Equació de Schrödinger

La famosa equació de Schrödinger, desenrollada pel físic austríac Erwin Schrödinger en 1925 i publicada en el 1926, descriu l'evolució temporal d'una partícula subatòmica quàntica en massa en el context no relativiste. És d'importància central en la teoria de la mecànica quàntica ordinària, a on representa per a les partícules microscòpiques un paper anàlec a la segona llei de Newton en la mecànica clàssica. Les partícules microscòpiques inclouen a les partícules elementals, tals com electronés, aixina com sistemes de partícules, tals com núcleus atòmics.

És molt important en moltes aplicacions, encara que en contexts relativistes deu ser reemplaçada pel tractament de la teoria quàntica de camps, ya que l'equació de Schrödinger no contempla els processos de creació de parells o aniquilació de partícules.

Equació

Equació depenent del temps

La forma de l'equació de Schrödinger depén de la situació física. La forma més general és l'equació depenent del temps, la qual descriu un sistema que evoluciona en el pas del temps:

Una funció d'ona que satisfà l'equació no relativista de Schrödinger en V = 0. És dir, correspon a una partícula viajant lliurement a través de l'espai lliure. Este gràfic és la part real de la funció d'ona.

a on i és l'unitat imaginària, ħ és la «constant de Planck reduïda» o «constant de Dirac» (constant de Planck dividida per 2π), el símbol Plantilla:Sfrac indica una derivada parcial sobre el temps t, Ψ (la lletra grega psi) és la funció d'ona del sistema quàntic, i Ĥ és l'operador diferencial Hamiltoniano (el qual caracterisa l'energia total de qualsevol funció d'ona donada i té diferents formes que depenen de la situació).

Cada una de les tres files és una funció d'ona que satisfan l'equació de Schrödinger depenent del temps per a un oscilador harmònic quàntic. A l'esquerra: La part real (blava) i la part imaginària (roig) de la funció d'ona. A la dreta: La distribució de provabilitat de trobar una partícula en esta funció d'ona en una posició determinada. Les dos files de dalt són eixemples de estats estacionarios, que corresponen a ones estacionarias. La fila d'avall és un eixemple d'un estat que no és estacionario. La columna de la dreta ilustra per qué l'estat pot cridar-se "estacionario".

L'eixemple més famós és l'equació de Schrödinger no relativista per a una partícula simple movent-se en un camp elèctric (pero no en un camp magnètic; vore l'equació de Pauli):

a on μ és la "massa reduïda" de la partícula, V és la seua energia potencial, ∇² és el Laplaciano (un operador diferencial), i Ψ és la funció d'ona (més precisament, en este context, li la denomina "funció d'ona posició-espai"). És dir, significa que la "energia total és igual a l'energia cinètica més l'energia potencial".

Segons els operadors diferencials que s'utilisen, s'observa que és una equació diferencial en derivades parcials llineal. També és un cas d'una equació de difusió, pero no com l'equació de la calor, ya que també és una equació d'ona donada per unitat imaginària present en el terme de transitori.

El terme "equació de Schrödinger" pot referir-se a l'equació general (la primera de dalt), o la versió específica no relativista (la segona i les seues variants). L'equació general s'usa en tota la mecànica quàntica, des de l'equació de Dirac fins a la teoria de camps quàntics, per mig de l'utilisació d'expressions complicades per al Hamiltoniano. La versió no relativista específica és una aproximació simplificada a la realitat, la qual té prou precisió en moltes situacions, pero molt imprecisa en moltes atres (vore mecànica quàntica relativista i teoria quàntica de camps relativiste).

Per a aplicar l'equació de Schrödinger, s'utilisa per al sistema l'operador Hamiltoniano, pres en conte les energies cinètica i potencial de les partícules que constituïxen el sistema, i després insertades en l'equació de Schrödinger. L'equació en derivades parcials resultant es resol per a la funció d'ona, la qual conté informació sobre el sistema.

Equació independent del temps

L'equació de Schrödinger independent del temps prediu que les funcions d'ona poden tindre la forma d'ones estacionarias, denominats estats estacionarios (també cridats "orbitales", com en els orbitales atòmics o els orbitales moleculars). Estos estats són importants, i si els estats estacionarios es classifiquen i es poden comprendre, llavors és més fàcil de resoldre l'equació de Schrödinger depenent del temps per a qualsevol estat. La equació de Schrödinger independent del temps és l'equació que descriu els estats estacionarios. (Solament s'utilisa quan el Hamiltoniano no és depenent del temps. No obstant, en cada u d'estos casos la funció d'ona total seguirà dependent del temps.)

És dir, l'equació diu que:

Quan l'operador Hamiltoniano actua sobre certa funció d'ona Ψ, i el resultat és proporcional a la mateixa funció d'ona Ψ, llavors Ψ és un estat estacionario, i la constant de proporcionalitat, I, és l'energia de l'estat Ψ.

L'equació de Schrödinger independent del temps, en terminologia d'àlgebra llineal, és una equació en autovalorés.

Una coneguda aplicació, és l'equació de Schrödinger no relativista per a una partícula simple movent-se en un camp elèctric (pero no en un magnètic):

Orige de l'equació

Context històric

Al començ de el XX s'havia comprovat que la llum presentava una dualitat ona corpúscul, és dir, la llum podia manifestar-se (segons les circumstàncies) com a partícula (fotó en l'efecte fotoeléctrico), o com ona electromagnètica en l'interferència lluminosa. En 1923 Louis-Victor de Broglie va propondre generalisar esta dualitat a totes les partícules conegudes. Va propondre l'hipòtesis, paradòxica en el seu moment, de que a tota partícula clàssica microscòpica se li pot assignar una ona, lo que es va comprovar experimentalment en 1927 quan es va observar la difracció d'electrons. Per analogia en els fotons, De Broglie associa a cada partícula lliure en energia $E$ i cantitat de moviment $p$ una freqüència $\nu$ i una llongitut d'ona $\lambda$:

La comprovació experimental feta per Clinton Davisson i Lester Germer va mostrar que la llongitut d'ona associada als electrons medida en la difracció segons la fòrmula de Bragg es corresponia en la llongitut d'ona predita per la fòrmula de De Broglie.

Eixa predicció va dur a Schrödinger a tractar d'escriure una equació per a l'ona associada de De Broglie que per a escales macroscòpiques es reduïra a l'equació de la mecànica clàssica de la partícula. L'energia mecànica total clàssica és:

L'èxit de l'equació, deduïda d'esta expressió utilisant el principi de correspondència, va ser immediat per l'evaluació dels nivells quantificats d'energia del electró en l'àtom d'hidrogen, puix això permetia explicar l'espectre d'emissió de l'hidrogen: séries de Lyman, Balmer, Bracket, Paschen, Pfund, etc.

L'interpretació física correcta de la funció d'ona de Schrödinger va ser donada en 1926 per Max Born. En raó del caràcter provabiliste que s'introduïa, la mecànica ondulatoria de Schrödinger va suscitar inicialment la desconfiança d'alguns físics de renom com Albert Einstein, per a qui «Deu no juga als daus» i del propi Schrödinger.

La derivació històrica

L'esquema conceptual utilisat per Schrödinger per a derivar la seua equació reposa sobre una analogia formal entre l'òptica i la mecànica:

• En l'òptica ondulatoria, l'equació de propagació en un mig transparent d'índex real n variant llentament a l'escala de la llongitut d'ona conduïx —mentres es busca una solució monocromàtica a on l'amplitut varia molt llentament davant la fase— a una equació aproximada denominada eikonal. És l'aproximació de l'òptica geomètrica, a la qual està associada el principi variacional de Fermat.
• En la formulació hamiltoniana de la mecànica clàssica, existix una equació d'Hamilton-Jacobi (que en última instància és equivalent a les lleis de Newton). Per a una partícula massiva no relativista somesa a una força que deriva d'una energia potencial, l'energia mecànica total és constant i l'equació d'Hamilton-Jacobi per a la ”funció característica d'Hamilton” s'assembla formalment a l'equació de la eikonal (el principi variacional associat és el principi de mínima acció.)

Este paralelisme ho havia notat ya Hamilton en 1834, pero ell no tenia una raó per a dubtar de la validea de la mecànica clàssica. Despuix de la hipòtesis de De Broglie de 1923, Schrödinger diu: l'equació de la eikonal sent una aproximació a l'equació d'ona de l'òptica ondulatoria, busquem l'equació d'ona de la "mecànica ondulatoria" (a realisar) a on l'aproximació serà l'equació d'Hamilton-Jacobi. Lo que falta, primer per a una ona estacionaria (I = cte), despuix per a una ona de qualsevol tipo.

Schrödinger hi havia en efecte començat per tractar el cas d'una partícula relativista —com de Broglie abans que ell—. Llavors havia obtingut l'equació coneguda hui dia en el nom de Klein-Gordon, pero la seua aplicació al cas del potencial elèctric de l'àtom d'hidrogen donava uns nivells d'energia incompatibles en els resultats experimentals. Això farà que es concentre sobre el cas no-relativiste, en l'èxit conegut.