Matriu simètrica

Demostració gràfica de transposició d'una matriu. Una matriu quadrada serà simètrica si és igual a la seua transpuesta

Simetria d'una matriu de 5×5 simètrica

Una matriu és simètrica si és una matriu quadrada, la qual té la característica de ser igual a la seua trasponer (com les matrius original i trasponer tenen dimensions iguals, només les matrius quadrades poden ser simètriques).

Una matriu de $n\times m$ elements:

$A=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1m}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& \cdots & a_{2m}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& \cdots & a_{3m}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& a_{n3}& \cdots & a_{nm}\end{array}\right]$

és simètrica, si és una matriu quadrada (m = n) i $a_{ij}=a_{ji}$ per a tot i, j en i, j =1,2,3,4,...,n. Note's que la simetria és respecte a la diagonal principal.

Eixemple per a n = 3:

$\left[\begin{array}{ccc}-8& 1& 3\\ 1& 7& 4\\ 3& 4& 9\end{array}\right]$

A és també la matriu trasponer de sí mateixa: $A^t=A$. Esta última igualtat és una definició alternativa de matriu simètrica. Les matrius simètriques són un cas particular de les matrius hermíticas.

Propietats

1. La suma de dos matrius simètriques és una matriu simètrica.
2. El producte de dos matrius simètriques no sempre és simètric.
3. Si A és una matriu simètrica pxp i B és una matriu pxq, llavors B^TAB és simètrica.

Un dels teoremas bàsics que concernix este tipo de matrius és el teorema espectral de dimensió finita, que diu que tota matriu simètrica els elements de la qual siguen reals és diagonalisable. En particular, és diagonalisable per mig d'una matriu ortogonal.

Autovalores

Com les matrius simètriques són un cas particular de les matrius hermíticas, tots els seus autovalores són reals.

En base en les propietats dels autovalores d'una matriu simètrica, es poden classificar en els següents tipos:

• definida positiva: si i solament si tots els seus autovalores són estrictament positius.
• definida negativa: si i solament si tots els seus autovalores són estrictament negatius.
• semidefinida positiva: si i solament si tots els seus autovalores són majors o iguals a zero.
• semidefinida negativa: si i solament si tots els seus autovalores són menors o iguals a zero.
• indefinida: si i solament si té dos autovalores en distint signe

James Joseph Sylvester, un matemàtic de el XIX, va establir un criteri per a definir el signe d'una matriu simètrica basant-se en els signes de la série de determinants dels menors principals de la mateixa.

Vore també

• Matriu antisimètrica