Matriu antisimètrica

Una matriu antisimètrica és una matriu quadrada A que la seua trasponer és igual a la seua oposta, és dir val la relació A^T = -A.

Una matriu de m × n elements (m = files, n = columnes) :

$A=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& \cdots & a_{2n}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& \cdots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& a_{m3}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$

és antisimètrica (o hemisimétrica), si és una matriu quadrada (m = n) i $a_{ji}=-a_{ij}$ per a tot i, j =1,2,3,...,n. En conseqüència, $a_{ii}=0$ per a tot i. Per lo tant, la matriu A assumix la forma:

$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1n}\\ -a_{12}& 0& a_{23}& \cdots & a_{2n}\\ -a_{13}& -a_{23}& 0& \cdots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ -a_{1n}& -a_{2n}& -a_{3n}& \cdots & 0\end{array}\right]$

Eixemple

La matriu

$A=\left[\begin{array}{ccc}0& -2& 4\\ 2& 0& 2\\ -4& -2& 0\end{array}\right]$

és antisimètrica, ya que

$A^T=\left[\begin{array}{ccc}0& 2& -4\\ -2& 0& -2\\ 4& 2& 0\end{array}\right]=-A$

La diagonal principal es conserva i tots els atres números són canviats de signe a l'opost. Note's que la matriu trasponer de la matriu antisimètrica A és -A, i que la antisimetría és respecte a la diagonal principal.

Si n=m és impar el determinant de la matriu sempre serà 0

Descomposició en matriu simètrica i antisimètrica

Siga A una matriu quadrada, esta es pot descompondre en suma de part simètrica i antisimètrica de la següent forma:

$A=\frac{1}{2}(A+A^T)+\frac{1}{2}(A-A^T)$

a on la part antisimètrica és

$\frac{1}{2}(A-A^T)$

Vore també

• Matriu simètrica