Anex:Funcions matemàtiques

Daus els conjunts X i I, finitos o infinits i una funció f del conjunt X en el conjunt I que assigna a tot element x de X un sol element i de I:

$\begin{array}{cccc}f:& X& ⟶& Y\\ & x& \mapsto & y=f(x)\end{array}$

Donat un parell de valors x de X i i de I, tal que la funció f els relaciona, x és l'orige de la funció i i l'image. En l'anàlisis de funcions prendrem x com a variable independent i i com a variable depenent, i = f(x), la forma matemàtica de l'expressió que relaciona x en i, dona lloc als distints tipos de funcions, alguns dels quals per la seua importància, tenen noms propis, i per les similituts que presenten es poden agrupar en tipos, a continuació podem vore algunes d'estes funcions o tipos de funcions, en les corresponents referències als artículs principals a on són estudiades en profunditat.

Tipos de funcions i la seua classificació

Totes les funcions es classifiquen necessàriament dins d'un dels dos conjunts infinits de funcions, que són:

• Conjunt de funcions elementals, formades pels polinomis, el cocient de polinomis, els radicals, les funcions trigonométricas i les seues inverses, les funcions exponencial i logarítmica, aixina com totes les funcions formades a partir de les anteriors per mig d'operacions algebraiques o composició de funcions.
• Conjunt de funcions no-elementals, són el restant de funcions, és dir, qualsevol funció que no pot ser obtinguda per mig d'un número finito de passos combinant funcions elementals és una funció no elemental.

Funcions elementals

AP Les funcions elementals són funcions recursivamente construibles a partir d'alguna dels següents conjunts:

1. Conjunt de funcions polinòmiques
2. Funció exponencial
3. Funcions trigonométricas

Per mig d'alguna de les següents operacions

1. Operacions d'àlgebra elemental (suma, resta, multiplicació, divisió) entre funcions dels anteriors conjunts
2. Composició de funcions elementals dels anteriors conjunts
3. Recíproc de funcions elementals (donada una funció elemental la seua recíproca també és elemental per definició).

Per una atra part existixen "operacions" que no necessàriament donen lloc a una funció elemental:

• La funció primitiva d'una funció elemental no tenen perqué ser una funció elemental.
• Les transformades integrals de funcions elementals freqüentment no són funcions elementals.
• Les solucions d'equacions diferencials expressables en térmens de funcions elementals freqüentment no són elles mateixes funcions elementals.

Funcions explícites i implícites

Artícul principal → Funció implícita.

Una funció pot vindre donada en forma explícita o en forma implícita. Una fòrmula explícita té la forma:

que permet calcular directament el valor de i donat el valor de x. Pel contrari una funció està en forma implícita si la variable depenent no està explicitada respecte a la variable independent, expressant-se de la forma:

$f(x,y)=0$

Niels Henrik Abel va demostrar en 1824, que una funció algebraica de grau superior a 4 no pot explicitar-se, per això les funcions implícites són aquelles que no poden ser expressades de forma explícita. Per eixemple la funció:

$y^5-2x{y}^2+1=0$

no pot ser expressada de forma explícita:

$y=f(x)$

• Una funció és implícita si no pot ser expressada de forma explícita.
• Una funció esta en la seua forma implícita si la variable depenent no està rebujada respecte a la variable independent.

Funcions algebraiques

Artícul principal → Funció algebraica.

Una funció es diu algebraica si en la seua formulació solament intervenen les operacions algebraiques de suma, diferència, multiplicació, divisió i potenciació, si una funció no és algebraica és transcendent.

Les funcions algebraiques inclouen a les:

• Funcions polinòmiques que són les funciones P(x), a on P és un polinomi en x, és dir una combinació finita de sumes i productes entre escalares (números) i la variable x. Usualment, els escalares són número real, pero en certs contexts, els coeficients poden ser elements d'un camp o un anell arbitrari (per eixemple, fraccions, o número complejo)

$y=4x^3-x$

Com a casos particulars de funcions polinòmiques es tenen:

Funció constant: f(x)= a

Funció llineal: f(x)= ax + b és un binomi del primer grau.

Funció quadràtica: F(x)= ax² + bx + c és un trinomi del segon grau.

• Funcions fracionales que són cocients entre dos polinomis, estes funcions s'obtenen en dividir una funció polinomial per una atra, no idénticamente nula, per eixemple:

$y=\frac{3x^2-4x+1}{x^2-1}$

Funcions radicals

Artícul principal → Funció raïl.

La funció raïl n-ésima (lligga's "raïl ene-ésima") és la funció inversa de la funció elemental de potenciació. I mentres que inversa d'un tipo de funció elemental la funció raïl és també una funció elemental. Si en una funció, la variable independent està baix el signe de radicació, sense poder obtindre una expressió d'eixa mateixa funció en la que no estiga, eixa funció és irracional, per eixemple:

$y=\sqrt{x}$

Si tenim la funció:

$y=\sqrt{x^2+2x+1}$

la variable independent, x, està baix el signe de radicació, pero podem vore que:

$y=\sqrt{x^2+2x+1}\to y=\sqrt{(x+1{)}^2}\to y=|x+1|$

en lo que obtenim una funció no irracional.

Funcions elementals bàsiques trascendentes

AP Les funcions elementals bàsiques trascendentes són un conjunt finito de funcions que són usades en totes les àrees de les matemàtiques, física i ingenieria. Estes comprenen:

1. Les Funciones trigonométricas: Sen, coseno, tangente; secante, cosecante, cotangente.
2. Les funcions trigonométricas inverses: sen invers, coseno invers, tangente inversa, cotangente inversa, secante inversa i cosecante inversa.
3. Les Funcions hiperbòliques: sen hiperbòlic, coseno hiperbòlic, tangente hiperbòlica, cotangente hiperbòlica, secante hiperbòlica i cosecante hiperbòlica.
4. Les funcions hiperbòliques inverses: sen hiperbòlic invers, coseno hiperbòlic invers, tangente hiperbòlic invers, cotangente hiperbòlic invers, secante hiperbòlica inversa i cosecante hiperbòlica inversa;
5. La Funció logarítmica
6. L'inversa del logaritmo, que correspondria a la Funció exponencial.

D'esta manera són en total sis tipos distints de funcions i es diuen elementals perque sempre posseïx la funció un argument sobre el qual operar, mentres que les funcions algebraiques queden completament definides per la variable independent, coeficients i potències.

Funcions no elementals

Funcions bàsiques especials

Funció indicatriz

Funció escalonada

Funció escaló unitari

Funcions de part sancera

Funció unitària de Heaviside

Funció signe

Valor absolut

Funció mantissa

Funció de Dirichlet

Funció de Ackermann

Funcions de Teoria de números

Funció divisor

Funció φ de Euler

Funció primordial de conteo

Integral de funcions elementals

Funció integral de logaritmo

Integral exponencial

Funció error

Funcions especials

AP Les funcions especials són funcions no elementals definides ex professo per a algunes aplicacions particulars. Moltes de les funcions especials són funcions que són solucions d'equacions diferencials de segon orde d'importància pràctica entre estes funcions es troben:

• La classe de les funcions hipergeométricas.
• Les funcions elíptiques apareguts per primera volta en conexió a varis problemes físics relacionats en les oscilacions de la péndola, encara que també apareixen en molts atres contexts.

• Les funcions de Bessel i funcions associades. Estes funcions apareixen per eixemple en problemes de separació de variables d'equacions que contenen l'operador laplaciano expressat en coordenades cilíndriques.
• Les funcions de Airy.
• Les funcions de Whitaker.

Unes atres quantes funcions apareixen com a solucions per a problemes de càlcul integral:

• La funció d'error
• La integral senoidal

No obstant no totes les funcions especials procedixen del càlcul diferencial, algunes atres que procedixen originalment d'atres contexts són:

• Funció W de Lambert
• Funció zeta
• Funció L

Aplicacions en espais funcionals

Una aplicació T entre espais funcionals és una "funció" que aplica funcions d'una determianda classe o espai funcional donant com resultat una funció d'una atra classe o espai funcional:

Des del punt de vista matemàtic, molts espais funcionals poden ser dotats de l'estructura d'espai topològic o espai normado, lo que permet estendre els conceptes de continuïtat, acotación, etc. a aplicacions entre espais de funcions. Alguns eixemples de transformacions són:

• Transformacions integrals llineals
  • Transformada de Hilbert
  • Transformada de Laplace
  • Transformada de Fourier
• Operadors diferencials llineals
  • Divergència
  • Gradient
  • Rotacional
  • Laplaciano

Funcions de provabilitat

• Distribució de provabilitat
• Densitat de provabilitat

Vore també

• Funció matemàtica

Enllaços externs

• Algunes funcions elementals
• Introducció a les Funcions Reals d'una variable Real