Integració simbòlica

En el càlcul, la integració simbòlica és el problema de trobar una fòrmula per a l'antiderivada, o integral indefinida, d'una funció, f(x), és dir, trobar la funció diferenciable F(x) de tal manera que:

$\frac{dF}{dx}=f(x).$

Açò també s'escriu com:

$F(x)=\int f(x)dx.$

Discussió

El terme simbòlic s'usa per a distinguir este problema de l'integració numèrica, en a on el valor de F d'una certa abscissa o cert conjunt d'abscisses, en lloc d'una fòrmula general per a F, es busca.

Abdós problemes tenien importància pràctica i teorética abans de l'edat de les computadores digitals, pero ara són més del camp de les ciències de la computació, perque les computadores s'usen lo més freqüentment per a evaluar els instants individuals hui dia.

Evaluar la derivada d'una expressió és un processo directe para com és fàcil crear un algoritme. La pregunta oposta d'evaluar l'integral és molt més difícil. Moltes expressions que són relativament senzilles no tenen integrals que es poden expressar en una forma tancada.

Un método que es diu l'algoritme de Risch és capaç de determinar si l'integral d'una funció elemental (funció feta d'una cantitat finita de funcions exponencials, logaritmos, constants, i radicació per composició i combinacions usant els quatre operacions elementals) siga elemental i tornar-ho si és veritat. En la seua forma original, l'algoritme de Risch no era apte per a una implementació directa, i la seua implementació completa es duya molt temps. Es va implementar per la primera volta en el programa "Reduïx". En el cas de funcions transcendentes;James H. Davenport va resoldre i va implementar el cas de funcions purament algebraiques en Reduïx; Manuel Bronstein va resoldre i va implementar el cas general en Axiom.

No obstant, l'algoritme de Risch només s'aplica a les integrals indefinides i la majoria de les integrals d'interés als físics, químics teoréticos i ingeniers són 'integrals definides que a sovint estan relacionades en les Transformades de Laplace, les Transformades de Fourier i les Transformades de Mellin. Carent d'un algoritme general, els desenrolladors dels sistemes algebraics computacionals, han implementat heurístiques basades en el casamento de patrons i l'explotació de funcions especials, particularment la funció gamma incompleta Encara que esta estratègia és heurística en lloc d'algorítmic, No obstant, és un método eficaç de resoldre moltes integrals definides trobades per aplicacions pràctiques de l'ingenieria. Els sistemes anteriors tal com Macsyma tenien algunes integrals definides relacionades en funcions elementals dins d'una taula de consulta. Encara que este método particular, que comporten les derivades de funcions especials sobre els seus paràmetros, transformacions de variables, casamentos de patrons, i atres manipulacions, va ser liderat pels desenrolladors del sistema Maple i després varen ser emulats per Mathematica, Axiom, MuPAD i atres sistemes.

Eixemple

Per eixemple:

$\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C$

és un resultat simbòlic per a una integral indefinida (C és una constant d'integració),

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^1=\frac{1^3}{3}-\frac{(-1{)}^3}{3}=\frac{2}{3}$

és un resultat simbòlic per a una integral definida, i

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}dx\approx 0,6667$

és un resultat numèric per a la mateixa integral definida.

Vore també

• Integral definida
• Funcions elementals
• Algoritme de Risch