Aplicació llineal

En matemàtiques, una aplicació llineal és una aplicació entre dos espais vectorials, que preserva les operacions d'adició de vectores i multiplicació per un escalar.

En àlgebra abstracta, àlgebra llineal i anàlisis funcional una aplicació llineal és un homomorfisme entre espais vectorials; que en el llenguage de la teoria de categories és un morfisme sobre la categoria dels espais vectorials que actua un cos donat.

Definició

Es denomina aplicació llineal, funció llineal, transformació llineal, o operador llineal a tota aplicació el domini de la qual i codominio siguen espais vectorials, tal que satisfaça la següent definició:

Sean $V$ i $W$ espais vectorials sobre el mateix cos $K$. Una aplicació $T$ de $V$ en $W$, és dir, $T:V\to W$, és una transformació llineal si para tot parell de vectores $u,v\in V$ i para tot escalar $k\in K$, se satisfà que:

1. $T(u+v)=T(u)+T(v)$
2. $T(ku)=kT(u)$.

Al compliment de les equacions anteriors, se li coneix com "principi de superposició".

Eixemples

1. L'aplicació $B:ℂ\to ℂ$ que envia $\alpha$ en $\overline{\alpha }$ (la seua conjugat) és una transformació llineal si considerem a $ℂ$ com un $ℝ$-espai vectorial. No obstant, no ho és si ho pensem com $ℂ$-espai vectorial, ya que $B(i)=-i\ne iB(1)=i$.
2. Donat un espai vectorial qualsevol, podem definir la funció identitat $T:V\to V/T(x)=x,$ $\mathrm{\forall }x\in V$, que resulta una transformació llineal.
3. Les homotecies: $T:{𝕂}^n\to {𝕂}^n/T(x)=kx$ en $k\in 𝕂$. Si k > 1 es denominen dilatació, si k < 1 es denominen contracció.
4. Donada una matriu $A\in M_{n\times m}(K)$, la funció $L_A:K^m\to K^n$ definida com $L_A(x)=Ax$ és una transformació llineal. Gràcies a la matriu associada (llegir més avall en l'artícul), podem concloure que qualsevol transformació llineal definida entre espais vectorials de dimensió finita pot vore's com multiplicar per una matriu.
5. Siga $V$ el conjunt de funcions contínues en $ℝ$ i definixca's $\varphi :V\to V$ per mig de $\varphi (f)(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(x)dx$, ocorre que:

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}(f(x)+g(x))dx=\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(x)dx+\underset{0}{\overset{t}{\int }}g(x)dx$

i

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}cf(x)dx=c\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(x)dx$ per a $c\in ℝ$

Per lo tant, es complix que $\varphi (f+g)=\varphi (f)+\varphi (g)$ i $\varphi (cf)=c\varphi (f)$ para tot $f$ i $g$ en $V$ i tot $c\in ℝ$, aixina que $\varphi$ és una aplicació llineal de $V$ en $V$.

Siga V un espai vectorial real i T : V → V una transformació llineal tal que T(x + i) = T(x) + T(i) i T(ʎx) = ʎ T(x) ᗊ λ ≥ 0. mostrar que T és una transformació llineal.

Només basta demostrar que T(ʎx) = ʎ T(x) ᗊ λ ≥ 0.

Si ʎ ‹ 0, llavors -ʎ › 0 i per lo tant T(-ʎx) = -ʎT(x).

Per un atre costat.

T(ʎx) – ʎT(x) = T(ʎx) + (–ʎ) T(x) = T (ʎx) + T(–ʎx) = T(ʎx + (–ʎ) x) = T(0 x) = 0 T (x) = 0.

Després, T (ʎx) = ʎ T (x) ᗊʎ ‹ 0.

Vore també

• Àlgebra llineal
• Teorema ranc-nulitat
• Funcions matemàtiques
• Operador llineal acotat

Referències

Enllaços externs

• Transformació llineal en MathWorld.
• Universitat Politècnica de Madrit: Aplicacions llineals
• Universitat Politècnica de Catalunya: Aplicacions Llineals
• Archivat el 6 de octubre de 2010 archivat en Wayback Machine.
• Matemàtiques per a tots: Aplicacions Llineals

• Universitat de Cantàbria: Aplicacions llineals
• Juan Carlos Sandoval Avendaño i Adan Flores Opazo. Eixemple de demostració.