Constant elàstica

Una constant elàstica és cada u dels paràmetros físicament mesurables que caracterisen el comportament elàstic d'un sòlit deformable elàstic. A voltes s'usa el terme constant elàstica també per a referir-se als coeficients de rigidea d'una barra o placa elàstica.

Un sòlit elàstic llineal i isótropo queda caracterisat solament per mig de dos constants elàstiques, mentres que un sòlit llineal que només és transversalmente isótropo requerix cinc constants. Els materials ortótropos requerixen nou, i un atre tipo de sòlits elàstics llineals en menys simetria poden requerir fins a 21 constants elàstiques.

Materials elàstics isótropo

Per eixa propietat pot provar-se que el comportament d'un material elàstic homogéneu isótropo queda caracterisat per sol dos constants elàstiques. En diversos camps són comuns les següents eleccions de les constants:

• En ingenieria estructural. L'elecció més freqüent és el mòdul elàstic llongitudinal i el coeficient de Poisson (I, ν) [a voltes també s'usa l'elecció equivalent (I, G), vore més alvance].
• En termodinàmica de sòlits deformables resulta molt útil triar el parell (K, G) format pel mòdul de compresibilidad (isotèrmica) K i el mòdul elàstic travesser G.
• Coeficients de Lamé (λ, μ) que també apareixen en el desenrolle de Taylor de l'energia lliure d'Helmholtz.

Aixina tenim un total de sis constants elàstiques comunament usades: I, ν, K, G, λ i μ. Dos qualssevol d'elles caracterisen completament el comportament elàstic, és dir, donat qualsevol paràmetro elàstic d'un material pot expressar-se com a funció de dos qualssevol dels paràmetros anteriors. Òbviament, tots estos parells de constants elàstics estan relacionats, com es resumix en la següent taula:

Relacions entre constants elàstiques (material isótropo llineal)

	$E$: mòdul de Young $\nu$: coeficient de Poisson	$K$: mòdul de compresibilidad $G$: mòdul de rigidea	$\lambda$: ORD coeficient de Lamé $\mu$: segon coeficient de Lamé
$(E,\nu )$	---	$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$ $G=\frac{E}{2(1+\nu )}$	$\lambda =\frac{\nu E}{(1+\nu )(1-2\nu )}$ $\mu =\frac{E}{2(1+\nu )}$
$(K,G)$	$E=\frac{9KG}{3K+G}$ $\nu =\frac{3K-2G}{2(3K+G)}$	---	$\lambda =K-\frac{2G}{3}$ $\mu =G$
$(\lambda ,\mu )$	$E=\frac{\mu (3\lambda +2\mu )}{\lambda +\mu }$ $\nu =\frac{\lambda }{2(\lambda +\mu )}$	$K=\lambda +\frac{2\mu }{3}$ $G=\mu$	---

Expressades en térmens del mòdul de Young i el coeficient de Poisson les equacions constitutives són:

$\left(\begin{array}{c}{\epsilon }_{xx}\\ {\epsilon }_{yy}\\ {\epsilon }_{zz}\\ {\epsilon }_{xy}\\ {\epsilon }_{xz}\\ {\epsilon }_{yz}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}\frac{1}{E}& -\frac{\nu }{E}& -\frac{\nu }{E}& & & \\ -\frac{\nu }{E}& \frac{1}{E}& -\frac{\nu }{E}& & & \\ -\frac{\nu }{E}& -\frac{\nu }{E}& \frac{1}{E}\\ & & & \frac{2(1+\nu )}{E}& 0& 0\\ & & & 0& \frac{2(1+\nu )}{E}& 0\\ & & & 0& 0& \frac{2(1+\nu )}{E}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\sigma }_{xx}\\ {\sigma }_{yy}\\ {\sigma }_{zz}\\ {\sigma }_{xy}\\ {\sigma }_{xz}\\ {\sigma }_{yz}\end{array}\right)$

Les relacions inverses vénen donades per:

$\left(\begin{array}{c}{\sigma }_{xx}\\ {\sigma }_{yy}\\ {\sigma }_{zz}\\ {\sigma }_{xy}\\ {\sigma }_{xz}\\ {\sigma }_{yz}\end{array}\right)=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}\left(\begin{array}{cccccc}1-\nu & \nu & \nu & & & \\ \nu & 1-\nu & \nu & & & \\ \nu & \nu & 1-\nu & & & \\ & & & \frac{1}{2}& 0& 0\\ & & & 0& \frac{1}{2}& 0\\ & & & 0& 0& \frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\epsilon }_{xx}\\ {\epsilon }_{yy}\\ {\epsilon }_{zz}\\ {\epsilon }_{xy}\\ {\epsilon }_{xz}\\ {\epsilon }_{yz}\end{array}\right)$

Materials elàstics ortótropos

Alguns materials elàstics són anisótropos, lo que significa que el seu comportament elàstic, en concret la relació entre tensions aplicades i deformacions unitàries és diferent per a diferents direccions.

Els materials elàstics ortótropos presenten una forma comuna d'anisotropía, en la que el seu comportament elàstic queda caracterisat per una série de constants elàstiques associades a tres direccions mútuament perpendiculars. L'eixemple més conegut de material ortótropo és la fusta que presenta diferent mòdul d'elasticitat llongitudinal (mòdul de Young) a lo llarc de la fibra, tangencialmente als anells de creiximent i perpendicularmente als anells de creiximent.

El comportament elàstic d'un material ortótropo queda caracterisat per nou constants independents: 3 mòduls d'elasticitat llongitudinal (I_x, I_i, I_z), 3 mòduls de rigidea (G_xy, G_yz, G_zx) i 3 coeficients de Poisson (ν_xy, ν_yz, ν_zx). De fet per a un material ortótropo la relació entre les components del tensor tensió i les components del tensor deformació ve donada per:

$\left(\begin{array}{c}{\epsilon }_{xx}\\ {\epsilon }_{yy}\\ {\epsilon }_{zz}\\ {\epsilon }_{xy}\\ {\epsilon }_{xz}\\ {\epsilon }_{yz}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}\frac{1}{E_x}& -\frac{{\nu }_{yx}}{E_y}& -\frac{{\nu }_{zx}}{E_z}& & & \\ -\frac{{\nu }_{xy}}{E_x}& \frac{1}{E_y}& -\frac{{\nu }_{zy}}{E_z}& & & \\ -\frac{{\nu }_{xz}}{E_x}& -\frac{{\nu }_{yz}}{E_y}& \frac{1}{E_z}\\ & & & \frac{1}{G_{xy}}& 0& 0\\ & & & 0& \frac{1}{G_{xz}}& 0\\ & & & 0& 0& \frac{1}{G_{yz}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\sigma }_{xx}\\ {\sigma }_{yy}\\ {\sigma }_{zz}\\ {\sigma }_{xy}\\ {\sigma }_{xz}\\ {\sigma }_{yz}\end{array}\right)$

A on: $\frac{{\nu }_{yx}}{E_y}=\frac{{\nu }_{xy}}{E_x}\frac{{\nu }_{zx}}{E_z}=\frac{{\nu }_{xz}}{E_x}\frac{{\nu }_{yz}}{E_y}=\frac{{\nu }_{zy}}{E_z}(*)$

Com pot vore's les components que governen l'allargament i les que governen la distorsió estan desacopladas, lo que significa que en general és possible produir allargament entorn a un punt sense provocar distorsió i viceversa. Les equacions inverses que donen les deformacions en funció de les tensions prenen una forma alguna cosa més complicada:

Ademés la magnitut $\Delta$ ve donada per la relació:

$\Delta :=1-{\nu }_{xy}{\nu }_{yx}-{\nu }_{xz}{\nu }_{zx}-{\nu }_{yz}{\nu }_{zy}-{\nu }_{xz}{\nu }_{zy}{\nu }_{yx}-{\nu }_{zx}{\nu }_{xy}{\nu }_{yz}$

De fet la matriu anterior, que representa al tensor de rigidea és simètrica ya que de les relacions (*) li la simetria de l'anterior matriu posat que:

$\frac{{\nu }_{xy}+{\nu }_{xz}{\nu }_{zy}}{E_x}=\frac{{\nu }_{yx}+{\nu }_{yz}{\nu }_{zx}}{E_y}\frac{{\nu }_{xz}+{\nu }_{xy}{\nu }_{yz}}{E_x}=\frac{{\nu }_{yx}+{\nu }_{yz}{\nu }_{zx}}{E_z}\frac{{\nu }_{yz}+{\nu }_{yx}{\nu }_{xz}}{E_y}=\frac{{\nu }_{zy}+{\nu }_{zx}{\nu }_{xz}}{E_z}$

Materials transversalmente isótropo

Un cas particular de material ortótropo és el dels materials transversalmente isótropo en els que existix una direcció preferent o llongitudinal i totes les seccions perpendiculars a la mateixa són mecánicamente equivalents. Aixina, en qualsevol secció travessera a la direcció diferent hi haurà isotropía i el número de constants elàstiques independents necessàries per a caracterisar dit material serà 5 i no 9, com en el cas d'un material ortotropo general. Les cinc constants independents seran de fet: 2 mòduls d'elasticitat llongitudinal (I_L, I_t), 1 mòdul de rigidea (G_t) i 2 coeficients de Poisson (ν_L, ν_Lt). Estes constants es relacionen en les demés constants generals d'un material ortótropo per mig d'estes relacions:

Materials anisótropos (model rariconstante)

Durant les últimes décades de el XIX va existir una polèmica entre Cauchy, Green, Poisson, Voight i atres sobre el número màxim que caracterisava un material elàstic anisótropo. Si ben originalment Cauchy (1828) havia acceptat que el número eren 21, alguns arguments adicionals varen dur a pensar a Cauchy que per a molts materials devia complir-se ademés que:

per lo que el número total de constants elàstiques seria de 15. Este model en menys constants elàstiques es coneix com el model rariconsonante o la teoria rariconsonante, recolzada per Poisson, lord Kelvin, Lamé front a l'hipòtesis multiconsonante (en 21 paràmetros independents) sostinguda per Green, Stokes o Kirchhoff. Els experiments decisius de Voight varen demostrar que existixen materials que requerixen una descripció multiconsonante i per tant en 21 constants. No obstant, experimentalment s'han trobat també materials en sol 15 constants independents.