Transformada de Mellin

En matemàtica, la transformada de Mellin és una transformada integral que pot ser considerada com una versió multiplicativa de la transformada bilateral de Laplace. Esta transformada integral està íntimament relacionada en la teoria de les séries de Dirichlet, i és usada habitualment en teoria de números i la teoria de séries asintòtiques; també està fortament relacionada en la transformada de Laplace, la transformada de Fourier i la teoria de la funció gamma, i forma part de les funcions especials.

La transformada de Mellin d'una funció f està definida com:

i la seua transformada inversa:

La notació anterior implica que l'integral deu calcular-se com una integral de llínea presa sobre una llínea vertical en el pla complex. Les condicions en les quals és possible esta inversió estan arreplegades en el teorema d'inversió de Mellin.

La transformada és cridada aixina en honor al matemàtic finés Hjalmar Mellin.

Relació en atres transformades

La transformada de Laplace bilateral pot ser definida en térmens de la transformada de Mellin per mig de

$\left\{ℬf\right\}(s)=\{ℳf(-\ln x)\}(s)$

i inversamente, es pot obtindre la transformada de Mellin de la transformada bilateral de Laplace per mig de

$\left\{ℳf\right\}(s)=\{ℬf(e^{-x})\}(s).$

La transformada de Mellin pot ser pensada com una integració usant un kernel x^s con respecto de la Mida de Haar multiplicativa, $\frac{dx}{x}$, que és invariante sobre la dilació $x\mapsto ax$, tal que $\frac{d(ax)}{ax}=\frac{dx}{x}$; la transformada bilateral de Laplace s'integra con respecto de la mida de Haar aditiva $dx$, que és una translació invariante, aixina $d(x+a)=dx$.

També es pot definir la transformada de Fourier en térmens de la transformada de Mellin i viceversa; prenent la transformada bilateral de Laplace, definida dalt, llavors

$\left\{ℱf\right\}(s)=\left\{ℬf\right\}(is)=\{ℳf(-\ln x)\}(is).$

De la mateixa manera, es pot fer el procés a l'inversa i obtindre

$\left\{ℳf\right\}(s)=\{ℬf(e^{-x})\}(s)=\{ℱf(e^{-x})\}(-is).$

La transformada de Mellin també conecta les séries de Newton o transformada binomial junt en la funció generadora de Poisson, per mig de la Nörlund–Rulle integral.

Eixemples

Integral de Cahen-Mellin

Per a $c>0$, $\mathrm{\Re }(y)>0$ i $y^{-s}$ sobre la branca principal, es té que

$e^{-y}=\frac{1}{2\pi i}\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}\Gamma (s)y^{-s}ds$

a on $\Gamma (s)$ és la funció gamma. Esta integral és coneguda com l'integral de Cahen-Mellin.

Teoria de números

Una aplicació important en teoria de números inclou la funció simple $f(x)=\{\begin{array}{cc}0& x<1,\\ x^a& x>1,\end{array},$ per a la qual

$ℳf(s)=\frac{1}{s+a}.$