Orientació (geometria)

Archiu:Axes changes.png

Canviar l'orientació és equivalent a girar els eixos coordenados.

Una orientació d'un objecte en l'espai és cada una de les possibles eleccions per a colocar-ho sense canviar un punt fix de referència. ya que l'objecte en un punt fix pugues encara ser rotado al voltant d'eixe punt fix, la posició del punt de referència no específica per complet la posició, per tant per a especificar completament la posició es necessita especificar també l'orientació. L'orientació pot visualisar-se afegint una base vectorial ortogonal al punt de referència de l'objecte; diferents bases representarien diferents orientacions.

Ànguls de Euler

Una atra forma possible de definir l'orientació és fixar una série d'ànguls que durien al cos des d'una posició especificada per una base vectorial a una atra base que definix una nova orientació. Normalment es prenen els tres ànguls de Euler, cridats precesión, nutación i rotació.

En un espai de n dimensions el número d'ànguls necessari per a especificar un canvi d'orientació és n(n-1)/2, aixina en el pla (n = 2) un sol àngul al voltant d'un eix perpendicular al mateix definix l'orientació, en l'espai tridimensional (n = 3) necessitem tres ànguls per a especificar la posició, per eixemple els ànguls de Euler. Podem generalisar el concepte de rotació per a n > 3, en un espai n-dimensional el conjunt de rotacions o canvis d'orientacions és precisament el grup SO(n) que com a grup (de matrius) té dimensió igual a n(n-1)/2.

Teorema de Euler i notació matricial

El resultat més important de Euler sobre l'orientació és que tota combinació de rotacions és equivalent a una única rotació (trivial) i, viceversa, que tota rotació o canvi d'orientació es pot "factorizar" com a producte de tres rotacions segons eixos coneguts. Encara que la notació matricial va ser introduïda despuix, es veu fàcilment que la composició de girs és el producte de matrius. La teorema afirma que el producte de dos matrius de rotació és una nova matriu de rotació. En concret, els tres ànguls de Euler anteriors corresponen a tres matrius de rotació, i per tant combinades són equivalents a una sola.