Mecànica del sòlit rígit

Moviment complex d'un cos rígit, que presenta precesión al voltant de la direcció del moment angular ademés rotació segons la seua eix de simetria

La mecànica d'un cos rígit és aquella que estudia el moviment i equilibri de sòlits materials ignorant les seues deformacions. Es tracta, per tant, d'un model matemàtic útil per a estudiar una part de la mecànica de sòlits, ya que tots els sòlits reals són deformables. S'entén per cos rígit un conjunt de punts de l'espai que es mouen de tal manera que no s'alteren les distàncias entre ells, siga com siga la força actuante (matemàticament, el moviment d'un cos rígit ve dau per un grup uniparamétrico d'isometrías).

Cinemàtica del cos rígit

Centre de gravetat

El centre de gravetat o centre de masses d'un sistema continu és el punt geomètric definit com:

(1) ${𝐫}_{\text{CM}}=\frac{\int 𝐫dm}{\int dm}=\frac{\int 𝐫dm}{M}$

En mecànica del cos rígit, el centre de massa s'usa perque prenent un sistema de coordenades centrat en ell, l'energia cinètica total K pot expressar-se com $K=\frac{1}{2}M{V}^2+K_{rot}$, sent M la massa total del cos, V la velocitat de translació del centre de masses i K_rot l'energia de rotació del cos, expressable en térmens de la velocitat angular i el tensor d'inèrcia.

Velocitat angular

Siga una partícula qualsevol d'un cos rígit el qual es desplaça girant. Ya que tots els punts estan rígidamente conectats podem fer la següent descomposició de posició i velocitats, prenent un punt de referència arbitrari ${𝐫}_0$:

(2a) $𝐫(t,{𝐫}_0)={𝐫}_c(t)+𝐫(t,{𝐫}_0)={𝐫}_c(t)+A(t){𝐫}_0$

(2b) $𝐯(t,{𝐫}_0)={𝐯}_c(t)+𝝎(t)\times 𝐑(t,{𝐫}_0)={𝐯}_c(t)+𝝎(t)\times (𝐫(t,{𝐫}_0)-{𝐲}_c(t))={𝐯}_c(t)+𝝎(t)\times A(t){𝐲}_0$

(2c) $A^{\prime }(t){𝐫}_0=𝝎(t)\times A(t){𝐲}_0$

A on

• $𝐫$ és vector posició del punt o partícula
• ${𝐫}_c$ és la posició d'un punt de referència del sòlit
• $A(t)\in SO(3)$ és l'orientació, que ve donada per una matriu ortogonal
• $𝐑$ és la posició de la partícula sobre el punt de referència del cos a lo llarc del temps en una orientació variable.
• ${𝐫}_0$ és la posició de la partícula sobre el punt de referència del cos en l'orientació de referència inicial.
• $𝝎$ és la velocitat angular
• $𝐯$ és la velocitat total de la partícula
• ${𝐯}_c$ és la velocitat "traslacional" o velocitat del punt de referència.

Moment angular o cinètic

Artícul principal → moment angular.

El moment angular és una magnitut física important perque en molts sistemes físics constituïx una magnitut conservada, a la qual baixe certes condicions sobre les forces és possible associar-li una llei de conservació. El fet de que el moment angular siga baix certes circumstàncies una magnitut el valor de la qual permaneix constant pot ser aprofitat en la resolució de les equacions de moviment. En un instant donat, i fixat un punt de l'espai en un punt de l'espai O, es definix el moment angular L_O d'un sistema de partícules respecte a eixe punt com l'integral següent:

${𝐋}_O=\underset{V}{\int }\rho ({𝐫}_O\times {𝐯}_O)dV$

A on $V,\rho (𝐫)$ són el volum del sòlit i la densitat másica en cada punt, i ${𝐯}_O,{𝐫}_O$ són la velocitat d'una partícula del cos i el vector de posició respecte a O. Convé recordar que el valor de la magnitut anterior depén de quin punt O s'elegixca. Per a l'estudi de sòlits rígits en moviment convé triar un "punt mòvil" (és dir, per a cada instant del temps considerarem un punt diferent de l'espai). Per eixemple podem evaluar el moment angular respecte al centre de masses G del sòlit:

A on s'ha introduït l'abreujament$𝐫={𝐫}_G$.

Espai de configuració d'un cos rígit

La mecànica lagrangiana per a descriure un sistema mecànic en un grau finito de graus de llibertat es definix com una varietat diferenciable cridada espai de configuració. El moviment del sistema o evolució en el temps es descriu com un conjunt de trayectòries a lo llarc del espai de configuració. Per a un cos rígit en un punt immòvil (solament existix rotació) l'espai de configuració ve dau per la varietat diferenciable del grup de rotació SO(3). Quan el sòlit té translació i rotació de tots els seus punts l'espai de configuració és I⁺(n), el subgrup d'isometría del grup euclídeo (combinacions de translacions i rotacions.

Tensor d'inèrcia

Artícul principal → Tensor d'inèrcia.

Quan s'estudia el moviment d'un sòlit rígit resulta convenient descompondre-ho en un moviment de translació més un moviment de rotació:

1. Per a descriure la translació solament necessitem calcular les forces resultants i aplicar les lleis de Newton com si es tractara de punts materials.
2. En canvi la descripció de la rotació és més complexa, ya que necessitem alguna magnitut que de conte de cóm està distribuïda la massa al voltant de cert punt o eix de rotació (per eixemple un eix que passe pel centre de massa). Eixa magnitut és el tensor d'inèrcia, que caracterisa l'inèrcia rotacional del sòlit.

Eixe tensor d'inèrcia sòlit rígit es definix com un tensor simètric de segon orde tal que la forma quadràtica construïda a partir del tensor i la velocitat angular ω dona l'energia cinètica de rotació, és dir:

No solament l'energia cinètica es pot expressar senzillament en térmens del tensor d'inèrcia, si reescrivim l'expressió (3) per al moment angular introduint en ella la definició del tensor d'inèrcia, tenim que este tensor és l'aplicació llineal que relaciona la velocitat angular i el moment angular:

Vore també

• Dinàmica del punt material
• Cinemàtica del sòlit rígit
• Equacions de Euler (sòlits)