Matriu quadrada

Una matriu $A$ de $n$ per $m$ elements, és una matriu quadrada si el número de files és igual al número columnes, és dir, $n=m$ i es diu, llavors, que la matriu és d'orde $n$:

$A=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& \cdots & a_{2n}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& \cdots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& a_{n3}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$

Les matrius quadrades són les més utilisades en àlgebra.

Propietats

Tota matriu quadrada es pot descompondre en la suma d'una matriu simètrica i una matriu antisimètrica. Si A i B són matrius del mateix orde, llavors es poden sumar entre sí. Els productes de matrius no són vàlits en abdós sentits, per lo general AB és distint de BA. Ademés, sorgixen els conceptes de determinant i traça solament aplicables a matrius quadrades.

Una matriu quadrada A d'orde n és singular si la seua determinant és nul. En tal cas es diu que dita matriu no té inversa.

Classes de matrius quadrades

Matriu triangular superior

Una matriu quadrada és triangular superior si té nuls tots els elements que estan per baix de la diagonal principal, de la forma:

$A=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1m}\\ 0& a_{22}& a_{23}& \cdots & a_{2m}\\ 0& 0& a_{33}& \cdots & a_{3m}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a_{nm}\end{array}\right]$

Eixemple:

$A=\left[\begin{array}{cccc}3& 6& 12& -3\\ 0& -2& 4& 9\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 8\end{array}\right]$

Pertanyent a $M_4$

Matriu triangular inferior

Una matriu quadrada és triangular inferior si té nuls tots els elements que estan per damunt de la diagonal principal, de la forma:

$A=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& 0& 0& \cdots & 0\\ a_{21}& a_{22}& 0& \cdots & 0\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& a_{n3}& \cdots & a_{nm}\end{array}\right]$

Eixemple:

$A=\left[\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 6& 2& 1\end{array}\right]$

Pertanyent a $M_3$

Matriu diagonal

Una matriu quadrada és diagonal si té nuls tots els elements llevat els de la diagonal principal, de la forma:

$A=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& a_{22}& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& a_{33}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$

Eixemple:

$A=\left[\begin{array}{cccc}3& 0& 0& 0\\ 0& -2& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 8\end{array}\right]$

Pertanyent a $M_4$

Per definició, tota matriu diagonal és triangular superior i triangular inferior.

Matriu unitat

Una matriu quadrada és una matriu unitària o matriu unitat si tots els elements en la seua diagonal principal són l'unitat i els demés elements són 0. Es tracta d'un cas particular de matriu diagonal, i es representa per I.

$I=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$

Eixemple:

$I=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

Pertanyent a $M_4$

Vore també

• Matriu (matemàtiques)