Matriu diagonal

En àlgebra llineal, una matriu diagonal és una matriu els elements de la qual fòra de la diagonal principal són tots zero; el terme usualment fa referència a matrius quadrades. Un eixemple d'una matriu diagonal de tamany $2\times 2$ és

$\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$

mentres que un eixemple d'una matriu de tamany $3\times 3$ és

$\left[\begin{array}{ccc}6& 0& 0\\ 0& 7& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right]$

La matriu identitat de qualsevol tamany o qualsevol múltiple d'ella (una matriu escalar) és una matriu diagonal.

Definició

La matriu $D=(d_{i,j})$ en $n$ columnes i $n$ renglons és diagonal si

$d_{i,j}=0\text{si}i\ne j\mathrm{\forall }i,j\in \{1,2,\dots ,n\}$

Els elements de la diagonal principal de la matriu $D$ poden prendre qualsevol valor.

Tota matriu diagonal és també una matriu simètrica, triangular (superior i inferior) i (si les entrades provenen del cos R o C) normal.

Operacions vectorials

Multiplicar un vector per una matriu diagonal implica multiplicar cada element del vector per l'element corresponent de la diagonal. Donada una matriu diagonal $D=\mathrm{diag}(a_1,\dots ,a_n)$ i un vector $𝐯={\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& \cdots & x_n\end{array}\right]}^T$ el producte és:

$D𝐯=\mathrm{diag}(a_1,\dots ,a_n)\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ & \ddots \\ & & a_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_1{x}_1\\ ⋮\\ a_n{x}_n\end{array}\right]$