Anell ordenat

En àlgebra abstracta, un anell ordenat és una classe d'anell que complix una relació binaria d'orde total.

Els anells ordenats són estructures algebraiques pròpies dels conjunts de números més comuns. Alguns eixemples inclouen els sancers, els racionals i els reals. (Els racionals i els reals són, de fet, cossos ordenats). Per un atre costat, els número complejo no formen un anell ordenat (o cos).

Definicions

Estrictament,un anell ordenat és un anell conmutativo $R$ en un orde total $\le$ tal que

• si $a\le b$ i $c\in R$, llavors $a+c\le b+c$

• si $0\le a$ i $0\le b$, llavors $0\le ab$

Análogamente en els números ordinaris, diem que un element c d'un anell ordenat és positiu si $0\le c,c\ne 0$ i negatiu si $c\le 0,c\ne 0$. El conjunt dels elements positius en un anell $R$ sol ser denotat per $R_{+}$.

Si $a$ és un element d'un anell ordenat $R$, llavors el valor absolut de $a$, denotat per $|a|$, es definix de la següent forma:

$|a|:=\{\begin{array}{cc}a,& \text{si }0\le a\\ -a,& \text{en otro caso}\end{array}$

a on $-a$ és l'opost de $a$ i $0$ és l'element neutre.

Propietats bàsiques

Si $a\le b$ i $0\le c$, llavors $ac\le bc.$ Esta propietat, a voltes, s'utilisa per a definir anells ordenats en lloc de la segona propietat en la definició de més dalt. Si $a,b\in R$, llavors $|ab|=|a||b|.$ Un anell ordenat no trivial és infinit. Si $a\in R$, llavors o $a\in R_{+}$, o $-a\in R_{+}$, o $a=0.$ Esta propietat es deriva del fet que els anells ordenats són abelianos, en orde total respecte la suma. Un anell ordenat $R$ no té divisores de zero si i solament si $R_{+}$ és tancat respecte el producte, és dir, $ab$ és positiu si abdós $a$ i $b$ són positius.