Matriu ortogonal

Archiu:Orthogonal transformation qtl1.svg

Rotació dels vectores de la base usual en multiplicar-los per una matriu ortogonal Q.

Una matriu ortogonal és una matriu quadrada que la seua matriu inversa coincidix en la seua matriu trasponer. El conjunt de matrius ortogonals constituïxen una representació llineal del grup ortogonal $O(n,ℝ)$.

Geomètricament, les matrius ortogonals representen transformacions isomètriques en espais vectorials reals (o més exactament espais de Hilbert reals) cridades justament, transformacions ortogonals. Estes transformacions són isomorfismes interns de l'espai vectorial en qüestió. En el cas real, dites transformacions poden ser rotacions, reflexions especulares o inversions i són usades extensivamente en computació gràfica. Per les seues propietats, també són usades per a l'estudi de certs fibrados i en física li les usa en l'estudi del moviment de cossos rígits i en la formulació de certes teories de camps.

Definició

Siga $n$ un número natural i siga $A$ una matriu quadrada $n$ per $n$, en entrades reals. Es diu que la matriu és ortogonal si:

a on $A^{\mathrm{T}}$ representa la matriu trasponer de $A$ i $I$ representa la matriu identitat.

Eixemples

Supongam que la matriu d'número real

$M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),$

és ortogonal i el seu determinant és +1 o -1.

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),$

Per lo que: $a^2+b^2=1,ac+bd=0,c^2+d^2=1$

Aixina que els números $a$, $b$ , $c$ i $d$ satisfan, ademés, la propietat que la suma dels seus quadrats val 1. Per lo tant, existixen un parell d'número real $\theta$ i $\varphi$ per als quals

$a=\cos \theta b=\mathrm{sen}\theta c=\mathrm{sen}\varphi d=\cos \varphi .$

Per lo tant, substituint en $ac+bd=0$ queda: $\cos \theta \mathrm{sen}\varphi +\mathrm{sen}\theta \cos \varphi =0$

I $\tan \varphi =-\tan \theta$. Llavors, es complix que $\mathrm{sen}\varphi =-\mathrm{sen}\theta$ o $\cos \varphi =-\cos \theta$

Concloem que tota matriu ortogonal de tamany 2 pot escriure's com

$M_1=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \mathrm{sen}\theta \\ -\mathrm{sen}\theta & \cos \theta \end{array}\right)$

en $\theta$ real i

$M_2=\left(\begin{array}{cc}\cos \varphi & \mathrm{sen}\varphi \\ \mathrm{sen}\varphi & -\cos \varphi \end{array}\right)$ en $\varphi$ real

Caracterisació

Siga $A$ una matriu ortogonal $n$ per $n$. Sean ${𝐯}_1$, ${𝐯}_2$, $\cdots$ ${𝐯}_n$ els $n$ vectores fila de la matriu. En terme d'estos vectores, és molt fàcil expressar els elements de la matriu que resulta de multiplicar $A$ per la seua transpuesta:

$(A\cdot A^{\mathrm{T}}{)}_{ij}={𝐯}_i\cdot {𝐯}_j={\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}1& \text{si }i=j,\\ 0,& \text{si }i\ne j\end{array}$

De modo que els vectores fila d'una matriu ortogonal formen un conjunt de $n$ vectores ortonormalés. ya que l'equació

$A^{\mathrm{T}}\cdot A=I$

també es verifica, tenim que els vectores columna de la matriu $A$ també formen un conjunt ortonormal de vectores. Com el recíproc de tot açò també és cert, tenim

Una matriu real $A$ és ortogonal si i només si les seues vectores files o vectores columna són cada u un conjunt ortonormal de vectores.

És en este sentit que es diu que s'ha fet una caracterisació de les matrius ortogonals. Donada una matriu, basta verificar esta propietat entre les seues vectores fila i columna per a determinar si dita matriu és o no ortogonal.

Bibliografia

Per a profundisar sobre este tema i en general sobre àlgebra, pot consultar

G. Birkhoff, S MacLane, Àlgebra Moderna, ed. Vicens-Vives, Madrit 1980. ISBN 84-316-1226-6