Valor absolut

Archiu:AbsoluteValueDiagram.svg

Valor absolut

En matemàtiques, el valor absolut o mòdul d'un número real $x$, denotat per $|x|$, és el valor de $x$ sense considerar el signe, siga este positiu o negatiu. Per eixemple, el valor absolut de $3$ és $3$ i el valor de $-3$ és $3$. Alguns autors estenen la noció de valor absolut als número complejo, a on el valor absolut coincidix en el mòdul.

El valor absolut està vinculat en les nocions de magnitut, distància i norma en diferents contexts matemàtics i físics. El concepte de valor absolut d'un número real pot generalisar-se a molts atres objectes matemàtics, com són els cuaterniones, anells ordenats, cossos o espais vectorials.

Archiu:Absolute value.svg

Gràfica de la funció valor absolut.

Definició

Número real

Per a qualsevol número real $x$, el valor absolut o mòdul de $x$ es denota per $|x|$ i es definix com:

$|x|=\{\begin{array}{ccc}x,& \text{si}& x\ge 0\\ -x,& \text{si}& x<0\end{array}$

El valor absolut de $x$ és sempre un número positiu o zero pero mai negatiu: quan $x$ és un número negatiu $(x<0)$ llavors el seu valor absolut és necessàriament positiu $(|x|=-x>0)$.

Des d'un punt de vista geomètric, el valor absolut d'un número real pot vore's com la distància que existix entre eixe número i el zero. De manera general, el valor absolut de la diferència entre dos números és la distància entre ells.

Propietats

El valor absolut té les següents quatre propietats fonamentals, considere $a,b\in ℝ$ llavors

$\begin{array}{ccc}& |a|\ge 0& \text{No-negatividad}\\ & |a|=0⟺a=0& \text{Definición positiva}\\ & |ab|=|a||b|& \text{Propiedad multiplicativa}\\ & |a+b|\le |a|+|b|& \text{Desigualdad triangular}\end{array}$

Atres propietats útils són les següents

$\begin{array}{cc}& ||a||=|a|\\ & |-a|=|a|\\ & |a-b|=0⟺a=b\\ & |a-b|\le |a-c|+|c-b|\\ & \left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}\text{si }b\ne 0\\ & |a-b|\ge ||a|-|b||\end{array}$

estes són conseqüència de la definició o de les primeres quatre propietats.

Atres dos propietats que utilisen desigualtats són

$\begin{array}{cc}& |a|\le b⟺-b\le a\le b\\ & |a|\ge b⟺a\le -b\text{o}a\ge b\end{array}$

Estes relacions poden ser utilisades per a resoldre desigualtats que involucren el valor absolut, per eixemple:

$\begin{array}{cc}|x-3|\le 9& ⟺-9\le x-3\le 9\\ & ⟺-6\le x\le 12\end{array}$

Definició equivalent

Si $x$ és un número real, el seu valor absolut és un número real no negatiu definit de les dos següents maneres:

1. $|x|=\sqrt{x^2}$
2. $|x|$ és igual al màxim de $\{-x,x\}$.

Relació en les funcions pares

Una aplicació important del valor absolut succeïx quan es troba dins d'una funció parell. És dir: $f(x)=f(|x|)$ Si i solament si, se sap que $f$ és una funció parell. Per eixemple:

1. $\cos (|x|)=\cos (x)$
2. $\cosh (|x|)=\cosh (x)$
3. $\sec (|x|)=\sec (x)$
4. $|x{|}^2=x^2$

Funció Valor absolut

La funció real valor absolut es definix sobre el conjunt de tots els número real assignant a cada número real el seu respectiu valor absolut.

Formalment, el valor absolut de tot número real $x$ està definit per:

$\begin{array}{cc}||:ℝ& \to {ℝ}^{+}\cup \{0\}\\ x& \mapsto |x|\end{array}$

que sol expressar-se com:

$\text{abs}(x)=|x|=\{\begin{array}{ccc}x,& \text{si}& x\ge 0\\ -x,& \text{si}& x<0\end{array}$

Per definició, el valor absolut de $x$ sempre serà major o igual que zero i mai negatiu.

Esta funció és contínua en tota la recta real i és diferenciable en $ℝ$ menys en $x=0$.

Relació en la funció signe

La funció real valor absolut d'un número real torna el seu valor sense considerar el signe mentres que la funció signe torna el signe d'un número sense considerar el seu valor. Les següents equacions mostren la relació entre estes dos funcions:

$|x|=x\mathrm{sgn}(x)$

o

$x=|x|\mathrm{sgn}(x)$

Derivada

La funció real valor absolut té derivada per a cada $x\ne 0$ pero no és diferenciable en $x=0$. La seua derivada, per a $x\ne 0$, està donada per la següent funció

$\frac{d}{dx}|x|=\frac{x}{|x|}=\{\begin{array}{cc}-1& x<0\\ 1& x>0\end{array}$

Per a $x\ne 0$ la derivada de la funció valor absolut és la funció signe

$\frac{d}{dx}|x|=\mathrm{sgn}x$

Antiderivada

l'antiderivada (integral indefinida) de la funció real valor absolut és

$\int |x|dx=\frac{x|x|}{2}+C$

a on $C$ és una constant d'integració arbitrària.

Vore també

• Norma vectorial

Referències i notes

Bibliografia

• Nahin, Paul J.; An Imaginary Tale; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1
• Plantilla:Obra citada/núcleo.
• Schechter, Eric; Handbook of Analysis and Its Foundations, pp 259-263, "Absolute Values", Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8
• Absolute Value en MathWorld.
• Plantilla:PlanetMath

Enllaços externs

Commons

• Archiu:Commons-logo.svg Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Valor absolut.