Oscilador harmònic quàntic

El oscilador harmònic quàntic és l'anàlec mecànic quàntic del oscilador harmònic clàssic. És un dels sistemes modele més important en mecànica quàntica, ya que qualsevol potencial es pot aproximar per un potencial harmònic en les proximitats del punt d'equilibri estable (mínim). Ademés, és un dels sistemes mecànic quàntics que admet una solució analítica senzilla.

Oscilador harmònic monodimensional

Hamiltoniano, energia i autofunciones

Archiu:HarmOsziFunktionen.png

Funcions d'ona per als huit primers autoestados, $v=0\text{ a }7$. L'eix horisontal mostra la posició i en unitats (h/2πmω)^1/2. Les gràfiques estan sense normalisar.

Archiu:QHarmonicOscillator.png

Densitat de provabilitat dels primers autoestados (dimensió vertical, en els de menor energia en la part inferior) per a les diferents localisacions espacials (dimensió horisontal).

En el problema de l'oscilador harmònic unidimensional, una partícula de massa $m$ està somesa a un potencial quadràtic $V(x)=\frac{1}{2}k{x}^2$. En Mecànica Clàssica $k=m{{\omega }_0}^2$ es denomina constant de força o constant elàstica, i depén de la massa $m$ de la partícula i de la freqüència angular ${\omega }_0$.

El Hamiltoniano quàntic de la partícula és:

a on $x$ és l'operador posició i $\hat{p}$ és l'operador moment $(\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx})$. El primer terme representa l'energia cinètica de la partícula, mentres que el segon representa l'energia potencial. En la finalitat d'obtindre els estats estacionarios (és dir, les autofunciones i els autovalores del Hamiltoniano o valors dels nivells d'energia permesos), tenim que resoldre l'equació de Schrödinger independent del temps

Es pot resoldre l'equació diferencial en la representació de coordenades utilisant el método de desenrollar la solució en série de potències. S'obté aixina que la família de solucions és

a on $v$ representa el número quàntic vibracional. Les huit primeres solucions ($v=0\text{ a }7$) es mostren en la figura de la dreta. Les funcions $H_n$ són els polinomis de Hermite:

No es deuen confondre en el Hamiltoniano, que a voltes es denota per H (encara que és preferible utilisar la notació $\hat{H}$ per a evitar confusions). Els nivells d'energia són

Este espectre d'energia destaca per tres raons. La primera és que les energies estan "cuantizadas" i solament poden prendre valors discrets, en fraccions semienteras 1/2, 3/2, 5/2, ... de $\hslash \omega$. Este resultat és característic dels sistemes mecano-quàntics. En la següent secció sobre els operadors escala farem un detallat anàlisis d'este fenomen. La segona és que l'energia més baixa no coincidix en el mínim del potencial (zero en este cas). Aixina, l'energia més baixa possible és $\hslash \omega /2$, i es denomina "energia del estat fonamental" o energia del punt zero. L'última raó és que els nivells d'energia estan equiespaciados, al contrari que en el model de Bohr o la partícula en una caixa.

Convé destacar que la densitat de provabilitat de l'estat fonamental es concentra en l'orige. És dir, la partícula passa més temps en el mínim del potencial, com seria d'esperar en un estat de poca energia. A mida que l'energia aumenta, la densitat de provabilitat es concentra en els "punts de tornada clàssics", a on l'energia dels estats coincidix en l'energia potencial. Este resultat és consistent en el de l'oscilador harmònic clàssic, per al qual la partícula passa més temps (i per tant és a on és més provable trobar-la) en els punts de tornada. Se satisfà aixina el principi de correspondència.

Aplicació: molècules diatómicas

Artícul principal → Diatómico.

Per a estudiar el moviment de vibració dels núcleus es pot utilisar, en una primera aproximació, el model de l'oscilador harmònic. Si considerem menudes vibracions entorn al punt d'equilibri, podem desenrollar el potencial electrònic en série de potències. Aixina, en el cas de menudes oscilacions el terme que domina és el quadràtic, és dir, un potencial de tipo harmònic. Per tant, en molècules diatómicas, la freqüència fonamental de vibració vindrà donada per: [1]

$\nu =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{\mu }}$

que es relaciona en la freqüència angular per mig de $\omega =2\pi \nu$ i depén de la massa reduïda $\mu$ de la molècula diatómica.