Producte vectorial

En matemàtiques, el producte vectorial de Gibbs o producte creu és una operació binaria entre dos vectorés en un espai tridimensional. El resultat és un vector perpendicular als vectores que es multipliquen, i per lo tant normal al pla que els conté. Per la seua capacitat d'obtindre un vector perpendicular a atres dos vectores, el sentit dels quals varia d'acort a l'àngul format entre estos dos vectores, esta operació és aplicada en freqüència per a resoldre problemes matemàtics, físics o d'ingenieria.

Com el producte punt, depén del mètric del espai euclídeo, pero a diferència del producte punt, també depén d'una elecció d'orientació (o "mà") de l'espai (per això es necessita un espai orientat). En relació en el producte creuat, el producte exterior de vectores pot utilisar-se en dimensions arbitràries (en un resultat bivector o forma diferencial) i és independent de l'orientació de l'espai.

El producte es pot generalisar de vàries maneres, utilisant l'orientació i l'estructura mètrica de la mateixa manera que per al producte creuat tradicional de 3 dimensions, un pugues, en $n$ dimensions, prendre el producte de $n - 1$ vectores per a produir un vector perpendicular a tots ells. Pero si el producte es llimita a productes binarios no trivials en resultats vectorials, només existix en tres i sèt dimensions.^[1] No obstant, el «producte creuat en sèt dimensions» té propietats indesijables; per eixemple, no satisfà la identitat de Jacobi, per #lo que no s'utilisa en física matemàtica per a representar cantitats com el espai-temps multidimensional.^[2]

Archiu:Cross product vector.svg

El producte creuat sobre un sistema de coordenades destres

Definició

Sean dos vectores $m a t h b f a$ i $m a t h b f b$ en el espai vectorial $m a t h b b R^{3}$ . El producte vectorial entre $m a t h b f a,$ i $m a t h b f b,$ dona com resultat un nou vector, $m a t h b f c,$ . El producte vectorial $m a t h b f a$ i $m a t h b f b$ es denota per mig de $m a t h b f a i m e s m a t h b f b$ , per això li'l crida també producte creu. En els texts manuscrits, per a evitar confusions en la lletra x (equis), és freqüent denotar el producte vectorial per mig de:^[3]

El producte vectorial pot definir-se d'una manera més compacta de la següent manera:

Archiu:Producte Vectorial segons el angulo entre vectores.gif

Producte vectorial segons l'àngul entre vectores

a on $h a t m a t h b f n$ és el vector unitari i ortogonal als vectores a i b i la seua direcció està donada per la regla de la mà dreta i θ és, com abans, l'àngul entre a i b. A la regla de la mà dreta li la crida a sovint també regla del sacacorchos.

#Precisió

Es denomina producte vectorial del vector a pel vector b ^[4] al vector denotat per $a i m e s b$ i definit per les tres exigències següents:

el mòdul de $a i m e s b$ és igual al mòdul de a per mòdul de b per $s e n p h i$ , en a on $p h i$ és l'àngul orientat format pels vectores a i b
el vector $a i m e s b$ és perpendicular a cada u dels vectores a i b

la direcció del vector $a i m e s b$ respecte als vectores a i b és igual que la de l'eix coordenado Oz respecte als eixos coordenados Ox i Oy, com si girara de Ox a Oy i alvançara en la direcció positiva de Oz.

Producte vectorial de dos vectores

Siguen els vectores concurrents de $m a t h b b R^{3}$ , el espai afí tridimensional segons la base anterior. Es definix el producte:

m a t h b f o = o_{x} m a t h b f i + o_{i} m a t h b f j + o_{z} m a t h b f k

m a t h b f v = v_{x} m a t h b f i + v_{i} m a t h b f j + v_{z} m a t h b f k

m a t h b f w = w_{x} m a t h b f i + w_{i} m a t h b f j + w_{z} m a t h b f k

A on w és el producte vectorial de o i v, definit aixina:

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �egin{array}{rrcl} imes : & mathbb{R}^3 imes mathbb{R}^3 & longrightarrow & mathbb{R}^3 & (mathbf o , mathbf v) & longrightarrow & mathbf w = mathbf o imes mathbf v end{array} }

a on l'última fòrmula s'interpreta com:

m a t h b f w = m a t h b f o i m e s m a t h b f v = (o_{y} v_{z} - o_{z} v_{i}) m a t h b f i + (o_{z} v_{x} - o_{x} v_{z}) m a t h b f j + (o_{x} v_{i} - o_{y} v_{x}) m a t h b f k

açò és:

w_{x} = o_{i} v_{z} - o_{z} v_{i}

w_{i} = o_{z} v_{x} - o_{x} v_{z}

w_{z} = o_{x} v_{i} - o_{i} v_{x}

Usant una notació més compacta, per mig del desenroll per la primera fila d'un determinant simbòlic d'orde 3 (simbòlic ya que els térmens de la primera fila no són escalares):

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle mathbf w = mathbf o imes mathbf v = �egin{vmatrix} mathbf i & mathbf j & mathbf k o_x & o_i & o_z v_x & v_i & v_z end{vmatrix} = �egin{vmatrix} o_i & o_z v_i & v_z end{vmatrix} mathbf i - �egin{vmatrix} o_x & o_z v_x & v_z end{vmatrix} mathbf j + �egin{vmatrix} o_x & o_i v_x & v_i end{vmatrix} mathbf k }

Que dona orige a la cridada regla de la mà dreta o regla del sacacorchos: girant el primer vector cap al segon per l'àngul més menut, la direcció de $m a t h b f o i m e s m a t h b f v$ és el d'un sacacorchos que gire en la mateixa direcció.

Eixemple

El producte vectorial dels vectores $m a t h b f a = (2, 0, 1)$ i $m a t h b f b = (1, - 1, 3)$ es calcula del següent modo:

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle mathbf c = mathbf a imes mathbf b = �egin{vmatrix} mathbf i & mathbf j & mathbf k 2 & 0 & 1 1 & -1 & 3 end{vmatrix} }

Expandint el determinant:

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle mathbf c = mathbf a imes mathbf b = mathbf i �egin{vmatrix} 0 & 1 -1 & 3 end{vmatrix} - mathbf j �egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 3 end{vmatrix} + mathbf k �egin{vmatrix} 2 & 0 1 & -1 end{vmatrix} = mathbf i - 5 mathbf j - 2 mathbf k }

Donant com a resultat:

m a t h b f c = m a t h b f i - 5 m a t h b f j - 2 m a t h b f k

Pot verificar-se fàcilment que $m a t h b f a i m e s m a t h b f b$ és ortogonal als vectores $m a t h b f a$ i $m a t h b f b$ efectuant el producte escalar i verificant que este és nul (condició de perpendicularidad de vectores)

Propietats

Identitats

Qualssevol que siguen els vectores $m a t h b f a$ , $m a t h b f b$ i $m a t h b f c$ :

$(m a t h b f a i m e s m a t h b f b) i m e s m a t h b f c i m a t h b f a i m e s (m a t h b f b i m e s m a t h b f c)$ ; el producte vectorial no és associatiu
$m a t h b f a i m e s m a t h b f b = - (m a t h b f b i m e s m a t h b f a)$ ; anticonmutatividad
Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle mathbf a # Si <math>mathbf a imes mathbf b = mathbf 0} en $m a t h b f a e q m a t h b f 0$ i $m a t h b f b e q m a t h b f 0$ , $R i g h t a r r o w m a t h b f a | m a t h b f b$ ; l'anulació del producte vectorial proporciona la condició de paralelisme entre dos direccions.
$(m a t h b f a + m a t h b f b) i m e s m a t h b f c = m a t h b f a i m e s m a t h b f c + m a t h b f b i m e s m a t h b f c$ ; distributividad per dreta i esquerra
Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle mathbf a imes (mathbf b imes mathbf c ) = mathbf b (mathbf a Sean <math>�ec{o}} , Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �ec{v}} i Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �ec{w}} tres vectores, que no es troben en el mateix pla i que formen tres costats d'un paralelepípede. Com sabem, el volum de qualsevol objecte tridimensional es definix per l'àrea de la base i la seua altura.

Com anteriorment vàrem vore en este artícul, l'àrea d'un paralelogramo (la base del paralelepípede) es definix pel producte vectorial de dos vectores Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle lVert �ec{o} imes�ec{v} Vert} en a on Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �ec{o} imes�ec{v}} és un vector perpendicular a est,

per lo tant, és necessari obtindre la proyecció de Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �ec{w}} en la direcció Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �ec{o} imes�ec{v}} ; llavors, ya que la proyecció d'un vector està donada per <math>�rac{�ec{o}

An interactive tutorial created at Syracuse University – (requires java)
W. Kahan (2007). Cross-Products and Rotations in Euclidean 2- and 3-Space. University of Califòrnia, Berkeley (PDF).
The vector product, Mathcentre (UK), 2009

Referències

↑ Massey, William S.. “semanticscholar.org/1f6b/ff1i992f60eb87b35c3ceed04272fb5cc298.pdf Productes creuats de vectores en espais euclídeos de dimensió superior”. The American Mathematical Monthly 90 (10): 697-701. doi:10.2307/2323537. “Si un requerix només tres propietats bàsiques del producte creuat... resulta que un producte creuat de vectores existix només en l'espai euclídeo de 3 dimensions i 7 dimensions.”
↑ Arfken, George B.. Métodos matemàtics per a físics, 4th edició, Elsevier.
↑ Spiegel, 1992, p. 96
↑ Únicament, es definix el producte vectorial per a vectores de l'espai R³

Este artícul conté una traducció derivada de «Producto vectorial» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Massey2-1] Massey, William S.. “semanticscholar.org/1f6b/ff1i992f60eb87b35c3ceed04272fb5cc298.pdf Productes creuats de vectores en espais euclídeos de dimensió superior”. The American Mathematical Monthly 90 (10): 697-701. doi:10.2307/2323537. “Si un requerix només tres propietats bàsiques del producte creuat... resulta que un producte creuat de vectores existix només en l'espai euclídeo de 3 dimensions i 7 dimensions.”

[2] Arfken, George B.. Métodos matemàtics per a físics, 4th edició, Elsevier.

[3] Spiegel, 1992, p. 96

[4] Únicament, es definix el producte vectorial per a vectores de l'espai R³

[1]

[2]

[3]

[4]