Tensor tensió

Archiu:Stress tensor.png

Tensor tensió

Archiu:Stress in a continuum.svg

Components del tensor tensió en un punt P d'un sòlit deformable.

En mecànica de mijos continus, el tensor tensió, també cridat tensor de tensions o tensor d'esforços és el tensor que dona conte de la distribució de tensions i esforços interns en el mig continu.

Tipos de tensor tensió

Tensor tensió de Cauchy

Archiu:Tenseur des contraintes generalise.png

Representació gràfica de les components del tensor tensió en una base ortogonal.

La teorema de Cauchy sobre les tensions d'un cos, establix que donada una distribució de tensions internes sobre la geometria d'un mig continu deformat, que satisfaça les condicions del principi de Cauchy existix un camp tensorial T simètric definit sobre la geometria deformada en les següents propietats:

1. . $t(𝐱,n)=[T_C(𝐱)](n),$
2. . $\mathrm{\nabla }\cdot T_C(𝐱)+f(𝐱)=0,$
3. . $T_C(𝐱)=T_C^T(𝐱)$

La tercera propietat significa que este tensor vindrà dau sobre les coordenades especificades per una matriu simètrica. cal senyalar que en un problema mecànic a priori és difícil conéixer el tensor tensió de Cauchy ya que este està definit sobre la geometria del cos una volta deformat, i esta no és coneguda de bestreta. Per tant prèviament és necessari trobar la forma deformada per a conéixer exactament el tensor de Cauchy. No obstant, quan les deformacions són menudes, en ingenieria i aplicacions pràctiques s'ampra este tensor encara que definit sobre les coordenades del cos sense deformar (la qual cosa no conduïx a errors de càlcul excessiu si totes les deformacions màximes són inferiors a 0,01).

Fixat un sistema de referència ortogonal, el tensor tensió de Cauchy ve dau per una matriu simètrica, les components de la qual són:

$[T_C{]}_{xyz}=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}& {\sigma }_{13}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}& {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{31}& {\sigma }_{32}& {\sigma }_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{xx}& {\sigma }_{xy}& {\sigma }_{xz}\\ {\sigma }_{yx}& {\sigma }_{yy}& {\sigma }_{yz}\\ {\sigma }_{zx}& {\sigma }_{zy}& {\sigma }_{zz}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_x& {\tau }_{xy}& {\tau }_{xz}\\ {\tau }_{yx}& {\sigma }_y& {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{zx}& {\tau }_{zy}& {\sigma }_z\end{array}\right]$

La tercera forma és la forma comuna de cridar a les components del tensor tensió en ingenieria.

Primer tensor tensió de Piola-Kirchhoff

Els tensors de Piola-Kirchhoff s'introduïxen per a evitar la dificultat de tindre que treballar en un tensor definit sobre la geometria ya deformada (que normalment no és coneguda de bestreta). Es definix el cridat primer tensor de Piola-Kirchhoff ($𝐏$) i el cridat segon tensor de Piola-Kirchhoff ($𝐒$). La relació entre abdós tensors ve donada per:

A on $𝐅$ és el tensor gradient de deformació. Este tensor no obstant, té el problema de que no és simètric (vore segon tensor tensió de Piola-Kirchhoff).

Segon tensor tensió de Piola-Kirchhoff

Este tensor s'introduïx per a conseguir un tensor definit sobre la geometria prèvia a la deformació i que ademés siga simètric, a diferència del primer tensor de Piola-Kirchhoff que no té per qué ser simètric. El segon tensor tensió de Piola-Kirchhoff ve dau per:

${\Sigma }_R(𝐱)=\det (\mathrm{\nabla }F)((\mathrm{\nabla }F{)}^{-1})T_C(𝐱)(\mathrm{\nabla }F{)}^{-T},$

Tensor tensió de Kirchhoff

El tensor donat per:

$𝝉=J𝝈$

es denomina tensor de Kirchhoff, sent $J$ el determinant del gradient de deformació $𝑭$. Esta forma del tensor de tensions s'usa extensivamente en algoritmes numèrics per a plasticidad de metals (a on no hi ha canvi de volum durant la deformació plàstica). Alguns autors també ho denominen "tensor de Cauchy ponderat".