Matriu normal

Siga A matriu complexa quadrada, llavors és una matriu normal si i solament si

$A^{*}A=A{A}^{*}$

a on A^* és la matriu trasponer conjugada de A (també cridat hermitiano)

Eixemples

Esta matriu d'orde 2 és normal.

$\left(\begin{array}{cc}-i& -i\\ -i& i\end{array}\right)$

degut a que ..

$\left(\begin{array}{cc}-i& -i\\ -i& i\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}-i& -i\\ -i& i\end{array}\right)}^{*}=\left(\begin{array}{cc}-i& -i\\ -i& i\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}i& i\\ i& -i\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}i& i\\ i& -i\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-i& -i\\ -i& i\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}-i& -i\\ -i& i\end{array}\right)}^{*}\left(\begin{array}{cc}-i& -i\\ -i& i\end{array}\right)$

Propietats

Una important propietat d'este tipo de matrius és que són diagonalisables.

Demostració

Siga A matriu complexa quadrada normal. Llavors pot expressar-se, utilisant la descomposició de Schur, d'esta manera:

$A=QU{Q}^{*}$

Demostrarem que la matriu O és diagonal, per ara solament sabem que és triangular superior. Formalment, definim estes condicions en números, ya que seran usades en la demostració:

• $a_{k1}=0$ $\mathrm{\forall }k=2,\mathrm{..},n$ (1)
• $a_{k2}=0$ $\mathrm{\forall }k=3,\mathrm{..},n$ (2)
• ...
• $a_{kn-1}=0$ $conk=n$ (n-1)

Usant el fet que A és normal:

$A^{*}A=(QU{Q}^{*}{)}^{*}(QU{Q}^{*})=Q{U}^{*}(Q^{*}Q{)}_{(a)}U{Q}^{*}=Q{U}^{*}U{Q}^{*}$

Idénticament.

$(QU{Q}^{*})(QU{Q}^{*}{)}^{*}=QU{U}^{*}{Q}^{*}$

Postmultiplicando per $Q$ i després premultiplicando per $Q^{*}$ obtenim: $U^{*}U=U{U}^{*}$

La qual cosa dona lloc a estes dos multiplicacions matriciales:

$\begin{array}{ccc}& & \left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& a_{nn}\end{array}\right]\\ U^{*}U=\left[\begin{array}{cccc}\overline{a_{11}}& 0& \cdots & 0\\ \overline{a_{12}}& \overline{a_{22}}& \cdots & 0\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ \overline{a_{1n}}& \cdots & \overline{a_{n-1n}}& \overline{a_{nn}}\end{array}\right]& & \end{array}$

$\begin{array}{ccc}& & \left[\begin{array}{cccc}\overline{a_{11}}& 0& \cdots & 0\\ \overline{a_{12}}& \overline{a_{22}}& \cdots & 0\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ \overline{a_{1n}}& \cdots & \overline{a_{n-1n}}& \overline{a_{nn}}\end{array}\right]\\ U{U}^{*}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& a_{nn}\end{array}\right]& & \end{array}$

Per als nostres propòsits, nos interessen els elements de les diagonals.

$(U^{*}U{)}_{ii}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\cdot \overline{a_{ji}}=\sum _{j=1}^n\Vert a_{ij}{\Vert }^2$

$(U{U}^{*}{)}_{ii}=\sum _{j=1}^n\overline{a_{ij}}\cdot a_{ji}=\sum _{j=1}^n\Vert a_{ji}{\Vert }^2$

Ara utilisem un procediment inductivo per a provar que esta matriu producte és diagonal (els seus elements són zeros anara de la diagonal principal)

• Case i=1: $(U^{*}U{)}_{11}=(U{U}^{*}{)}_{11}$

$\sum _{j=1}^n\Vert a_{1j}{\Vert }^2=\sum _{j=1}^n\Vert a_{j1}{\Vert }^2$

Separem l'element diagonal de les sumatorias.

$\Vert a_{11}{\Vert }^2+\sum _{j=2}^n\Vert a_{1j}{\Vert }^2=\Vert a_{11}{\Vert }^2+\sum _{j=2}^n\Vert a_{j1}{\Vert }^2$

Usant (1)

$\sum _{j=2}^n\Vert a_{1j}{\Vert }^2=0$

Per lo tant, $a_{1j}=0$ $\mathrm{\forall }j=2,\mathrm{..},n$

Vore també

• Operador normal