Espai fásico

Espai fásico

Archiu:Focal stability.png

Espai fásico d'un sistema dinàmic en estabilitat focal.

En mecànica clàssica, el espai fásico, espai de fases o diagrama de fases és una construcció matemàtica que permet representar el conjunt de posicions i per als seus respectius moments.

El formalisme de l'espai fásico s'ampra en el context de la mecànica lagrangiana i la mecànica hamiltoniana. Usualment es designa l'espai fásico o una part d'ell per Γ (gamma mayúscula). Físicament cada punt de l'espai mecànic.

En física estadística s'usen distribucions de provabilitat definides sobre l'espai fásico. Partint de cert subconjunt de les distribucions de provabilitat d'un espai fásico pot construir-se una estructura d'espai de Hilbert. Estos espais s'usen en mecànica quàntica.

Espai fásico en mecànica clàssica

En mecànica clàssica l'espai fásico és una construcció matemàtica a partir del espai de configuració. Concretament un espai fásico adequat per a un sistema en un número finito de graus de llibertat és el fibrado cotangente de l'espai de configuració del sistema mecànic. Eixe fibrado cotangente construït d'eixa manera pot ademés ser dotat d'una topología simpléctica a on poden formular-se convenientment les teoremes de la mecànica hamiltoniana.

Un de les teoremes clàssiques sobre espais fásicos és el teorema de Liouville, segons el qual un núvol de punts distribuïts d'acort en una densitat de provabilitat que represente un estat d'equilibri macroscòpic ρ(p_i,q_i) deu ser invariable en el temps.

Ademés cada hamiltoniano H definit sobre un espai fásico està associat a un conjunt de trayectòries d'evolució temporal. El conjunt de trayectòries constituïx un foliación unidimensional de l'espai fásico que recobrix casi tot l'espai fásico (concretament tot l'espai fásico, llevat un conjunt de mida nula), açò últim equival a que l'espai pot ser descompost en trayectòries que no es intersecan.

Espai fásico en mecànica quàntica

Un de les traces definitorios de la mecànica quàntica és que l'estat físic d'un sistema no determina el resultat de qualsevol mida que puga fer-se sobre ell. En térmens més crus, el resultat d'una mida sobre dos sistemes quàntics que tenen el mateix estat físic no sempre tira els mateixos resultats. Aixina una teoria com la mecànica quàntica que tracta de descriure l'evolució temporal dels sistemes físics només pot predir la provabilitat de que en medir una determinada magnitut física s'obtinga determinat valor. És dir, la mecànica quàntica realment és una teoria que explica cóm varia la distribució de provabilitat de les possibles mides d'un sistema (entre dos medicions consecutives, ya que en l'instant de la mida es produïx un colapse de la funció d'ona aleatori).

l'estat quàntic d'un sistema per les raons anteriorment expostes no s'assembla en res a l'estat clàssic d'una partícula o un sistema de partícules. De fet l'estat quàntic d'un sistema és representable per mig d'una funció d'ona:

$\Phi \in L_{\mu }^2(\Gamma )$

La relació més propenca entre espai fásico i funció d'ona és que el quadrat del mòdul de la funció d'ona està relacionat en una distribució de provabilitat definida sobre l'espai fásico. Açò significa que, per a construir el conjunt d'estats quàntics o espai de Hilbert de certs sistemes quàntics, pot considerar-se inicialment l'espai fásico que s'usaria en la seua descripció clàssica i considerar el conjunt de funcions de quadrat integrable sobre l'espai fásico, a este tipo de procediment se li coneix com cuantización. En el tractament quàntic, les coordenades de l'espai fásico clàssic p i q, es substituyen per operadors hermíticos sobre l'espai de Hilbert que conté al conjunt d'estats possibles.

La conexió entre els operadors hermíticos sobre l'espai de Hilbert i l'interpretació clàssica dels mateixos com a magnituts físiques mesurables, pot conseguir-se per mig del producte de Moyal que és consistent en el principi d'incertitut de la mecànica quàntica. Cada observable quàntic correspon a una única distribució sobre l'espai de fases, i al revés tal com va demostrar Hermann Weyl en 1927, treball que va ser ampliat per John von Neumann (1931); Eugene Wigner (1932) i molt especialment per H J Groenewold (1946). El treball de J I Moyal (1949), va completar totes estes fundamentaciones de la cuantización de Weyl, per mig d'una reformulación llògicament independent dels postulats de la mecànica quàntica.

Cuantización a partir de l'espai fásico clàssic

Artícul principal → Cuantización.

En física estadística s'ampren distribucions de provabilitat sobre l'espai fásico, este conjunt distribucions de provabilitat pot dotar-se d'estructura d'espai de Hilbert. És precisament sobre esta abstracció última que es construïx la mecànica quàntica en a on no s'ampren espais de configuració sino directament espais de Hilbert. L'estat d'un sistema quàntic es definix com una funció d'ona que no és una atra cosa que un element o vector d'este espai de Hilbert (concretament l'estat del sistema és una classe d'equivalència de vectores de l'espai de Hilbert).