Part fraccionaria

Tot número real x pot escriure's en la forma n+r a on n és la part sancera de x, i r és un número real no negatiu menor que 1, denominat la part fraccionaria o part fraccional de x.

Archiu:Función Cu M.svg

Si x és un número positiu escrit en notació decimal, llavors la part fraccionaria correspon als dígits que apareixen despuix del dígit decimal, pero esta equivalència no és vàlida per als números negatius.

De forma més precisa, es definix la part fraccionaria d'un número real x com:

a on $\lfloor \rfloor$ representa la funció chafe. En ocasions també s'usa la notació $⟨x⟩$ o $xmod1$ per a representar a la part fraccionaria.

Eixemples

• Si $x=3.14$, llavors la part fraccionaria de x és: $\{3.14\}=3.14-\lfloor 3.14\rfloor =3.14-3=0.14$.

• Si $x=8$, llavors la part fraccionaria de x és: $\{8\}=8-\lfloor 8\rfloor =8-8=0$.

• Si $x=-8.21$, llavors la part fraccionaria de x és: $\{-8.21\}=-8.21-\lfloor -8.21\rfloor =-8.21-(-9)=0.79$.

Propietats

En estar definida en térmens de la funció chafe, la part fraccionaria compartix moltes propietats semblants.

• $\{x+n\}=\{x\}$ per a qualsevol número entero n.
• $\{\{x\}\}=\{x\}$ (idempotencia).
• $\{-x\}=1-\{x\}$ si x no és sancer, $\{n\}=0$ per a qualsevol sancer n.
• $\{x\}$ és una funció discontínua per parts i inferiorment semicontinua.

La funció chafe és periòdica i posseïx una expansió en série de Fourier al voltant de valors no sancers:

• $\{x\}=\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (2\pi kx)}{k}$ si x no és un número entero.

Vore també

• Funció definida a trossos

• Funció escaló de Heaviside
• Funció rectangular
• Funció escalonada

• Funció identitat
• Funció signe
• Valor absolut
• Funció rampa
• Funcions de part sancera
• Mantissa