Determinant (matemàtica)

Determinant (matemàtica)

En matemàtiques es definix el determinant com una forma multilineal alternada sobre un espai vectorial. Esta definició indica una série de propietats matemàtiques i generalisa el concepte de determinant d'una matriu fent-ho aplicable en numerosos camps. El concepte de determinant o volum orientat va ser introduït per a estudiar el número de solucions dels sistemes d'equacions llineals.

Història dels determinants

Els determinants varen ser introduïts en Occident a partir de el XVI, açò és, abans que les matrius, que no varen aparéixer fins a el XIX. Va ser en China (Jiuzhang Suanshu) a on per primera volta es va utilisar taula de zeros i es va aplicar un algoritme que, des de el XIX, es coneix en el nom de Eliminació de Gauss-Jordan.^{cita requerida}

El terme matriu va ser creat per James Joseph Sylvester, tractant de donar a entendre que era “la mare dels determinants”.

Alguns dels més grans matemàtics dels sigles XVIII i XIX varen contribuir al desenroll de les propietats dels determinants. La majoria dels historiadors coincidixen en afirmar que la teoria dels determinants es va originar en el matemàtic alemà Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Leibniz va amprar els determinants en 1693 con relación a els sistemes d'equacions llineals simultànees. No obstant hi ha els qui creuen que el matemàtic japonés Seki Kowa va fer lo mateix uns anys abans.^{cita requerida}

Les contribucions més prolífiques a la teoria dels determinants varen ser les del matemàtic francés Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Cauchy va escriure en 1812 una memòria de 84 pàgines que contenia la primera demostració de la fòrmula $\det AB=\det A\det B$.

Hi ha alguns atres matemàtics que mereixen ser mencionats ací. El desenroll d'un determinant per cofactores va ser amprat per primera volta pel matemàtic francés Pierre-Simon Laplace (1749-1827).^{cita requerida}

Un contribuent principal en la teoria dels determinants (estant sol Cauchy abans que ell) va ser el matemàtic alemà Carl Gustav Jacobi (1804-1851). Va ser ell en qui la paraula “determinant” va guanyar l'acceptació definitiva. Sylvester va cridar més tart jacobiano a este determinant.^{cita requerida}

Primers càlculs de determinants

En el seu sentit original, el determinant determina l'unicitat de la solució d'un sistema d'equacions llineals. Va ser introduït per al cas d'orde 2 per Cardano en 1545 en la seua obra Ars Magna com una regla per a la resolució de sistemes de dos equacions en dos incògnites. Esta primera fòrmula du el nom de regula de modo.

L'aparició de determinants d'órdens superiors va tardar encara més de cent anys en aplegar. Curiosament el japonés Kowa Seki i l'alemà Leibniz varen donar els primers eixemples casi simultàneament.

Leibniz va estudiar els distints tipos de sistemes d'equacions llineals. Al no dispondre de la notació matricial, representava els coeficients de les incògnites en una parella d'índexs: aixina que escrivia ij per a representar $a_{ij}$. En 1678 es va interessar per un sistema de tres equacions en tres incògnites i va obtindre, per a dit eixemple, la fòrmula de desenroll a lo llarc d'una columna. El mateix any, va escriure un determinant d'orde 4, correcte en tot llevat en el signe. Leibniz no va publicar este treball, que va semblar quedar oblidat fins que els resultats varen ser redescubiertos de forma independent cinquanta anys més tart.

En el mateix periodo, Kowa Seki va publicar un manuscrit sobre els determinants, a on es troben fòrmules generals difícils d'interpretar. Sembla que es donen fòrmules correctes per a determinants d'orde 3 i 4, i de nou els signes estan mal per als determinants de tamany superior. El descobriment es va quedar sense futur a causa del tanque de Japó al món exterior per órdens del shōgun, lo que es veu reflectit en l'expulsió dels jesuïtes en 1638.

Determinants de qualsevol dimensió

En 1748, en un tractat pòstum d'àlgebra de MacLaurin apareix la regla per a obtindre la solució d'un sistema de n equacions llineals en n incògnites quan n és 2, 3 o 4, per mig de l'us de determinants. En 1750, Cramer dona la regla per al cas general, encara que no oferix demostració alguna. Els métodos de càlcul dels determinants són fins a llavors delicats degut a que es basen en la noció de signatura d'una permutació.

Els matemàtics es familiarizan en este nou objecte a través dels artículs de Bézout en 1764, de Vandermonde en 1771 (que proporciona concretament el càlcul del determinant de l'actual matriu de Vandermonde). En 1772, Laplace establix les regles de recurrencia que duen el seu nom. En l'any següent, Lagrange descobrix la relació entre el càlcul dels determinants i el dels volums.

Gauss utilisa per primera volta el terme «determinant», en les Disquisitiones arithmeticae en 1801. Ho amprava per a lo que hui dia denominem discriminante d'una cuádrica i que és un cas particular de determinant modern. Igualment va estar prop d'obtindre la teorema del determinant d'un producte.

Aparició de la noció moderna de determinant

Cauchy va ser el primer en amprar el terme determinant en el seu significat modern. Es va encarregar de realisar una #síntesis dels coneiximents anteriors i va publicar en 1812 la fòrmula i demostració del determinant d'un producte junt en l'enunciat i demostració de la regla de Laplace. Eixe mateix any Binet va oferir una atra demostració (incorrecta) per a la fòrmula del determinant d'un producte. Paralelament Cauchy establix les bases de l'estudi de la reducció d'endomorfismes.

En 1825 Heinrich F. Scherk va publicar noves propietats dels determinants. Entre les propietats trobades estava la propietat de que en una matriu en la que una fila és combinació llineal de vàries d'atres files de la matriu el determinant és zero.

En la publicació dels seus tres tractats sobre determinants en 1841 en la revista de Crelle, Jacobi aporta a la noció una gran notorietat. Per primera volta presenta métodos sistemàtics de càlcul baix una forma algorítmica. De la mateixa manera, fa possible l'evaluació del determinant de funcions en la definició del jacobiano, lo que supon un gran alvanç en l'abstracció del concepte del determinant.

El quadro matricial és introduït pels treballs de Cayley i James Joseph Sylvester^{cita requerida}. Cayley és també l'inventor de la notació dels determinants per mig de barres verticals (1841) i establix la fòrmula per al càlcul de l'inversa d'una matriu per mig de determinants(1858).

La teoria es veu reforçada per l'estudi de determinants que tenen propietats de simetria particulars i per l'introducció del determinant en nous camps de les matemàtiques, com el wronskiano en el cas de les equacions diferencials llineals.

Definició de determinant

Orige de la construcció del determinant: volum de paralelepípedes

En primer lloc anem a generalisar les nocions de paralelogramo i paralelepípede a un espai vectorial $E$ sobre $𝕂$ de dimensió finita $n$. Els paralelogramos en ${ℝ}^2$ i els paralelepípedes en ${ℝ}^3$ es definixen com l'espai generat per dos o tres vectores (tants com la dimensió) respectivament prenent els seus coeficients entre 0 i 1. Esta és la noció que anem a generalisar a dimensió $n$. Daus $n$ vectores $x_1,\dots ,x_n$ de $E$, definim el "paralelepípede" que formen com

$P=\{x=\sum _{i=1}^n{t}_i{x}_i:0\le t_i\le 1\}$.

És convenient visualisar este conjunt com una espècie de rajola torçuda.

Quan l'espai consta d'un producte escalar, podem calcular el volum del paralelepípede, i est complix les tres propietats intuïtives següents:

1. Vore image la dreta. El volum d'una rajola en un costat que siga la suma de dos vectores (conjunt d'avall a la dreta) és la suma dels volums de dos rajoles, un substituint eixe costat pel primer sumant, i un atre substituint-ho pel segon (conjunt d'avall a l'esquerra).
2. Multiplicar un vector per una constant es correspon en estirar eixe costat de la rajola segons eixa constant, lo que produïx que el volum de la rajola també es multiplique per eixa constant.
3. Si dos vectores són iguals, la rajola que formen té volum nul (la rajola formada és "pla"; no té "gruixa").

El determinant d'un conjunt de vectores generalisarà el volum de la rajola que formen. No obstant, la noció de determinant és més general, puix es pot definir en un espai vectorial sense estructura particular (concretament, sense producte escalar). Per a això definirem una aplicació que generalise el volum de la rajola demanant-li simplement que complixca les tres propietats anteriors. Tal aplicació es diu una forma n-llineal alternada.

Formes n-llineals alternades

Tornem a prendre $E$ un espai vectorial de dimensió $n$ sobre un cos $𝕂$. Una forma n-llineal alternada és una aplicació que pren $n$ vectores i els associa un escalar en $𝕂$ que satisfà les tres propietats de l'apartat anterior (per això generalisa la noció de volum). Formalment, deu ser:

1. i 2. llineal en cada variable ($n$-llineal). Açò és, per a vectores $x_1,\dots ,x_n,{x_i}^{\prime }\in E$ i escalares $a,b\in 𝕂$, es deu satisfer que $f(x_1,\dots ,a{x}_i+b{x_i}^{\prime },\dots ,x_n)=af(x_1,\dots ,x_i,\dots ,x_n)+bf(x_1,\dots ,{x_i}^{\prime },\dots ,x_n)$. La linealidad respecte de la suma es correspon en la propietat 1 anterior de "enganchar rajoles" i, respecte del producte per escalar, en la 2 de "estirar un costat".

3. alternada, és dir, s'anula en ser evaluada en una tupla de vectores que continga dos vectores idèntics. És dir, si existixen $i\ne j$ tals que $x_i=x_j$, llavors $f(x_1,\dots ,x_n)=0$. Açò es correspon en la propietat 3 anterior.

Les primeres dos propietats són molt naturals de considerar: expliquen cóm es comporta el determinant (el volum d'un paralelepípede) con relación a les operacions bàsiques en vectores. La tercera sembla una miqueta menys natural, pero sorgix naturalment en considerar el determinant com un volum. Observe's que en esta generalisació el volum pot ser negatiu, per la propietat 2 (el "volum del paralelepípede" serà de fet el valor absolut de la forma alternada). En efecte, canviar un sol vector pel seu opost produïx un canvi de signe. Este signe es pot entendre com l'orientació dels vectores (en dos dimensions es pot vore com el sentit horari o antihorario del gir que determina anar del primer vector cap al segon; en tres dimensions, els dos signes es corresponen en tuplas de vectores que seguixen la regla de la mà dreta o la regla de la mà esquerra).

Determinant d'una família de vectores fixada una base

Si suponem que en $E$ hi ha fixada una base $e=(e_1,\dots ,e_n)$, podem definir el determinant en base $e$ com l'única forma n-llineal alternada ${\det }_e:E\times \stackrel{n)}{\dots }\times E\to 𝕂$ que verifica que ${\det }_e(e_1,\dots ,e_n)=1$. És dir, intuitivamente estem afegint una "unitat de mida": el volum de la rajola que formen els vectores de la base. Ademés, des del punt de vista de l'orientació, també l'estem fixant: la base fixada i atres bases en la mateixa orientació tindran l'orientació positiva, mentres que les bases en l'atra orientació la tindran negativa.

Note's que s'ha destacat l'unicitat de tal aplicació. En efecte, res indica a priori que hi haja una sola aplicació en les condicions impostes (de fet, ni que existixca una siquiera). Açò és conseqüència de la fòrmula de Leibniz (demostrada en eixe artícul en una notació que s'introduïx en l'apartat següent), que afirma que existix una única forma n-llineal alternada que valga un en una base prefixada i, ademés, dona una fòrmula explícita per a calcular-la:

${\det }_e(x_1,\dots ,x_n)=(\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\epsilon (\sigma )\prod _{j=1}^n{X}_{\sigma (j),j})$,

a on $X_{ij}$ denota la component $i$-ésima de $x_j$ en base $e$, ${𝔖}_n$ és el grup simètric de $n$ elements i $\epsilon (\sigma )$ és el signe de la permutació $\sigma$.

La demostració de la teorema es fa en dos passos: primer es demostra que la fòrmula donada complix les propietats de n-linealidad i alternança que se li demanen a un determinant en base $e$ (en açò queda provada l'existència) i després es pren una forma n-llineal alternada arbitrària $f$ i es demostra que, fixada una base $e$ qualsevol, el seu valor en n vectores $x_1,\dots ,x_n$ ve donat necessàriament per

$f(x_1,\dots ,x_n)=(\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\epsilon (\sigma )\prod _{j=1}^n{X}_{\sigma (j),j})f(e_1,\dots ,e_n)(*)$

De l'hipòtesis extra ${\det }_e(e_1,\dots ,e_n)=1$ s'obté la fòrmula desijada i, en ella, l'unicitat.

Hem escrit este argument ací perque de la linealidad, l'anulació i $(*)$ s'obté el següent resultat:

Determinant d'una matriu

Acabem definint el determinant d'una matriu. Siga $A=(a_{ij})$ una matriu quadrada $n\times n$ en coeficients en un cos $𝕂$. Les columnes de la matriu es poden vore com vectores de l'espai vectorial ${𝕂}^n$. En este últim podem considerar una base canònica: $e_i=(0,\dots ,\stackrel{i)}{1},\dots ,0),i=1,\dots ,n$.

Definim puix el determinant de la matriu $A$ com el determinant dels seus vectores columna en base canònica.

També podríem haver definit directament el determinant d'una matriu sense passar pel determinant en una base. Per a $i=1,\dots ,n$, escrivim $A=(C_i)\in {ℳ}_n(𝕂)$ la matriu quadrada que té per columnes els vectores $C_i$. Les propietats anteriors es traduirien que $\det :{ℳ}_n(𝕂)\to 𝕂$ és una aplicació que verifica:

1. $\det (C_1,\dots ,C_i+{C_i}^{\prime },\dots ,C_n)=\det (C_1,\dots ,C_i,\dots ,C_n)+\det (C_1,\dots ,{C_i}^{\prime },\dots ,C_n)$,
2. $\det (C_1,\dots ,\lambda C_i,\dots ,C_n)=\lambda \det (C_1,\dots ,C_i,\dots ,C_n)\mathrm{\forall }\lambda \in 𝕂$,
3. Si $\mathrm{\exists }i\ne j$ tals que $C_i=C_j$, llavors $\det (C_1,\dots ,C_n)=0$,
4. $\det ({\mathrm{Id}}_n)=1$.

Lo anterior és només una forma distinta d'escriure les propietats que hem definit en les seccions anteriors. En concret, la pàgina de la fòrmula de Leibniz (a on s'ha remés al llector per a la demostració de la mateixa) usa esta definició. En este cas, la fòrmula es llig (equivalentemente a l'anterior per cóm hem definit determinant d'una matriu a partir de determinant de vectores fixada una base) com

$\det (A)=\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\epsilon (\sigma )\prod _{j=1}^n{a}_{\sigma (j),j}$.

Açò és concretament lo que es demostra en la pàgina Fòrmula de Leibniz per al càlcul de determinants.

Determinant d'un endomorfisme

Siga $f:E\to E$ un endomorfisme. Donada una forma n-llineal alternada $D$ qualsevol, l'aplicació $\hat{f}(D):E\times \stackrel{n)}{\dots }\times E\to 𝕂$ donada per $(\hat{f}(D))(v_1,\dots ,v_n)=D(f(v_1),\dots ,f(v_n))$ és n-llineal alternada, per ser $f$ llineal i $D$ n-llineal alternada. Per tant, si denotem per $𝒜(E)$ l'espai vectorial de formes n-llineals alternades, $\hat{f}:𝒜(E)\to 𝒜(E)$ és una aplicació que és llineal clarament.

Ara, per $(*)$ de la secció anterior, fixada una base $e$ de $E$, $({\det }_e)$ és una base de $𝒜(E)$, puix qualsevol forma n-llineal alternada es pot escriure com $D=\lambda {\det }_e,$ en $\lambda =D(e_1,\dots ,e_n)$. Per tant, $𝒜(E)$ té dimensió $\dim 𝒜(E)=1$. Aixina que, $\hat{f}$ és necessàriament una homotecia: $\hat{f}=a{\mathrm{id}}_{𝒜(E)}$, en $a\in 𝕂$.

Definim el determinant de l'endomorfisme $f$ com la raó de la homotecia $\hat{f}$ ($a$ en la notació anterior). És dir, $\det f=a\iff \hat{f}=a{\mathrm{id}}_{𝒜(E)}$.

De fet, si $e$ és una base de $E$, el determinant de l'endomorfisme coincidix en el determinant de la seua matriu en base $e$, $\det f=\det M_e(f)$, qualsevol que siga la base elegida.

S'ha definit el determinant d'un endomorfisme com s'ha definit, i no directament com el determinant d'una matriu associada, perque en este atre cas nos hauria resultat molt més complicat demostrar que està ben definit, és dir, que el determinant de qualsevol matriu associada a l'endomorfisme és el mateix. Mentres que en esta definició nos ha resultat relativament senzill, de l'atra forma hauríem tingut que usar que el determinant del producte de matrius és el producte dels seus determinants, resultat que, encara que cert, no és en absolut senzill de demostrar directament. Vorem més avall que, havent definit correctament el determinant d'un endomorfisme, este resultat és molt més fàcil de demostrar.

Métodos de càlcul

APLa definició que hem donats de determinant no dona cap fòrmula explícita per a calcular-ho; és simplement una llista de característiques que ho determinen unívocamente. Per al càlcul de determinants de matrius de qualsevol orde, existix una regla recursiva (teorema de Laplace) que reduïx el càlcul a sumes i restes de varis determinants d'un orde inferior. Este procés es pot repetir tantes voltes com siga necessari fins a reduir el problema al càlcul de múltiples determinants d'orde tan menut com es vullga. Sabent que el determinant d'un escalar és el propi escalar, és possible calcular el determinant de qualsevol matriu aplicant dit teorema.Ademés d'esta regla, per a calcular determinants de matrius de qualsevol orde podem usar la fòrmula introduïda en la secció anterior per a demostrar l'unicitat del determinant: la fòrmula de Leibniz.

La fòrmula de Leibniz per al determinant d'una matriu quadrada A d'orde n és:

$\det A=\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\epsilon (\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{i,{\sigma }_i}$,

a on la suma es calcula sobre totes les permutacionés σ del conjunt {1,2,...,n}. La posició de l'element i despuix de la permutació σ es denota com σ_i (és una forma més compacta d'escriure els que en la secció anterior denotàvem per $\sigma (i)$). El conjunt de totes les #permutació és el grup simètric ${𝔖}_n$. Per a cada σ, $\epsilon (\sigma )$ és la signatura de σ, açò és +1 si la permutació és parell i −1 si és impar (vore Paritat de #permutació).

En qualsevol dels $n!$ sumants, el terme

$\prod _{i=1}^n{a}_{i,{\sigma }_i}$

denota el producte de les entrades en la posició (i, σ_i), a on i va des d'1 fins a n:

$a_{1,{\sigma }_1}\cdot a_{2,{\sigma }_2}\cdots a_{n,{\sigma }_n}.$

La fòrmula de Leibniz és útil com a definició de determinant; pero, llevat para órdens molt menuts, no és una forma pràctica de calcular-ho: cal portar a terme n! productes de n factors i sumar n! elements. No se sol usar per a calcular el determinant si la matriu té més de tres files.

Matrius d'orde inferior

El cas de matrius d'orde inferior (orde 1, 2 o 3) és molt simple i el seu determinant es calcula en senzilles regles conegudes. Dites regles són també deduibles de la teorema de Laplace.

Una matriu d'orde un, és un cas trivial, pero ho tractarem per a completar tots els casos. Una matriu d'orde un pot ser tractada com un escalar, pero ací la considerarem una matriu quadrada d'orde un:

$A=\left[\begin{array}{c}{a}_{11}\end{array}\right]$

El valor del determinant és igual a l'únic terme de la matriu:

$\det A=\det \left[\begin{array}{c}{a}_{11}\end{array}\right]=a_{11}$.

El determinant d'una matriu d'orde 2:

$A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$

es pot calcular en la següent fòrmula (és la fòrmula de Leibniz):

$|A|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$.

Donada una matriu d'orde 3:

$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$

El determinant d'una matriu d'orde 3 es pot calcular per mig de la regla de Sarrus (una regla mnemotéctica per a la fòrmula de Leibniz en dimensió 3):

$|A|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=(a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32})-(a_{31}{a}_{22}{a}_{13}+a_{32}{a}_{23}{a}_{11}+a_{33}{a}_{21}{a}_{12})$

Determinants d'orde superior

El determinant d'orde n, pot calcular-se per mig del teorema de Laplace a partir d'una fila o columna, reduint el problema al càlcul de n determinants d'orde n-1. Per a això es pren una fila o columna qualsevol, multiplicant cada element pel seu cofactor. El cofactor d'un element $a_{ij}$ de la matriu és el determinant de la matriu que s'obté en eliminar la fila i columna corresponent a dit element, i multiplicant-ho per (-1)^i+j, a on i és el número de fila i j el número de columna. La suma de tots els productes dels elements d'una fila (o columna) qualsevol multiplicats per les seues cofactores és igual al determinant.

En cas d'un determinant d'orde 4, s'obtenen directament determinants d'orde 3 que podran ser calculats per la regla de Sarrus. En canvi, en els determinants d'orde superior, com per eixemple n = 5, en desenrollar els elements d'una llínea, obtindrem determinants d'orde 4, que a la seua volta es deuran desenrollar en pel mateix método, per a obtindre determinants d'orde 3. Per eixemple, per a obtindre en el método especificat un determinant d'orde 4, es deuen calcular 4 determinants d'orde 3. Açò pot allaugerar-se si prèviament es conseguixen tres zeros en una fila o columna, bastant llavors en calcular un determinant d'orde 3 (ya que els demés determinants estaran multiplicats per 0, lo que els anula).

La cantitat d'operacions aumenta molt ràpidament. Per eixemple, per mig d'este método, per a un determinant d'orde 10 es deuran calcular 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 604.800 determinants d'orde 3.

També pot utilisar-se el Método d'eliminació Gaussiana, per a convertir la matriu en una matriu triangular.

Métodos numèrics

Per a reduir el cost computacional dels determinants al mateix temps que millorar la seua estabilitat front a errors de grosseig, s'aplica la regla de Chio, que permet utilisar métodos de triangularización de la matriu reduint en això el càlcul del determinant al producte dels elements de la diagonal de la matriu resultant. Per a la triangularización es pot utilisar qualsevol método conegut que siga numèricament estable. Estos solen basar-se en l'us de matrius ortonormals, com ocorre en el método de Gauss o en l'us de reflexions de Householder o rotacions de Givens.

Determinants en dimensió infinita

Baixe certes condicions pot definir-se el determinant d'aplicacions llineals d'un espai vectorial de Banach de dimensió infinita. En concret en el determinant està definit per als operadors de la classe de determinant que pot a partir dels operadors de la classe de traça. Un eixemple notable va ser el determinant de Fredholm que este va definir en conexió en el seu estudi de l'equació integral que du el seu nom:

A on:

$f(x)$ és una funció coneguda

$\varphi (x)$ és una la funció incògnita

$K(x,y)$ és una funció coneguda anomenada núcleu, que dona lloc al següent operador llineal compacte i de traça finita en l'espai de Hilbert de funcions de quadrat integrable en l'interval [0,1]:

$\hat{K}:L^2[0,1]\to L^2[0,1],(\hat{K}\varphi )(x)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}K(x,y)\varphi (y)dy$

L'equació (*) té solució si el determinant de Fredholm $\det (I+\hat{K})$ no s'anula. El determinant de Fredholm en este cas generalisa el determinant en dimensió finita i pot calcular-se explícitament per mig de:

La pròpia solució de l'equació (*) pot escriure's de manera simple en térmens del determinant quan este no s'anula.

Primers eixemples: àrees i volums

El càlcul d'àreas i volums baix forma de determinants en espais euclídeos apareixen com a casos particulars d'una noció més general de determinant. La lletra mayúscula D (Det) es reserva a voltes per a distinguir-los.

Determinant de dos vectores en el pla euclídeo

Siga P el pla euclídeo. El determinant dels vectores X i X' s'obté en l'expressió analítica

$\det (X,X^{\prime })=\left|\begin{array}{cc}x& x^{\prime }\\ y& y^{\prime }\end{array}\right|=x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }$

o, de manera equivalent, per l'expressió geomètrica

$\det (X,X^{\prime })=\Vert X\Vert \cdot \Vert X^{\prime }\Vert \cdot \sin \theta$

en la qual $\theta$ és l'àngul orientat format pels vectores X i X'.

Propietats

• El valor absolut del determinant és igual a la superfície del paralelogramo definit per X i X' ($X^{\prime }\sin \theta$ és en efecte l'altura del paralelogramo, per lo que A = Base × Altura).
• El determinant és nul si i solament si els dos vectores són colineales (el paralelogramo es convertix en una llínea).
• El seu signe és estrictament positiu si i solament si la mida de l'àngul (X, X ') es troba en ]0,$\pi$[.
• L'aplicació del determinant és bilineal: la linearidad respecte al primer vector s'escriu

$\det (aX+bY,X^{\prime })=a\det (X,X^{\prime })+b\det (Y,X^{\prime })$

i respecte al segon

$\det (X,a{X}^{\prime }+b{Y}^{\prime })=a\det (X,X^{\prime })+b\det (X,Y^{\prime })$

La figura 2, en el pla, ilustra un cas particular d'esta fòrmula. Representa dos paralelogramos adjacents, un definit pels vectores o i v (en vert), i un atre pels vectores o' i v (en blava). És fàcil vore sobre este eixemple l'àrea del paralelogramo definit pels vectores o+o' i v (en grisa): és igual a la suma dels dos paralelogramos precedents a la qual se sostrau l'àrea d'un triàngul i s'afig l'àrea d'un atre triàngul. Abdós triànguls es corresponen per translació i la fòrmula següent es verifica Det (o+o', v)=Det (o, v)+Det (o', v).

El dibuix correspon a un cas particular de la fòrmula de bilinealidad ya que les orientacions han segut elegides de manera que les àrees tinguen el mateix signe, encara que ajuda a comprendre el contingut geomètric.

Generalisació

És possible definir la noció de determinant en un pla euclídeo orientat en una base ortonormal directa B utilisant les coordenades dels vectores en esta base. El càlcul del determinant dona el mateix resultat siga com siga la base ortonormal directa elegida per al càlcul.

Determinant de tres vectores en l'espai euclídeo

Siga I l'espai euclídeo orientat de dimensió 3. El determinant de tres vectores de I es dona per

$\det (X,X^{\prime },X^{″})=\left|\begin{array}{ccc}x& x^{\prime }& x^{″}\\ y& y^{\prime }& y^{″}\\ z& z^{\prime }& z^{″}\end{array}\right|=x\left|\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& y^{″}\\ z^{\prime }& z^{″}\end{array}\right|-x^{\prime }\left|\begin{array}{cc}y& y^{″}\\ z& z^{″}\end{array}\right|+x^{″}\left|\begin{array}{cc}y& y^{\prime }\\ z& z^{\prime }\end{array}\right|=x{y}^{\prime }{z}^{″}+x^{\prime }{y}^{″}z+x^{″}y{z}^{\prime }-x{y}^{″}{z}^{\prime }-x^{\prime }y{z}^{″}-x^{″}{y}^{\prime }z.$

Este determinant du el nom de producte mixt.

Propietats

• El valor absolut del determinant és igual al volum de paralelepípede definit pels tres vectores.
• El determinant és nul si i solament si els tres vectores es troben en un mateix pla (paralelepípede "pla").
• L'aplicació determinant és trilineal: sobretot

$\det (aX+bY,X^{\prime },X^{″})=a\det (X,X^{\prime },X^{″})+b\det (Y,X^{\prime },X^{″})$

Una ilustració geomètrica d'esta propietat es dona en la figura 3 en dos paralelepípedes adjacents, és dir en una cara comuna. L'igualtat següent és llavors intuïtiva:

$\det (u+u^{\prime },v,w)=\det (u,v,w)+\det (u^{\prime },v,w)$.

Propietats

• El determinant d'una matriu és un invariante algebraic, la qual cosa implica que donada una aplicació llineal totes les matrius que la represente tindran el mateix determinant. Això permet definir el valor del determinant no solament per a matrius sino també per a aplicacions llineals.
• El determinant d'una matriu i el del seu trasponer coincidixen: $\det (A^t)=\det (A)$

• Una aplicació llineal entre espais vectorials és invertible si i solament si el seu determinant no és nul. Per lo tant, una matriu en coeficients en un cos és invertible si i solament si el seu determinant és no nul.
• Intercanviar dos columnes d'una matriu canvia el signe del seu determinant.

Determinant del producte

Una propietat fonamental del determinant és el seu comportament multiplicativo front al producte de matrius. Donades dos matrius quadrades $𝐀,𝐁\in {ℳ}_n(𝕂)$,

$\det 𝐀𝐁=\det 𝐀\cdot \det 𝐁$.

El fet de que siguen quadrades és necessari per a que estiguen ben definits els seus determinants, i tenen que ser del mateix orde per a poder definir el seu producte.

Esta propietat és més transcendent de lo que sembla i és molt útil en el càlcul de determinants. En efecte, supongam que volem calcular el determinant de la matriu $𝐀$ i que $𝐔$ és qualsevol matriu en determinant un (l'element neutre respecte al producte del cos). En este cas, es verifica que:

$\det 𝐀=\det 𝐀\cdot \det 𝐔=\det 𝐀𝐔$

i análogamente $\det 𝐀=\det 𝐔𝐀$,

Una aplicació llineal entre dos espais vectorials de dimensió finita es pot representar per mig d'una matriu. La matriu associada a la composició d'aplicacions llineals entre espais de dimensió finita es pot calcular per mig del producte de matrius. Donades dos aplicacions llineals $u$ i $v$, es complix lo següent:

Matrius en blocs

Sean $A,B,C,D$ matrius de tamanys $n\times n,n\times m,m\times n,m\times m$ respectivament. Llavors

$\det \left[\begin{array}{cc}A& 0\\ C& D\end{array}\right]=\det \left[\begin{array}{cc}A& B\\ 0& D\end{array}\right]=\det A\cdot \det D$.

Açò es pot vore de la fòrmula de Leibniz. Amprant la següent identitat

$\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ C& I\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}I& A^{-1}B\\ 0& D-C{A}^{-1}B\end{array}\right]$

veem que per a una matriu inversible A, és

$\det \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]=\det A\cdot \det (D-C{A}^{-1}B)$.

Análogamente, es pot obtindre una identitat similar en $\det D$ factorizado.

Si $d_{ij}$ són matrius diagonals,

$\det \left|\begin{array}{ccc}{d}_{11}& \dots & d_{1c}\\ ⋮& & ⋮\\ d_{r1}& \dots & d_{rc}\end{array}\right|=\det \left|\begin{array}{ccc}\det (d_{11})& \dots & \det (d_{1c})\\ ⋮& & ⋮\\ \det (d_{r1})& \dots & \det (d_{rc})\end{array}\right|.$

Derivada de la funció determinant

La funció determinant pot definir-se sobre l'espai vectorial format per les matrius quadrades d'orde n. Dit espai vectorial pot convertir-se fàcilment en un espai vectorial normado per mig de la norma matricial, gràcies a la qual cosa dit espai es convertix en un espai mètric i topològic, a on es poden definir llímits. El determinant pot definir-se com un morfismo del àlgebra de les matrius al conjunt dels elements del cos sobre el que es definixen les matrius:

La diferencial de la funció determinant ve donada en térmens de la matriu d'adjunts:

A on:

$\text{adj}(𝐀)$ és la matriu d'adjunts.

$\text{tr}(\cdot )$, és la traça de la matriu.

Menors d'una matriu

Artícul principal → Menor (àlgebra llineal).

Ademés del determinant d'una matriu quadrada, donada una matriu es poden definir atres magnituts per mig de l'ocupació de determinants relacionades en les propietats algebraiques de dita matriu. En concret donada una matriu quadrada o rectangular es poden definir els cridats determinants menors d'orde r a partir del determinant de submatrices quadrades de rxr de la matriu original. Donada la matriu $𝐀=[a_{ij}]$:

Es definix qualsevol menor de ranc r com:

Deu notar-se que en general existirà un número elevat de menors d'orde r, de fet el número de menors d'orde r d'una matriu mxn ve dau per:

Una propietat interessant és que el ranc coincidix en l'orde del menor no nul més gran possible, sent el càlcul de menors un dels mijos més amprats per a calcular el ranc d'una matriu o d'una aplicació llineal.

Vore també

• Matriu (matemàtica)
• Teorema de Laplace
• Regla de Sarrus
• Regla de Cramer

Referències

Bibliografia

• (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Claves, Nova York: Oxford University Press. ISBN 0-19-506136-5.
• Plantilla:Ref lliure

Enllaços externs

• Eixercicis resolts de determinants
• Determinant en MathWorld.
• Plantilla:PlanetMath