Forma diferencial

En geometria diferencial, la forma diferencial és un objecte matemàtic pertanyent a un espai vectorial que apareix en el càlcul multivariable, càlcul tensorial o en física. Comunament una forma diferencial pot ser entesa com un operador multilineal antisimètric definit sobre l'espai vectorial tangente a una varietat diferenciable. En un espai o varietat de dimensió n, poden definir-se 0-formes, 1-formes, ... i n-formes.

El concepte de forma diferencial és una generalisació sobre idees prèvies com el gradient, la divergència, el rotacional, etc. Eixa generalisació i la moderna notació usada en l'estudi de les formes difenciales es deu a Élie Cartan.

0-formes, 1-formes i k-formes

L'eixemple no trivial més senzill d'una forma diferencial ho constituïxen les 1-formas, també cridades formes pfaffianas. Estes formes són la manera rigorosa de tractar els diferencials de les funcions reals sobre una varietat (per a funcions ordinàries la varietat és simplement l'espai euclídeo, ${ℝ}^n$). Les 1-formes també apareixen en física, aixina per eixemple les "diferencials" de les variables d'estat usades en termodinàmica són de fet 1-formes (encara que el tractament informal de les mateixes descuida eixe fet). En Geometria diferencial o estudi de les varietats diferenciables, les 1-formes actuen com a funcions llineals reals definides sobre l'espai vectorial tangente a la varietat diferenciable que s'estiga considerant. Aixina que el conjunt de totes les 1-formes definides en un punt de la varietat és isomorfo al espai dual del espai vectorial tangente en dit punt.

Un atre eixemple, un tant trivial són les funcions reals definides sobre una varietat, que poden ser tractades formalment com 0-formes. El nom es justifica perque existix un operador denominat diferencial exterior, que aplica k-formes en k+1-formes, ya que la diferencial exterior d'una funció real és una 1-forma, es convé en cridar 0-formes als objectes matemàtics, com les funcions reals, que la seua diferencial és una 1-forma. Aixina per eixemple les funcions d'estat de la termodinàmica, el lagrangiano de la mecànica lagrangiana o el hamiltoniano de la mecànica hamiltoniana són de fet 0-formes definides sobre els respectius espais de configuració o espais de fases del sistema físic.

Finalment i usant el major nivell de generalitat es definixen les k-formes. Una forma de grau k o k-forma és una secció diferenciable de la k-ésima potència exterior del fibrado cotangente de la varietat. En qualsevol punt P en una varietat, una k-forma dona una funció multilineal des de la potència cartesiana k-ésima del espai tangente en P a ℝ.

Algunes definicions formals

1. El conjunt de totes les k-formes definides en l'espai vectorial tangente d'un punt x d'una varietat es diu ${\Lambda }_x^k$.
2. El conjunt de totes les formes diferencials sobre una varietat de dimensió n, que resulta ser ${\Lambda }_x={\Lambda }_x^0\oplus {\Lambda }_x^1\oplus \dots \oplus {\Lambda }_x^n$ , és l'àlgebra de Grassmann de la varietat i és en sí mateixa un espai vectorial de dimensió 2ⁿ.
3. Existix un operador, cridat diferencial exterior $d:{\Lambda }_x^{k-1}\to {\Lambda }_x^{k}1\le k\le n$
4. Una k-forma diferencial $\omega$ es diu tancada si el seu diferencial exterior és zero, és dir, $d\omega =0$.
5. Una k-forma diferencial $\alpha$ es denomina exacta si existix una atra una (k-1)-forma $\beta$ tal que la seua derivada exterior és precisament $\alpha$, és dir, $\alpha =d\beta$.

Vore també

• Formes diferencials tancades i exactes
• Forma diferencial complexa