta, i separant els grups per espais en blanc: 8 327 451 (i no per punts o menges, com, depenent de les zones, es feya fins ara: 8.327.451; 8,327,451). Els números de quatre sifres s'escriuen sense espais de separació: 2458 (no 2 458). En cap cas deuen repartir-se en llínees diferents les sifres que componen un número: 8 327 / 451.

Diccionari panhispánico de dubtes - Primera edició (octubre 2005)

Vore en el BOE el Real Decret 2032/2009, de 30 de decembre, pel que s'establixen les unitats llegals de mida.

Vore també: Noms dels números en espanyol i Escales numèriques llarga i curta

Escritura decimal

Artícul principal → Número decimal.

En el sistema de numeració posicional de base dèu, els números que no són sancers, és dir, els números en part fraccionaria tenen una representació en forma d'número decimal. Sense contar les seqüències recurrents de la forma 0,999…, l'escritura és única i pot ser de dos tipos:^[2]

n \overset{´}{u} m e r o {\begin{matrix} e n t e r o \\ d e c i m a l {\begin{matrix} r a c i o n a l {\begin{matrix} e x a c t o \\ p e r i \overset{´}{o} d i c o {\begin{matrix} p u r o \\ m i x t o \end{matrix} \end{matrix} \\ i r r a c i o n a l \end{matrix} \end{matrix}

Esta llei de tricotomia apareix en tot sistema de notació posicional en base sancera n, i inclús es pot generalisar a bases irracionals, com la base áurea.

Aixina, les fraccions irreducibles el denominador de les quals conté factors primers que factorizan a 10 (2 i 5), té una representació finita. Si contenen factors primers distints d'aquells que factorizan a 10, no tenen representació finita: la part fraccionaria presentarà un periodo de recurrencia pura quan no hi haja cap factor primer en comú en la base, i recurrencia mixta (aquella en la que hi ha dígits al començ que no formen part del periodo) quan hi haja a lo manco un factor primer en comú en la base. Si conté un desenroll illimitat no periòdic, esta representació correspon a un número irracional.

Computació decimal

La majoria dels sistemes d'hardware i software informàtics moderns solen utilisar internament un representació binaria (encara que molts dels primers ordenadors, com l'ENIAC o l'IBM 650, utilisaven internament la representació decimal).^[3] Per a us extern d'especialistes en informàtica, esta representació binaria es presenta a voltes en els sistemes octal o hexadecimal relacionats.

Per a la majoria dels propòsits, no obstant, els valors binarios es convertixen a o des dels valors decimals equivalents per a la seua presentació a o entrada dels sers humans; programes d'ordenador expressen lliterals en decimal per defecte. (123,1, per eixemple, s'escriu aixina en un programa informàtic, encara que molts llenguages informàtics són incapaços de codificar eixe número en precisió).

Tant l'hardware com el software dels ordenadors utilisen també representacions internes que són efectivament decimals per a almagasenar valors decimals i realisar operacions aritmètiques. A sovint esta aritmètica es realisa sobre senyes codificades utilisant alguna variant del decimal codificat en binario,^[4]^[5] especialment en implementacions de bases de senyes, pero hi ha atres representacions decimals en us (incloent menge flotant decimal com en les revisions més recents del IEEE 754 Standard for Floating-Point Arithmetic).^[6]

L'aritmètica decimal s'utilisa en els ordenadors per a que els resultats fraccionarios decimals de sumar (o restar) valors en una llongitut fixa de la seua part fraccionaria sempre es calculen en esta mateixa llongitut de precisió. Açò és especialment important per als càlculs financers, per eixemple, que requerixen en els seus resultats múltiples sancers de l'unitat monetària més chicoteta a efectes contables. ¡Açò no és possible en binario, perque les potències negatives de $10$ no tenen representació fraccionaria binaria finita; i és generalment impossible per a la multiplicació (o divisió).^[7]^[8]

Història

Segons els antropòlecs, l'orige del sistema decimal està en els dèu dits que tenen els hòmens en les mans que sempre han servit com a base per a contar.

També existixen alguns vestigis de l'us d'atres sistemes de numeració, com el quinario, el duodecimal i el vigesimal.

El desenroll de les sifres de l'un al nou, es va fer en l'Índia segons les Inscripcions De Nana Ghat en el III sense sistema de posició d'elles. açò últim fa la seua primera aparició en el 458 en el document Lokavibhaga, un tractat de cosmologia escrit en sánscrito. Apareix el número 14 236 713 i el zero, el buit a on ocupen la paraula sunya.

Més vesprada este sistema ho prenen els àraps canviant l'aspecte de les sifres anomenades ghobar en les sifres que usem hui 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0.

**Cronologia**
Any	Acontenyiment
III mileni a. C.	Els egipcíacs utilisen un sistema decimal no posicional. Atres cultures de mesopotamia (Sumer, Babilonia, ...) utilisaven un sistema posicional sexagesimal.
Abans de 1350	els chinencs.
cap a -600	els etruscs
cap a -500	Registres en sánscrito.
	La civilisació maya

Numeracions decimals

El sistema decimal és el més comú. Per eixemple, les numeracions:

Vore també

Referències

↑ Weisstein, Eric W.. «Punt decimal» (en és).
↑ (2004) «10.1 Número decimal», MAD-Eduforma (ed.). Matematicas - Prova Especifica. Prova d'Accés a l'Universitat Per a Majors de 25 Anys, Sevilla: MAD-Eduforma, pp. 23-24. ISBN 846651788X.
↑ "¿Dits o punys? (The Choice of Decimal or Binary Representation)", Werner Buchholz, Communications of the ACM, Vol. 2 #12, pp. 3-11, ACM Press, decembre de 1959.
↑ Schmid. Computació decimal, 1 (reimpressió) edició, Malabar, Florida: Robert I. Krieger Publishing Company. ISBN 0-89874-318-4.
↑ Computació decimal, 1st edició, Binghamton, New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-76180-X.
↑ Decimal Floating-Point: Algorism for Computers, Cowlishaw, Mike F., Proceedings 16th IEEE Symposium on Computer Arithmetic, Plantilla:Isbn, pp. 104-11, IEEE Comp. Soc., 2003
↑ «Aritmètica decimal - FAQ<! -- Bot generated title -->».
↑
Decimal Floating-Point: Algorism for Computers
- Archivat el 16 de novembre de 2003 archivat en Wayback Machine., Cowlishaw, M. F., Proceedings 16th IEEE Symposium on Computer Arithmetic (ARITH 16 [1] archivat en Wayback Machine.), Plantilla:Isbn, pp. 104-11, IEEE Comp. Soc., juny de 2003

Bibliografia

Enllaços externs

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Sistema de numeración decimal» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[:1-1] Weisstein, Eric W.. «Punt decimal» (en és).

[2] (2004) «10.1 Número decimal», MAD-Eduforma (ed.). Matematicas - Prova Especifica. Prova d'Accés a l'Universitat Per a Majors de 25 Anys, Sevilla: MAD-Eduforma, pp. 23-24. ISBN 846651788X.

[3] "¿Dits o punys? (The Choice of Decimal or Binary Representation)", Werner Buchholz, Communications of the ACM, Vol. 2 #12, pp. 3-11, ACM Press, decembre de 1959.

[Schmid_1983-4] Schmid. Computació decimal, 1 (reimpressió) edició, Malabar, Florida: Robert I. Krieger Publishing Company. ISBN 0-89874-318-4.

[Schmid_1974-5] Computació decimal, 1st edició, Binghamton, New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-76180-X.

[6] Decimal Floating-Point: Algorism for Computers, Cowlishaw, Mike F., Proceedings 16th IEEE Symposium on Computer Arithmetic, Plantilla:Isbn, pp. 104-11, IEEE Comp. Soc., 2003

[7] «Aritmètica decimal - FAQ<! -- Bot generated title -->».

[8] Decimal Floating-Point: Algorism for Computers
Archivat el 16 de novembre de 2003 archivat en Wayback Machine., Cowlishaw, M. F., Proceedings 16th IEEE Symposium on Computer Arithmetic (ARITH 16 [1] archivat en Wayback Machine.), Plantilla:Isbn, pp. 104-11, IEEE Comp. Soc., juny de 2003

[9] Archivat el 16 de novembre de 2003 archivat en Wayback Machine., Cowlishaw, M. F., Proceedings 16th IEEE Symposium on Computer Arithmetic (ARITH 16 [1] archivat en Wayback Machine.), Plantilla:Isbn, pp. 104-11, IEEE Comp. Soc., juny de 2003

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]