Espai de configuració

En mecànica clàssica i mecànica lagrangiana, el espai de configuració és l'espai de totes les possibles posicions instantànees d'un sistema mecànic. L'espai de configuració d'un sistema mecànic té estructura de varietat diferenciable, de dimensió N, a on N és el número de graus de llibertat del sistema mecànic. Per eixa raó a voltes també es coneix a este espai com a varietat de configuració.

Ademés pot definir-se el espai de configuració ampliat, o espai vectorial tangente, com el conjunt de totes les posicions possibles i totes les velocitats possibles. L'espai de configuració ampliat té l'interés de que representa l'espai de tots els possibles estats del sistema mecànic. Este espai ampliat pot construir-se a partir de l'espai de configuració, per mig d'una construcció topològica coneguda com fibrado tangente. Aixina l'espai de configuració ampliat és una varietat diferenciable de dimensió 2N, sent N el número de graus de llibertat, que és ni més ni menys que el fibrado tangente TQ de l'espai de configuració Q.

Eixemples

Per eixemple, l'espai de configuració d'una única partícula movent-se en l'espai tridimensional euclidiano és simplement ℝ³. Per a N partícules és ℝ^3N. Per a un péndola que es moga en un mateix pla, l'espai de configuració és S¹ ya que la posició del mateix ve donada per un únic àngul (per eixemple l'àngul respecte a la vertical).

Per a donar conte no solament de la posició sino també del moment llineal (o alternativament la velocitat) es construïx l'espai fásico $\Gamma$, que matemàticament ve dau pel fibrado tangente de l'espai original. Este fibrado tangente és una varietat de dimensió 2m, sent m el número de graus de llibertat del sistema mecànic. Aixina podem donar els següents eixemples d'espais fásicos:

1. Per a una partícula que es mou en l'espai tridimensional $\Gamma ={ℝ}^6$.
2. Per a N partícules que es mouen en l'espai tridimensional $\Gamma ={ℝ}^{6N}$.
3. Per a una péndola $\Gamma =S^1\times {ℝ}^1$.

Vore també

• Espai fásico
• Espai de Hilbert