Ànguls de Euler

Archiu:Eulerangles.svg

Ànguls de Euler

Els ànguls de Euler constituïxen un conjunt de tres coordenades angulars que servixen per a especificar l'orientació d'un sistema de referència d'eixos ortogonals, normalment mòvil, respecte a un atre sistema de referència d'eixos ortogonals normalment fixos.

Varen ser introduïts per Leonhard Euler en mecànica del sòlit rígit per a descriure l'orientació d'un sistema de referència solidari en un sòlit rígit en moviment.

Definició

Archiu:Euler.png

Dos sistemes de coordenades ortogonals en el que es mostren els ànguls de Euler.

Donats dos sistemes de coordenades xyz i XYZ en orige comú, és possible especificar la posició d'un sistema en térmens de l'atre usant tres ànguls $\alpha ,\beta ,\gamma$.

La definició matemàtica és estàtica i es basa en triar dos plans, un en el sistema de referència i un atre en el triedro rotado. En l'esquema adjunt serien els plans xy i XY. Triant atres plans s'obtindrien distintes convencions alternatives, les quals es diuen de Tait-Bryan quan els plans de referència són no-homogéneus (per eixemple xy i XY són homogéneus, mentres xy i XZ no ho són).

L'intersecció dels plans coordenados xy i XY triats es diu llínea de nodos, i s'usa per a definir els tres ànguls:

• $\alpha$ és l'àngul entre l'eix x i la llínea de nodos.
• $\beta$ és l'àngul entre l'eix z i l'eix Z.
• $\gamma$ és l'àngul entre la llínea de nodos i l'eix X.

més alvance s'establirà que els tres ànguls de Euler descrits són els valors de les tres rotacions intrínseques que descriuen el sistema.

Notar que també es considera la notació: $\alpha =\varphi$, $\gamma =\psi$ i $\beta =\theta$.

Relació en els moviments de rotació

Rotacions de Euler

Archiu:Precession-nutation- caps block 5 .svg

Rotacions de Euler de la terra. Rotació intrínseca en vert, Precesión en blau i Nutación en roig.

Són els moviments resultants de variar un dels ànguls de Euler deixant fixos els atres dos. Tenen noms particulars:

• Precesión
• Nutación
• Rotació intrínseca

Este conjunt de rotacions no és ni intrínsec ni extrínseco en la seua totalitat, sino que és una mescla d'abdós conceptes. La precesión és extrínseca, la rotació intrínseca llògicament intrínseca, i la nutación és una rotació intermija, al voltant de la llínea de nodos.

Complixen la següent propietat. Si escrivim la rotació d'ànguls $(\varphi ,\theta ,\psi )$ com una composició d'estes tres rotacions:

llavors es complix:

$A(\delta \varphi +\varphi ,\theta ,\psi )=P(\delta \varphi )A(\varphi ,\theta ,\psi )$

$A(\varphi ,\delta \theta +\theta ,\psi )=N(\varphi ,\delta \theta )A(\varphi ,\theta ,\psi )$

$A(\varphi ,\theta ,\delta \psi +\psi )=R(\varphi ,\theta ,\delta \psi )A(\varphi ,\theta ,\psi )$

Com a conseqüència d'estes propietats, estes rotacions són conmutativas entre elles:

lo que també podria vore's intuitivamente usant l'analogia entre els ànguls de Euler i els de un soport Cardán

Atres sistemes de rotacions equivalents

En unes condicions inicials determinades, els ànguls de Euler són equivalents a una composició de rotacions:

Archiu:Gimbaleuler.svg

Soporte cardán mostrant ànguls de Euler. Els eixos del marc extern es mostren en la base. Els eixos I són perpendiculars a cada anell.

• Eixos de rotació en Cardán: Siguen els sistemes XYZ i xyz idèntics inicialment, restringits a moviments de cardán com els de el dibuix.
  • Rotar el sistema XYZ al voltant del seu únic eix possible z en $\alpha$; el sistema xyz no es mou.
  • Rotarlo al voltant del seu únic eix possible (llínea de nodos) per $\beta$.
  • Rotarlo respecte a l'eix Z per $\gamma$.
• Eixos de rotació extrinsecos Siguen els sistemes XYZ i xyz idèntics inicialment.
  • Rotar el sistema XYZ al voltant de l'eix z en $\alpha$; el sistema xyz no es mou.
  • Rotarlo al voltant de l'eix x per $\beta$.
  • Rotarlo respecte a l'eix z per $\gamma$.

• • (Note que el primer i el tercer eixos són idèntics.)

• Eixos de rotació intrínsecs (mòvils) Escomençar en el sistema XYZ igual al sistema xyz.
  • Rotar el sistema XYZ respecte a l'eix Z en $\gamma$; el sistema xyz no es mou.
  • Rotarlo respecte a l'ara rotado eix X per $\beta$.
  • Rotarlo ara respecte al doblement rotado eix Z per $\alpha$.

    (Nota que els ànguls estan en orde invers.)

Estos tres ànguls $\alpha ,\beta ,\gamma$ són els ànguls de Euler. l'equivalència d'estes tres definicions es verifica avall. Alguns autors denominen als ànguls de Euler $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ com $(\varphi ,\theta ,\psi )$

Matrius de rotació i velocitat angular

Archiu:Euler2.gif

Composició segons rotacions intrínseques. Este tipo de descomposició en rotacions intrínseques no és conmutativo.

A partir de la relació entre els ànguls de Euler i el moviment dels soports de Cardano, es pot provar que tot sistema de coordenades pot ser descrit en els tres ànguls de Euler. Si cridem $[𝐑]$ a la matriu de rotació tridimensional que representa la transformació de coordenades des del sistema fix al sistema mòvil, la teorema de Euler sobre rotacions tridimensionals, afirma que existix una descomposició única en térmens dels tres ànguls de Euler:

Note's que despuix de cada u dels girs el sistema de referència queda girat, el primer gir d'àngul $\varphi$ és a l'al voltant de l'eix Z₁, el segon gir d'àngul $\theta$ és a l'al voltant de l'eix I₂ i el tercer gir d'àngul $\psi$ és a l'al voltant de l'eix Z₃. La velocitat angular Ω d'un sòlit rígit expressada en térmens dels ànguls de Euler ve donada per:

$[𝜴]=\left\{\begin{array}{c}{\Omega }_1\\ {\Omega }_2\\ {\Omega }_3\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}\dot{\theta }\cos \psi +\dot{\varphi }\mathrm{sen}\theta \mathrm{sen}\psi \\ -\dot{\theta }\mathrm{sen}\psi +\dot{\varphi }\mathrm{sen}\theta \cos \psi \\ \dot{\psi }+\dot{\varphi }\cos \theta \end{array}\right\}$

Vore també

• Rotacions encadenades de Davenport, generalisació dels ànguls de Euler