Integració indefinida

El camp vectorial definit assigna un vector (1,f(x)) a cada punt $(x,y)$ del pla a on $f(x)=x^2-x-2$. Es mostren tres curves de les infinites possibles curves primitives de $f$ que es poden obtindre variant la constant d'integració.

En càlcul infinitesimal, la funció primitiva o antiderivada d'una funció f és una funció F que la seua derivada és f, és dir, F ′ = f.

Una condició suficient per a que una funció f admeta primitives sobre un interval és que siga contínua en dit interval.

Si una funció f admet una primitiva sobre un interval, admet una infinitat, que diferixen entre sí en una constant: si F₁ i F₂ són dos primitives de f, llavors existix un número real C, tal que F₁ = F₂ + C. A C se li coneix com constant d'integració. Com a conseqüència, si F és una primitiva d'una funció f, el conjunt de les seues primitives és F + C. A dit conjunt se li crida integral indefinida de f i es representa com:

$\int f$   o be   $\int f(x)dx$

El procés de trobar la primitiva d'una funció es coneix com a integració indefinida i és per tant l'invers de la derivació. Les integrals indefinides estan relacionades en les integrals definides a través del teorema fonamental del càlcul, i proporcionen un método senzill de calcular integrals definides de numeroses funcions.

Eixemple

Una primitiva de la funció $f(x)=\cos (x)$ en $ℝ,$ és la funció $F(x)=\sin (x)$ ya que:

Ya que la derivada d'una constant és zero, tindrem que cos(x) tindrà un número infinit de primitives tals com sense(x), sense(x) + 5, sense(x) - 100, etc. És més, qualsevol primitiva de la funció f(x) = cos(x) serà de la forma sense(x) + C a on C és una constant coneguda com constant d'integració.

Constant d'integració

Artícul principal → Constant d'integració.

La derivada de qualsevol funció constant és zero. Una volta que s'ha trobat una primitiva F, si se li sumixca o resta una constant C, s'obté una atra primitiva. Açò ocorre perque (F + C) ' = F ' + C ' = F ' + 0 = F '. La constant és una manera d'expressar que cada funció té un número infinit de primitives diferents.

Per a interpretar el significat de la constant d'integració es pot observar el fet de que la funció f (x) és la derivada d'una atra funció F (x), és dir, que per a cada valor de x, f (x) li assigna la pendent de F (x). Si es dibuixa en cada punt (x, i) del pla cartesiano un chicotet segment en pendent f (x), s'obté un camp vectorial com el que es representa en la figura superior d'este artícul. Llavors el problema de trobar una funció F (x) tal que la seua derivada siga la funció f (x) es convertix en el problema de trobar una funció de la gràfica de la qual, en tots els punts siga tangente als vectores del camp. En la figura superior d'este artícul s'observa com en variar la constant d'integració s'obtenen diverses funcions que complixen esta condició i són translacions verticals unixques d'unes atres.

Vore també

• Integració
• Integral definida
• Integració simbòlica
• Anex:Integrals