Matriu diagonalisable

En àlgebra llineal, una matriu quadrada $A$ es diu que és diagonalisable si és semblant a una matriu diagonal. És dir, si per mig d'un canvi de base pot reduir-se a una forma diagonal. En este cas, la matriu podrà descompondre's de la forma $A=PD{P}^{-1}$ a on $P$ és una matriu invertible que els seus vectores columna són vectores propis de $A$ i $D$ és una matriu diagonal formada pels valors propis de $A$.

Si la matriu $A$ és semblant ortogonalmente a una matriu diagonal, és dir, si la matriu P és ortogonal es diu llavors que la matriu A és diagonalisable ortogonalmente, podent escriure's com $A=PD{P}^t$. El teorema espectral garantisa que qualsevol matriu quadrada simètrica en coeficients reals és ortogonalmente diagonalisable. En est case P està formada per una base ortonormal de vectores propis de la matriu sent els valors propis reals. La matriu P és per tant ortogonal i els vectores files de $P^{-1}$ són els vectores columnes de P.

Definició

Siga $A\in M^{n\times n}(𝕂)$ una matriu quadrada en valors en un cos $𝕂$, es diu que la matriu $A$ és diagonalisable si i només si $A$ es pot descompondre de la forma:

$A=PD{P}^{-1}$

a on:

• $D$ és una matriu diagonal la diagonal principal de la qual està formada pels elements de $\sigma (A)$, apareixent cada u tantes voltes com indique la seua multiplicitat algebraica, sent $\sigma (A)$ l'espectre de $A$, és dir, el conjunt d'autovalores de la matriu $A$:

$\sigma (A)=\{{\lambda }_i\in 𝕂|Av={\lambda }_{i}v\mathrm{\forall }i=1,2,\mathrm{...},n\}$

• $𝐏$ és la matriu les columnes de la qual són els vectores que constituïxen una base del subespacio propi associat a cada ${\lambda }_i$ seguint l'orde establit en D, açò és, els vectores que formen el núcleu de la matriu $(A-{\lambda }_{i}I)$:

$P=(v_1|v_2|\cdots |v_n),v_j\in \ker (A-{\lambda }_i{I}_n)\mathrm{\forall }i,j=1,\dots ,n$

Endomorfisme diagonalisable

Un endomorfisme d'espai vectorial (aplicació llineal d'un espai vectorial en sí mateixa) es diu diagonalisable per similitut (o simplement diagonalisable) si existix una base en la que la seua matriu associada siga una matriu diagonal. No obstant la diagonalisació no està assegurada, és dir no és possible dir que tot endomorfisme siga diagonalisable. L'importància de la diagonalisació nos motiva a obtindre una base en la que la matriu associada a un endomorfisme no diagonalisable siga més simple encara que no diagonal. Per a això se seguiran les mateixes tècniques que para diagonalisació, usant la teoria sobre autovalores i autovectores (també cridats valors i vectores propis o en anglés eigenvalues i eigenvectors). Recordem que donat un operador llineal $T:V\to V$ es diu que W subespacio de V és T-invariante si $\mathrm{\forall }u\in W$ es té que $T(u)\in W$

Aplicacions

Potencies d'una matriu

Diagonalizar una matriu nos ajuda a calcular potències d'una matriu $A$, si $n\in \mathbb{N}$ llavors

$A^n=P{D}^n{P}^{-1}$

per a vore la validea d'este resultat, considere $n=2$ llavors

$\begin{array}{cc}{A}^2& =PD{P}^{-1}PD{P}^{-1}\\ & =PD{I}_{2}D{P}^{-1}\\ & =P{D}^2{P}^{-1}\end{array}$

a on $I_2$ denota la matriu identitat de tamany $2$, de forma similar es pot demostrar que $A^n=P{D}^n{P}^{-1}$.

Com $D$ és una matriu diagonal llavors el càlcul de la $n$-ésima potència és molt senzill puix si

$D=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& 0& \dots & 0\\ 0& a_2& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & a_n\end{array}\right)$

llavors

$D^n=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1^n& 0& \dots & 0\\ 0& a_2^n& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & a_n^n\end{array}\right)$

Referències

Bibliografia

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6.