Espai de Schwartz

En matemàticas, un espai de Schwartz és un espai funcional de funcions d'afluixó ràpit. Este tipo d'espai té la propietat interessant de que la transformada de Fourier és un automorfisme d'este espai. Esta propietat permet, per dualitat, estendre la definició de la transformada de Fourier a funcions generalisades pertanyents a l'espai dual de l'espai de Schwartz.

Este tipo d'espais es nomena aixina en honor a Laurent Schwartz. Una funció de l'espai de Schwartz es diu a voltes funció de Schwartz.

Una funció gausiana bidimensional és un eixemple de funció d'afluixó ràpit, i per tant, un element de l'espai de Schwartz.

Definició

L'espai de Schwartz o espai de funcions d'afluixó ràpit $𝒮({ℝ}^n)$ definit sobre l'espai euclídeo ${ℝ}^n$ és el conjunt de funcions:

A on:

$\alpha ,\beta$ són multíndices (conjunts ordenats d'índexs).

$C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$ és el conjunt de funcions reals suaus sobre ${ℝ}^n$.

$\Vert \cdot \Vert$ és una norma definida a partir de la norma del suprem com:

A on els números ${\alpha }_i,{\beta }_j$ són sancers positius que satisfan:

Eixemples de funcions en $𝒮({ℝ}^n)$

• Si $a,n>0$, llavors $x^n{e}^{-a{x}^2}\in 𝒮({ℝ}^n)$.
• Qualsevol funció suau de soport compacte està en $𝒮({ℝ}^n)$.

Referències

• L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, (Distribution theory and Fourier Analysis), 2nd ed, Springer-Verlag, 1990.
• M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics: Functional Analysis I, Revised and enlarged edition, Academic Press, 1980.