Combinació llineal

$\overrightarrow{v}$ és la combinació llineal dels vectores ${\overrightarrow{u}}_1$ i ${\overrightarrow{u}}_2$: $\overrightarrow{v}=2\cdot {\overrightarrow{u}}_1+1.5\cdot {\overrightarrow{u}}_2$

En matemàtiques, particularment en àlgebra llineal, una combinació llineal és una expressió matemàtica que consistix en la suma entre parells d'elements, de determinats conjunts, multiplicats entre sí.

En particular, la combinació llineal d'un sistema de vectores es tracta d'un vector de la forma

$v=k_1{v}_1+k_2{v}_2+\cdots +k_n{v}_n=\sum _{i=1}^n{k}_i{v}_i$

en els $k_i$ elements d'un cos. La definició, proveïda d'esta manera, dona lloc a atres definicions i ferramentes importants, com són els conceptes d'independència llineal i base d'un espai vectorial.

Definició

Donats dos conjunts qualssevol A i B.

Resulta d'especial interés la definició de combinació llineal de vectores sobre un conjunt d'escalares.

Espais vectorials

Donat un espai vectorial V sobre un cos $𝕂$ i un conjunt $A=\{v_1,v_2,v_3,\mathrm{...},v_n\}$ de vectores en V, és dir, $A\subset V$.

Es diu que un vector $v\in V$ és combinació llineal de A si $\mathrm{\exists }{k}_1,\dots ,k_n\in 𝕂:v=\sum _{i=1}^n{k}_i{v}_i$.

En térmens no tan formals, direm que $v$ és combinació llineal de vectores de $A$ si podem expressar-ho com una suma de productes per escalar d'una cantitat finita d'elements de $A$. En este cas, també es diu que $v$ depén linealmente dels vectores de $A$.

Eixemples

Combinació llineal de dos vectores en l'espai.

1. La terna ordenada (20, 12, 37) és una combinació llineal de (1, 3, 5) i (6, 2, 9):

   $\left(\begin{array}{c}20\\ 12\\ 37\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 5\end{array}\right)+3\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ 9\end{array}\right).$

2. En general, donat un vector v en un espai vectorial, tot múltiple seu $\lambda v$ és combinació llineal. Per al cas particular $v\in {ℝ}^2$, els seus múltiples són vectores en el pla en la mateixa direcció, és dir, paralels.

3. Dau $v\in {ℝ}^3$, dir que v és combinació llineal d'atres dos vectores $v_1,v_2$ no paralels equival a afirmar que els tres vectores són coplanarios, és dir, que es troben en un mateix pla.

4. En l'equació $2x+3y-2z=0$ es diu que $z$ és combinació llineal de $x$ i de $y$, perque podem escriure $z=x+\frac{3}{2}y$ sense més que rebujar la $z$. De la mateixa manera, rebujant oportunament, cada una d'estes variables es podria expressar com a combinació llineal de les atres dos.

Vore també

• Sistema generador
• Independència llineal
• Base (àlgebra)
• Base Ortogonal
• Base Ortonormal
• Coordenades cartesianas
• Producte escalar
• Producte vectorial
• Producte mixt
• Producte tensorial