Transformada de Fourier

Archiu:Fourier transform time and frequency domains.gif

Transformada de Fourier

Archiu:CQT-piano-chord.png

Un eixemple d'aplicació de la transformada de Fourier és determinar els tons constituents en una forma d'ona musical. Esta image és el resultat d'aplicar una transformada de Q constant (una transformada relacionada en Fourier) a la forma d'ona d'un concorde de piano de do major. Els tres primers picos de l'esquerra corresponen a les freqüències de la freqüència fonamental del concorde (C, I, G). Els picos més menuts restants són sobretonos de freqüència més alta dels tons fonamentals. Un algoritme de detecció de to podria usar l'intensitat relativa d'estos picos per a inferir quines tecles va pressionar el pianiste.

La transformada de Fourier és una transformació matemàtica empleada per a transformar senyals entre el domini del temps (o espacial) i el domini de la freqüència, que té moltes aplicacions en la física i l'ingenieria. És reversible, sent capaç de transformar-se en qualsevol dels dominis a l'atre. El propi terme es referix tant a l'operació de transformació com a la funció que produïx.

Es denomina aixina pel matemàtic i físic francés Joseph Fourier (1768-1830).

En el cas d'una funció periòdica en el temps (per eixemple, un sò musical continu pero no necessàriament sinusoidal), la transformada de Fourier es pot simplificar per al càlcul d'un conjunt discret de amplitut complexes, cridat coeficients de les séries de Fourier. Ells representen l'espectre de freqüència de la senyal del domini-temps original.

La transformada de Fourier és una aplicació que fa correspondre a una funció $f$ en una atra funció $g$ definida de la manera següent:

$g(\xi )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-i\xi x}dx$

A on $f$ és $L^1$, és dir, $f$ té que ser una funció integrable en el sentit de l'integral de Lebesgue. El factor, que acompanya l'integral en definició facilita l'enunciat d'alguns de les teoremes referents a la transformada de Fourier. Encara que esta forma de normalisar la transformada de Fourier és la més comunament adoptada, no és universal. En la pràctica, les variables $x$ i $\xi$ solen estar associades a dimensions com el temps (segons) i freqüència (hercios) respectivament, si s'utilisa la fòrmula alternativa:

$g(\xi )=\sqrt{\frac{\beta }{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-i\beta \xi x}dx$

la constant $\beta$ cancela les dimensions associades a les variables obtenint un exponent adimensional.

La transformada de Fourier aixina definida goja d'una série de propietats de continuïtat que garantisen que pot estendre's a espais de funcions majors i inclús a espais de funcions generalisades.

Les seues aplicacions són moltes, en àrees de la matemàtica, ciència i ingenieria com la física, la teoria dels números, la combinatòria, el processament de senyals (electrònica), la teoria de la provabilitat, l'estadística, l'òptica, la propagació d'ones i atres àrees. En processament de senyals la transformada de Fourier sol considerar-se com la descomposició d'una senyal en components de freqüèncias diferents, és dir, $g$ correspon al espectre de freqüències de la senyal $f$.

La branca de la matemàtica que estudia la transformada de Fourier i les seues generalisacions és denominada anàlisis harmònic.

La transformada de Fourier també es pot generalisar a les funcions de vàries variables en l'espai euclidiano, enviant una funció de 3-dimensional a una funció de moment 3-dimensional (o una funció d'espai i temps a una funció de cuadrimomento). Esta idea fa que la transformada espacial de Fourier siga molt natural en l'estudi de les ones, aixina com en mecànica quàntica, a on és important poder representar solucions d'ona com a funcions de posició o de moment i, a voltes, d'abdós. En general, les funcions a les que s'apliquen els métodos de Fourier són de valor complex, i possiblement de valor vectorial. Encara és possible una major generalisació a funcions sobre grups, les quals, ademés de la transformada de Fourier original sobre R. Plantilla:Clarifyo Rⁿ (vists com a grups baix adició), en particular inclou la transformada de Fourier en temps discret (DTFT, grup = Z), la transformada discreta de Fourier (DFT, grup = Z mod N) i la série de Fourier o transformada circular de Fourier (grup = S¹, el círcul unitari ≈ interval finito tancat en punts extrems identificats). Esta última s'ampra habitualment per a tractar funcions periòdiques. La transformada ràpida de Fourier (FFT) és un algoritme per a calcular la DFT.

Definició

La transformada de Fourier relaciona una funció en el domini del temps, mostrada en roig, en una funció en el domini de la freqüència, mostrat en blava. Les freqüències components, esteses per a tot l'espectre de freqüència, són representades com a picos en el domini de la freqüència.

La transformada de Fourier relaciona una funció en el domini del temps, mostrada en roig, en una funció en el domini de la freqüència, mostrat en blava. Les freqüències components, esteses per a tot l'espectre de freqüència, són representades com a picos en el domini de la freqüència.

La transformada de Fourier és bàsicament l'espectre de freqüències d'una funció. Un bon eixemple d'això és lo que fa l'oït humà, ya que rep una ona auditiva i la transforma en una descomposició en distintes freqüències (que és lo que finalment s'escolta). L'oït humà va percebent distintes freqüències a mida que passa el temps, no obstant, la transformada de Fourier conté totes les freqüències del temps durant el qual va existir la senyal; és dir, en la transformada de Fourier s'obté un sol espectre de freqüències per a tota la funció.

Definició formal

Siga $f$ una funció Lebesgue integrable

$f\in L^1(ℝ)$ o $f\in L^1(ℂ)$

Es definix la transformada de Fourier de $f$ com la funció

$\hat{f}(\xi ):=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-2\pi i\xi x}dx$

Observem que esta integral té sentit, puix l'integrant és una funció integrable. Una estimativa simple demostra que la transformada de Fourier $\hat{f}$ és una funció acotada. Ademés, per mig del teorema de la convergència dominada pot demostrar-se fàcilment que $\hat{f}$ és contínua.

La transformada de Fourier inversa d'una funció integrable $\hat{f}$ està definida per:

${ℱ}^{-1}\{\hat{f}\}=f(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\hat{f}(\xi )e^{2\pi i\xi x}d\xi ,$

Note's que l'única diferència entre la transformada de Fourier i la transformada de Fourier inversa és el signe negatiu en l'exponent de l'integrant. La teorema d'inversió de Fourier formulat avall justifica el nom de transformada de Fourier inversa donat a esta transformada. El signe negatiu en l'exponent de l'integrat indica la traspolación de complements yuxtaposts. Estos complements poden ser analisats a través de l'aplicació de la varianza per a cada funció.

Notació

La transformada de Fourier d'una funció $f$ pot denotar-se de distintes maneres, algunes d'elles són:

$ℱ[f],\hat{f},ℱ(f(t)),ℱ\{f(t)\},F(f),F(\xi ),ℱ(f)(\xi )$.

Antecedents

Història

Artícul principal → Anàlisis de FourierHistòria.

En 1821, Fourier va afirmar que qualsevol funció, ya siga contínua o discontínua, pot expandir-se en una série de sens. Eixe important treball va ser corregit i ampliat per uns atres per a assentar les bases de les diverses formes de la transformada de Fourier utilisades des de llavors.

Sinusoide complexos

En general, els coeficients $\hat{f}(\xi )$ són número complejo, que tenen dos formes equivalents (vore fòrmula de Euler):

$\hat{f}(\xi )=\underset{\text{forma de coordenadas polares}}{\underbrace{A{e}^{i\theta }}}=\underset{\text{forma de coordenadas rectangulares}}{\underbrace{A\cos (\theta )+iA\mathrm{sen}(\theta )}}.$

El producte en $e^{i2\pi \xi x}$ (Plantilla:EquationNote) té estes formes:

$\hat{f}(\xi )\cdot e^{i2\pi \xi x}=A{e}^{i\theta }\cdot e^{i2\pi \xi x}=\underset{\text{forma de coordenadas polares}}{\underbrace{A{e}^{i(2\pi \xi x+\theta )}}}=\underset{\text{forma de coordenadas rectangulares}}{\underbrace{A\cos (2\pi \xi x+\theta )+iA\mathrm{sen}(2\pi \xi x+\theta )}}.$

Crida l'atenció la facilitat en la que es va simplificar el producte utilisant la forma polar, i la facilitat en la que es va deduir la forma rectangular per mig d'una aplicació de la fòrmula de Euler.

Propietats bàsiques

La transformada de Fourier és una aplicació llineal:

$ℱ\{a\cdot f+b\cdot g\}=aℱ\{f\}+bℱ\{g\}.$

Valen les següents propietats per a una funció absolutament integrable $f$:

• Canvi d'escala:

$ℱ\{f(at)\}(\xi )=\frac{1}{|a|}\cdot ℱ\{f\}\left(\frac{\xi }{a}\right)$

• Translació:

$ℱ\{f(t-a)\}(\xi )=e^{-2\pi i\xi a}\cdot ℱ\{f\}(\xi )$

• Translació en la variable transformada:

$ℱ\{f\}(\xi -a)=ℱ\{e^{2\pi iat}f(t)\}(\xi )$

• Transformada de la derivada: Si $f$ i la seua derivada són integrables,

$ℱ\{f^{\prime }\}(\xi )=2\pi i\xi \cdot ℱ\{f\}(\xi )$

• Derivada de la transformada: Si $f$ i $t$ → $f(t)$ són integrables, la transformada de

Fourier $F(f)$ és diferenciable

$ℱ\{f{\}}^{\prime }(\xi )=ℱ\{(-it)\cdot f(t)\}(\xi )$

Estes identitats es demostren per un canvi de variables o integració per parts.

En lo que seguix, definim la convolución de dos funcions $f$ i $g$ en la recta de la manera següent:

$(f*g)(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(\eta )\cdot g(t-\eta )d\eta .$

Novament la presència del factor davant de l'integral simplifica l'enunciat dels resultats com el que seguix: Si $f$ i $g$ són funcions absolutament integrables, la convolución també és integrable, i val l'igualtat:

$ℱ\{f*g\}=\sqrt{2\pi }\cdot ℱ\{f\}\cdot ℱ\{g\}$

També pot enunciar-se una teorema anàloga per a la convolución en la variable transformada,

$ℱ\{f\cdot g\}=\sqrt{2\pi }\cdot ℱ\{f\}*ℱ\{g\}$

pero est exigix cert conte en el domini de definició de la transformada de Fourier.

(Aclariment: depenent de la font pot variar la definició de la transformada de Fourier i també les seues propietats)

Parells transformats d'us freqüent

En algunes ocasions, es definix la transformada en un factor multiplicativo diferent de $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$, sent freqüent en ingenieria l'us d'un factor unitat en la transformada directa i un factor de $\frac{1}{2\pi }$ en la transformada inversa. A continuació, es llista una taula de funcions i les seues transformades de Fourier en un factor unitat la comprovació de la qual és trivial. Si es desija utilisar un atre factor, n'hi ha prou en multiplicar la segona columna per dit factor.

Funció	Transformada
$\delta (t)$	$1$
$u(t)$ (Funció unitària de Heaviside)	$1/2(\delta (f)+1/(i\pi f))$
$\mathrm{sen}(w_{0}t)$	$\frac{\pi }{i}[\delta (w-w_0)-\delta (w+w_0)]$
$\cos (w_{0}t)$	$\pi [\delta (w-w_0)+\delta (w+w_0)]$
$1$	$\delta (f)=2\pi \delta (w)$
$e^{-at}u(t),\mathrm{R}\mathrm{e}(a)>0$	$\frac{1}{a+iw}$
$e^{-a|t|}$	$\frac{2a}{a^2+w^2}$
$t{e}^{-at}u(t),\mathrm{R}\mathrm{e}(a)>0$	$\frac{1}{(a+iw{)}^2}$
$\{\begin{array}{cc}\cos w_{0}x& |x|\le A\\ 0& |x|>A\end{array}$	$\frac{\mathrm{sen}A(w-w_0)}{2\pi (w-w_0)}+\frac{\mathrm{sen}A(w+w_0)}{2\pi (w+w_0)}$
$x(t)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\left(\frac{t}{2T_1}\right)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{si }|t|<T_1\\ 0,& \text{si }|t|>T_1\end{array}$	$2T_1\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(\frac{w{T}_1}{\pi }\right)=2\frac{\mathrm{sen}(w{T}_1)}{w}$
$x(t)=\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\left(\frac{t}{2T_1}\right)=\{\begin{array}{cc}1-\frac{|t|}{T_1},& \text{si }|t|<T_1\\ 0,& \text{si }|t|>T_1\end{array}$	$2T_1{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}^2\left(\frac{w{T}_1}{\pi }\right)$
$x(t)=e^{-t^2/a^2},\mathrm{I}\mathrm{m}(a)=0$	$\frac{a}{\sqrt{2}}{e}^{-a^2{w}^2/4}$
$e^{-a{t}^2}$	$\sqrt{\frac{\pi }{a}}{e}^{-w^2/4a}$

Teorema d'inversió

L'idea bàsica de la teorema d'inversió és que donada una funció $f$, la transformada de Fourier inversa aplicada a la transformada de Fourier de $f$ resulta en la mateixa funció original, en símbols:

$(1)\check{\hat{f}}=f$

No obstant, el resultat formulat d'esta forma no és sempre vàlit, perque el domini de la transformada de Fourier com ho hem definit en el primer paràgraf d'este artícul no és invariante, o siga que la transformada de Fourier d'una funció integrable no és necessàriament integrable.

Per a formular la teorema d'inversió necessitem trobar espais de funcions que siguen invariantes baixe la transformada de Fourier. De fet, hi ha numeroses possibilitats, la més natural del punt de vista tècnic sent l'espai de Schwartz de funcions φ ràpidament decreixents. No obstant ací prenem un camí més directe per a formular un enunciat:

Teorema. L'espai de funcions complexes $f$ definides en la recta tals que$f$ i la transformada de Fourier de $f$ siguen integrables, és invariante tant per la transformada de Fourier que per la transformada de Fourier inversa. Ademés per a una funció $f$ en este espai, val la teorema d'inversió (1).

Una atra possibilitat per a formular una teorema d'inversió es fonamenta en el fet de que la transformada de Fourier té moltes extensions naturals.

La transformada de Fourier en l'espai de Schwartz

l'espai de Schwartz està constituït per les funcions $\phi$ de variable real, definides en ℝ i infinitament diferenciables tals que para tot $m$ i $n$ sancers no negatius

$\underset{x\in ℝ}{\sup }|x^m{\phi }^{(n)}(x)|<\mathrm{\infty },$

a on ${\phi }^{(n)}$ és la $n$-ésima derivada de $\phi$. Denotem a l'espai de Schwartz pel símbol $𝒮$.

Teorema

Tanta la transformada de Fourier com la transformada de Fourier inversa són aplicacions llineals

$𝒮\to 𝒮.$

Ademés val la fòrmula d'inversió:

$\check{\hat{f}}=f,f\in 𝒮.$

L'espai de Schwartz és invariante sobre els operadors diferencials en coeficients polinomiales, és dir de la forma

$[T\phi ](x)=\sum _{k=0}^m{P}_k(x)(\frac{d}{dx}{)}^n\phi (x).$

a on P_k són polinomis.

Per les propietats

$ℱ\left\{\frac{d\phi }{dx}\right\}(\xi )=i\xi \cdot ℱ\{\phi \}(\xi )$

i

$ℱ\{-ix\cdot \phi (x)\}(\xi )=\frac{d}{d\xi }(ℱ\{\phi \}(\xi )),$

la transformada de Fourier és una ferramenta molt important per a l'estudi de les equacions diferencials tant per a la teoria com para la seua resolució pràctica.

Propietats d'homomorfisme

Degut a que les "funcions base" i^ikx són homomorfismes de la llínea real (més concretament, de el "grup del círcul") tenim certes identitats útils:

1. Si $g(x)=f(x-y)$ llavors $\hat{g}(k)=e^{-iky}\hat{f}(k)$
2. La transformada de Fourier és un morfismo:

$\widehat{(f*g)}(k)=\hat{f}(k)\cdot \hat{g}(k)$

És dir, la transformada de Fourier d'una convolución és el producte de les transformades de Fourier.

Us en ingenieria

La transformada de Fourier s'utilisa per a passar una senyal al domini de freqüència per a aixina obtindre informació que no és evident en el domini temporal. Per eixemple, és més fàcil saber sobre quin ample de banda es concentra l'energia d'una senyal analisant-la en el domini de la freqüència.

La transformada també servix per a resoldre equacions diferencials en major facilitat i, per tant, s'usa per al disseny de controladors clàssics de sistemes realimentados, si coneixem la densitat espectral d'un sistema i l'entrada podem conéixer la densitat espectral de l'eixida. Açò és molt útil per al disseny de filtres de radiotransistores.

La transformada de Fourier també s'utilisa en l'àmbit del tractament digital d'imàgens, com per eixemple per a millorar o definir més certes zones d'una image fotogràfica o presa en una computadora, vore ondícula (wavelet).

Detecció de composts en analisar les freqüències electromagnètiques transmeses en diversos composts, materials i aleacions

Interpretació geomètrica

Definit el producte escalar entre funcions de la següent manera:

$⟨f,g⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)g(x)dx$

la transformada de Fourier es pot entendre com el producte escalar entre la funció $x(t)$ i l'exponencial complexa $e^{i2\pi ft}$ evaluat sobretot el ranc de freqüències $f$. Per l'interpretació usual del producte escalar, en aquelles freqüències en les que la transformada té un valor major, més semblat té $x(t)$ en una exponencial complexa.

Vore també

• Òptica de Fourier
• Transformada de Fourier discreta
• Transformada de Laplace
• Ondícula

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Transformada de Fourier.
• Fourier Java Applet
• Tables of Integral Transforms en anglés.
• Transformada de Fourier per John H. Mathews
• The DFT “à Pied”: Ensenyant la transformada de Fourier en un dia en The DSP Dimension (Inglés).