Equació diferencial llineal

En matemàtiques, es diu que una equació diferencial és llineal si ho és respecte a la funció incògnita i les seues derivades. Pot ser llineal tant una equació diferencial ordinària (una sola variable independent), com una equació en derivades parcials (dos o més variables independents). Es caracterisen per tindre solucions que es poden obtindre per mig de combinacions llineals d'atres solucions, formant aixina un espai vectorial (en el cas homogéneu) o afí (no homogéneu), propietat que no complixen les equacions diferencials no llineals.

Definició

Una equació diferencial llineal té forma de:

$F(x,y,y^{\prime },\mathrm{...},y^{(n)})=0,$

en $F$ llineal respecte a la funció incògnita $y$ i les seues derivades $y^{\prime },\mathrm{...},y^{(n)}$. Escrit d'una atra forma, es pot expressar com:

$a_0(x)y+a_1(x)y^{\prime }+\mathrm{...}+a_n(x)y^{(n)}=b(x),$

a on els coeficients $a_0(x),\mathrm{...},a_n(x)$ i $b(x)$ són funcions diferencials arbitràries no necessàriament llineals, i $y^{\prime },\mathrm{...},y^{(n)}$ són les derivades de la funció incògnita $y$ en la variable $x$. L'orde de l'equació diferencial ve dau pel major sancer no negatiu $k\le n$ tal que la funció $a_k(x)$ no siga idénticamente nula. Si $b(x)\equiv 0$, llavors l'equació diferencial llineal es diu homogénea i en cas contrari no homogénea.

Introducció

Un operador llineal diferencial L es definix com una aplicació que actua sobre funcions diferenciables tal que $L:C^n([a,b])⟶C([a,b])$, en $[a,b]\subset ℝ$, sent

$L[y]=a_{0}y+a_1{y}^{\prime }+\mathrm{...}+a_n{y}^{(n)},$

o be

$L[y]=\sum _{k=0}^n{a}_k{y}^{(k)},$

a on $a_0,\mathrm{...},a_n\in C([a,b])$ i $y^{\prime },\mathrm{...},y^{(n)}$ són les derivades successives de $y$.

Es diu llineal degut a que verifica que, per a tot ${\lambda }_1,\mathrm{...},{\lambda }_n\in ℝ$

$\begin{array}{cc}L[{\lambda }_1{y}_1+\mathrm{...}+{\lambda }_n{y}_n]& =a_n({\lambda }_1{y}_1+\mathrm{...}+{\lambda }_n{y}_n{)}^{(n)}+\mathrm{...}+a_1({\lambda }_1{y}_1+\mathrm{...}+{\lambda }_n{y}_n{)}^{\prime }+a_0({\lambda }_1{y}_1+\mathrm{...}+{\lambda }_n{y}_n)\\ & =(a_n{\lambda }_1{y}_1^{(n)}+\mathrm{...}+a_n{\lambda }_n{y}_n^{(n)})+\mathrm{...}+(a_1{\lambda }_1{y_1}^{\prime }+\mathrm{...}+a_1{\lambda }_n{y_n}^{\prime })+(a_0{\lambda }_1{y}_1+\mathrm{...}+a_0{\lambda }_n{y}_n)\\ & ={\lambda }_1(a_0{y}_1+a_1{y_1}^{\prime }+\mathrm{...}+a_n{y}_1^{(n)})+\mathrm{...}+{\lambda }_n(a_0{y}_n+a_1{y_n}^{\prime }\mathrm{...}+a_n{y}_n^{(n)})\\ & ={\lambda }_{1}L[y_1]+\mathrm{...}+{\lambda }_{n}L[y_n].\end{array}$

Estructura de l'espai de solucions

Si $f(t)$ és idénticamente nula l'equació es denomina homogénea. La solució general de l'equació homogénea ve donada per totes les combinacions llineals de tantes solucions linealment independents com l'orde de dita equació; és dir, que les seues solucions formen un espai vectorial de dimensió $n$. Per a comprovar l'independència llineal d'un conjunt de $n$ solucions podem calcular la seua wronskiano. Si el wronskiano no s'anula en l'interval de definició de les solucions, estes són linealment independents.

Si

$f(t)\ne 0$

l'equació es denomina no homogénea. La solució general de l'equació no homogénea ve donada per

$x_g(t)=x_p(t)+x_{gh}(t)$,

a on $x_{gh}(t)$ és la solució general de l'equació homogénea associada i $x_p(t)$ és una solució particular a l'equació no homogénea. És dir, que les seues solucions formen un espai afí de dimensió $n$.

En el cas de la solució particular, existixen varis métodos per a trobar-la, entre ells, el método de variació dels paràmetros.

Si fixem certes condicions inicials, tenim garantisada l'existència i unicitat de solució local pel Teorema de Picard-Lindelöf sempre que les funcions $a_k$ i $f(t)$ siguen contínues i acotades en un entorn dels valors inicials. Si, ademés, tenim que $a_k$ i $f$ són contínues i acotades en tot l'espai, tendriamos garantisada l'existència i unicitat global de les solucions en tot l'espai.

Referències

Bibliografia

• (2006) Equacions diferencials en aplicacions, 2ª edició, Grup Editorial Iberoamèrica.
• (2008) Apuntes d'equacions diferencials I, Universitat Complutense de Madrit.

Vore també

• Equacions diferencials de primer orde
• Equacions diferencials ordinàries
• Equacions diferencials

Enllaços externs

• Solucions exactes d'Equacions Diferencials Ordinàries