Funció d'ona

Archiu:Quantum mechanics travelling wavefunctions wavelength.svg

Funció d'ona

Archiu:2D Wavefunction (1,2) Surface Plot.png

Funció d'ona per a una partícula bidimensional tancada en una caixa. Les llínees de nivell sobre el pla inferior estan relacionades en la provabilitat de presència.

En mecànica quàntica una funció d'ona $\psi (𝐱,t)$ és una forma de representar l'estat físic d'un sistema de partícules. Usualment és una funció complexa, de quadrat integrable i univaluada, de les coordenades espacials de cada una de les partícules. Les propietats mencionades de la funció d'ona permeten interpretar-la com una funció de quadrat integrable. l'equació de Schrödinger proporciona una equació determinista per a explicar l'evolució temporal de la funció d'ona i, per tant, de l'estat físic del sistema en l'interval comprés entre dos mides (quan es fa una mida, d'acort en el postulat IV, l'evolució no és determinista).

Històricament el concepte funció d'ona va ser desenrollat en el marc de la primera física quàntica, a on s'interpretava que les partícules podien ser representades per mig d'una ona física que es propaga en l'espai. En la formulació moderna, la funció d'ona s'interpreta com un objecte molt més abstracte, que representa un element d'un cert espai de Hilbert de dimensió infinita que agrupa als possibles estats del sistema.

Per a un sistema donat, l'elecció de quins graus de llibertat conmutativos utilisar no és única i, en conseqüència, el domini de la funció d'ona tampoc és únic. Per eixemple, pot ser una funció de totes les coordenades de posició de les partícules en l'espai de posició, o dels moments de totes les partícules en l'espai de moment; abdós estan relacionades per una transformada de Fourier. Algunes partícules, com els electrons i els fotons, tenen espin distint de zero, i la funció d'ona per a tals partícules inclou l'espin com un grau de llibertat intrínsec i discret; també es poden incloure atres variables discretes, com l'isospín. Quan un sistema té graus de llibertat interns, la funció d'ona en cada punt dels graus de llibertat continus (per eixemple, un punt en l'espai) assigna un número complejo per a cada possible valor dels graus de llibertat discrets (per eixemple, el component z de l'espin) estos valors es mostren a sovint en una matriu de columnes (per eixemple, un vector columna 2 × 1 per a un electró no relativiste en espin Plantilla:Frac).

Segons el principi de superposició de la mecànica quàntica, les funcions d'ona poden sumar-se i multiplicar-se per número complejo per a formar noves funcions d'ona i formar un espai de Hilbert. El producte intern entre dos funcions d'ona és una mida del solapamiento entre els estats físics corresponents i s'utilisa en l'interpretació provabilística fundacional de la mecànica quàntica, la regla de Born, que relaciona les provabilitats de transició en els productes interns. l'equació de Schrödinger determina cóm evolucionen les funcions d'ona en el temps, i una funció d'ona es comporta cualitativamente com unes atres ones, com ones d'aigua o ones en una corda, perque l'equació de Schrödinger és matemàticament un tipo d'equació d'ona. Açò explica el nom de "funció d'ona" i dona lloc a la dualitat ona-partícula. No obstant, la funció d'ona en mecànica quàntica descriu un tipo de fenomen físic, encara obert a diferents interpretacions, que diferix fonamentalment del de les ones mecàniques clàssiques.

En l'interpretació estadística de Born en mecànica quàntica no relativista, el mòdul al quadrat de la funció d'ona, |ψ|², és un número real interpretat com la densitat de provabilitat de mida d'una partícula que es troba en un lloc donat o que té un moment donat en un moment donat, i que possiblement té valors definits per a graus de llibertat discrets. L'integral d'esta cantitat, sobre tots els graus de llibertat del sistema, deu ser 1 d'acort en l'interpretació provabilística. Este requisit general que deu satisfer una funció d'ona es denomina condició de normalisació. Ya que la funció d'ona és de valor complex, només es pot medir la seua fase relativa i la seua magnitut relativa -el seu valor, aisladament, no diu res sobre les magnituts o direccions dels observables mesurables; un té que aplicar operadors quàntics, els valors propis dels quals corresponen a conjunts de possibles resultats de les medicions, a la funció d'ona ψ i calcular les distribucions estadístiques per a les cantitats mesurables.

Context històric

En 1900 Max Planck va postular la proporcionalitat entre la freqüència $f$ d'un fotó i la seua energia $E$, $E=hf$, i en 1916 la corresponent relació entre el moment d'un fotó $p$ i la llongitut d'ona d'un fotó. $\lambda$, $\lambda =\frac{h}{p}$, a on $h$ és la constant de Planck. En 1923 De Broglie va ser el primer en sugerir que la relació $\lambda =\frac{h}{p}$, ara cridada les ones de matèria, és vàlida per a partícules massives, sent la principal pista l'invariancia de Lorentz, i açò pot vore's com el punt de partida per al desenroll modern de la mecànica quàntica. Les equacions representen la dualitat ona-partícula tant per a les partícules sense massa com per a les massives.

En les décades de 1920 i 1930 la mecànica quàntica es va desenrollar utilisant càlcul i àlgebra llineal. Entre els que varen utilisar les tècniques del càlcul es trobaven Louis de Broglie, Erwin Schrödinger i uns atres, desenrollant la mecànica d'ones. Els que varen aplicar els métodos de l'àlgebra llineal varen ser Werner Heisenberg, Max Born i uns atres, desenrollant la "mecànica matricial". Schrödinger va demostrar posteriorment que abdós enfocaments eren equivalents.

En 1926 Schrödinger va publicar la famosa equació d'ona que ara du el seu nom, l'equació de Schrödinger. Esta equació es basava en la clàssica conservació de l'energia utilisant operadors quàntics i les relacions de Broglie i les solucions de l'equació són les funcions d'ona per al sistema quàntic. No obstant, ningú tenia clar cóm interpretar-la. Al principi, Schrödinger i uns atres varen pensar que les funcions d'ona representen partícules que estan disperses i que la major part de la partícula està a on la funció d'ona és gran. Es va demostrar que açò era incompatible en la dispersió elàstica d'un paquet d'ones (que representa una partícula) d'un objectiu; es dispersa en totes les direccions. Encara que una partícula dispersa pot dispersar-se en qualsevol direcció, no es trenca i desapega en totes direccions. En 1926 Born va proporcionar la perspectiva de l'amplitut de provabilitat.. Açò relaciona els càlculs de la mecànica quàntica directament en les observacions experimentals provabilístiques. S'accepta com a part de l'interpretació de Copenhague de la mecànica quàntica. Existixen moltes atres interpretacions de la mecànica quàntica. En 1927 Hartree i Fock varen donar el primer pas en un intent de resoldre el N-cossos funció d'ona, i varen desenrollar el cicle de autoconsistencia: un iterativo algoritme per a aproximar la funció d'ona de N''-cossos. algoritme per a aproximar la solució. Ara també es coneix com Método de Hartree-Fock. El Determinant de Slater i permanent (d'una matriu) formava part del método, proporcionat per John C. Slater.

Schrödinger va trobar una equació per a la funció d'ona que satisfea la conservació de l'energia de la relativista abans de publicar la no relativista, pero la va descartar perque predia provabilitats i energies negatives. En 1927 Klein, Gordon i Fock també la varen trobar, pero varen incorporar l'electromagnètica. interacció i varen demostrar que era invariante de Lorentz. De Broglie també va aplegar a la mateixa equació en 1928. Esta equació d'ona relativista és ara més comunament coneguda com equació de Klein-Gordon.

En 1927 Pauli va trobar fenomenológicamente una equació no relativista per a descriure partícules d'espin-1/2 en camps electromagnètics, ara cridada equació de Pauli. Pauli va descobrir que la funció d'ona no es descrivia per mig d'una única funció complexa d'espai i temps, sino que necessitava dos número complejo, que corresponen respectivament als estats d'espin +1/2 i -1/2 del fermión. Poc despuix, en 1928, Dirac va trobar una equació a partir de la primera unificació exitosa de la relativitat especial i la mecànica quàntica aplicada al electró, ara cridada equació de Dirac. En ella, la funció d'ona és un espinor representat per quatre components de valor complex: dos per a l'electró i dos per a l'antipartícula de l'electró, el positrón. En el llímit no relativiste, la funció d'ona de Dirac s'assembla a la funció d'ona de Pauli per a l'electró. Més vesprada, es varen trobar unes atres equacions d'ona relativistes.

Funcions d'ona i equacions d'ona en les teories modernes

Totes estes equacions d'ona tenen una importància perdurable. L'equació de Schrödinger i l'equació de Pauli són, en moltes circumstàncies, excelents aproximacions de les variants relativistes. Són considerablement més fàcils de resoldre en problemes pràctics que les seues homòlogues relativistes.

l'equació de Klein-Gordon i l'equació de Dirac, encara que són relativistes, no representen una reconciliació completa de la mecànica quàntica i la relativitat especial. La branca de la mecànica quàntica en la que estes equacions s'estudien de la mateixa manera que l'equació de Schrödinger, a sovint cridada mecànica quàntica relativista, encara que molt exitosa, té les seues llimitacions (vore, per eixemple, Efecte Lamb) i problemes conceptuals (vore, per eixemple, mar de Dirac).

La relativitat fa inevitable que el número de partícules d'un sistema no siga constant. Per a una reconciliació completa, es necessita la teoria quàntica de camps. En esta teoria, les equacions d'ona i les funcions d'ona tenen el seu lloc, pero baixe una apariència alguna cosa diferent. Els principals objectes d'interés no són les funcions d'ona, sino més be operadors, els cridats operadors de camp (o simplement camps a on s'entén operador) en l'espai de Hilbert dels estats (que es descriurà en la pròxima secció). Resulta que les equacions d'ona relativistes originals i les seues solucions seguixen sent necessàries per a construir l'espai de Hilbert. Ademés, els operadors de camps lliures, és dir, quan se supon que no existixen interaccions, resulten satisfer (formalment) la mateixa equació que els camps (funcions d'ona) en molts casos.

Aixina, l'equació de Klein-Gordon (espin 0) i l'equació de Dirac (espin Plantilla:Frac) d'esta forma permaneixen en la teoria. Els anàlecs d'espin superior inclouen l'equació de Proca (espin 1), l'equació de Rarita-Schwinger (espin Plantilla:Frac), i, més generalment, les equacions de Bargmann-Wigner. Per a camps lliures sense massa dos eixemples són les equacions de Maxwell de camp lliure (espin 1) i l'equació d'Einstein de camp lliure (espin 2) per als operadors de camp. Tots ells són essencialment una conseqüència directa del requisit d'invariancia de Lorentz. Les seues solucions deuen transformar-se baix la transformació de Lorentz d'una manera prescrita, és dir, baixe una representació del grup de Lorentz particular i que junt en atres poques exigències raonables, per eixemple la propietat de descomposició de cúmuls, en implicacions per a la causalitat és suficient per a fixar les equacions.

Açò s'aplica a les equacions de camp lliure; no s'inclouen les interaccions. Si es dispon d'una densitat lagrangiana (incloses les interaccions), llavors el formalisme lagrangiano produirà una equació de moviment a nivell clàssic. Esta equació pot ser molt complexa i no tindre solució. Qualsevol solució es referiria a un número fix de partícules i no donaria conte del terme "interacció" com es denomina en estes teories, que implica la creació i aniquilació de partícules i no potencials externs com en la teoria quàntica ordinària de "primera cuantización".

En la teoria de cordes, la situació seguix sent anàloga. Per eixemple, una funció d'ona en l'espai de moment té el paper de coeficient d'expansió de Fourier en un estat general d'una partícula (cuerdo) en moment que no està clarament definit.

Formulació original de Schrödinger-De Broglie

En 1923 De Broglie va propondre la cridada hipòtesis de De Broglie per la que a qualsevol partícula podia assignar-se-li un paquet d'ones o quants materials o superposició d'ones de freqüència i llongitut d'ona associada en el moment llineal i l'energia:

a on $𝐩,E_k$ són el moment llineal i l'energia cinètica de la partícula, i $𝐤,\omega$ són el vector número i la freqüència angular. Quan es consideren partícules macroscòpiques molt localisades, el paquet d'ones es restringix casi per complet a la regió de l'espai ocupada per la partícula i, en eixe cas, la velocitat de moviment de la partícula no coincidix en la velocitat de fase de l'ona sino en la velocitat de grup del paquet:

a on $E_k(p)=p^2/2m$. Si en lloc de les expressions clàssiques del moment llineal i l'energia s'usen les expressions relativistes, la qual cosa dona una descripció més precisa per a partícules ràpides, un càlcul alguna cosa més llarc, basat en la velocitat de grup, du a la mateixa conclusió.

La fòrmula de De Broglie va trobar confirmació experimental en 1927 en un experiment que va provar que la llei de Bragg, inicialment formulada per a rajos X i radiació d'alta freqüència, era també vàlida per a electrons llents si s'usava com a llongitut d'ona la llongitut postulada per De Broglie. Eixos fets varen dur als físics a tractar de formular una equació d'ones quàntica que en el llímit clàssic macroscòpic es reduïra a les equacions de moviment clàssiques o lleis de Newton. Dita equació ondulatoria havia segut formulada per Erwin Schrödinger en 1925 i és la celebrada equació de Schrödinger:

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\psi (𝐱,t)+V(𝐱)\psi (𝐱,t)=i\hslash \frac{\partial \psi (𝐱,t)}{\partial t}$

a on $\psi (𝐱,t)$ es va interpretar originalment com un camp físic o camp de matèria que per raons històriques es va cridar funció d'ona i va anar el precedent històric del modern concepte de funció d'ona.

El concepte actual de funció d'ona és causa de debat en la Física actual, sobretot en lo que respecta la realitat objectiva i intrínseca de dita funció d'ona. Matemàticament, l'implicació del quadrat de la funció d'ona és l'amplitut de la provabilitat de presència de matèria. Esta interpretació, introduïda per Max Born, li va valdre la concessió del premi Nobel de física en 1954.

Vore també

• Equació de Schrödinger, equació de Klein-Gordon, equació de Majorana i equació de Dirac
• Segona cuantización i teoria quàntica de camps

Bibliografia

• Annalen der Physik.79

361–376. (Text en espanyol)