Funció de Airy

La gràfica de Ai(x) de color roig i Bi(x) de blava.

La funció de Airy Ai(x) és una funció especial, cridada aixina per l'astrònom britànic George Biddell Airy (1801–1892). La funció Ai(x) i la funció relacionada Bi(x), també cridada a voltes funció de Airy, són solucions linealment independents de l'equació diferencial ordinària:

(1) $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-xy=0$.

Esta equació diferencial rep el nom de equació de Airy o equació de Stokes. És l'equació diferencial llineal de segon orde més simple que posseïx un punt a on la solució passa de tindre un comportament oscilatori a un (de)creiximent exponencial.

Ademés la funció de Airy és una solució a l'equació de Schrödinger per a una partícula confinada dins d'un pou potencial triangular i també la solució per al moviment unidimensional d'una partícula quàntica afectada per una força constant.

Definicions

Per a valors reals de x, la funció Airy està definida per l'integral:

$\mathrm{A}\mathrm{i}(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (\frac{t^3}{3}+xt)dt.$

la qual convergix perque les parts positiva i negativa de les oscilacions es cancelen una a una atra (com pot verificar-se per integració per parts).

En derivar dins del signe d'integració es troba que esta funció satisfà l'equació diferencial (1).

Esta equació té dos solucions linealment independents. L'elecció estàndar per a l'atra solució és la funció de Airy del segon tipo, cridada Bi(x). Es definix com la solució que té la mateixa amplitut d'oscilació que Ai(x) a mida que x va a −∞ i té un desfasaje de π/2:

$\mathrm{B}\mathrm{i}(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\exp (-\frac{1}{3}{t}^3+xt)+\sin (\frac{1}{3}{t}^3+xt)]dt.$.

Propietats

Els valors de Ai(x) i Bi(x) i les seues derivades en l'orige (x = 0) vénen donades per:

a on Γ denota la funció gamma. Lo anterior implica que el wronskiano de Ai(x) i Bi(x) és 1/π.

Si x és positiva, Ai(x) és positiva, convexa, i decreix exponencialment a zero, i Bi(x) és positiva, convexa, i creix exponencialment. Quan x és negativa, Ai(x) i B(x) oscilen al voltant de zero en freqüència creixent, i amplitut decreixent. Açò està d'acort en les fòrmules asintòtiques d'avall.

Referències

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun (1954). Handbook of Mathematical Functions with Formules, Graphs, and Mathematical Tables, (See §10.4). National Bureau of Standards.
• Airy (1838). On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 6, 379–402.
• Olver (1974). Asymptotics and Special Functions, Chapter 11. Academic Press, New York.
• Olivier Vallée and Manuel Soares (2004), "Airy functions and applications to physics", Imperial College Press, London.
• (en moltes imàgens d'eixemple)